Дисперсия биномиального закона дисперсия распределения пуассона реферат

Обновлено: 02.07.2024

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину , которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение , выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

Убедимся, прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (5.9.1), может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей равна единице. Имеем:

На рис. 5.9.1 показаны многоугольники распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра . В таблице 8 приложения приведены значения для различных .

Определим основные характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины , распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания

Первый член суммы (соответствующий ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начать с :

Таким образом, параметр представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины .

Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент величины :

По ранее доказанному

Далее находим дисперсию величины :

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна её математическому ожиданию .

Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

Определим для случайной величины , распределенной по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение не меньше заданного . Обозначим эту вероятность :

Очевидно, вероятность может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить её из вероятности противоположного события:

В частности, вероятность того, что величина примет положительное значение, выражается формулой

Мы уже упоминали о том, что многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 5.9.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределяются на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность (т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины) через .

2. Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или другого числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

3. Вероятность попадания на малый участок двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины и рассмотрим дискретную случайную величину – число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут

Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. ряд (5.9.6) продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на отрезок попадет ровно точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно (т.к. на единицу длины попадает в среднем точек). Согласно условию 3 для малого отрезка можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание числа точек, попадающих на участок , будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при можно считать вероятность того, что на участок попадет одна (хотя бы одна) точка, равной , а вероятность того, что не попадет ни одной, равной .

При достаточно большом эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок ровно точек, так как попадание двух или больше точек на отрезок имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того чтобы найти точное значение , нужно в выражении (5.9.7) перейти к пределу при :

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Первая дробь и знаменатель последней дроби в выражении (5.9.9) при , очевидно, стремятся к единице. Выражение от не зависит. Числитель последней дроби можно преобразовать так:

При и выражение (5.9.10) стремится к . Таким образом, доказано, что вероятность попадания ровно точек в отрезок выражается формулой

где , т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром .

Отметим, что величина по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок .

Величина (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок попадет хотя бы одна точка:

1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ;

2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д., то число точек , попадающих в любую область (плоскую или пространственную), распределяются по закону Пуассона:

где – среднее число точек, попадающих в область .

Для плоского случая

где – площадь области ; для пространственного

где - объем области .

Заметим, что для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности () несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножение плотности на длину, площадь или объем области, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему. (Подробнее об этом см. n° 19.4)

Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме – неединственное условие, при котором возникает распределение Пуассона. Можно, например, доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения:

если одновременно устремлять число опытов к бесконечности, а вероятность – к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение:

Действительно, это предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

Но из условия (5.9.13) следует, что

Подставляя (5.9.15) в (5.9.14), получим равенство

которое только что было доказано нами по другому поводу.

Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность . Тогда для вычисления вероятности того, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться приближенной формулой:

где - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с пуассоновским распределением, из различных областей практики.

Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за две минуты на станцию поступит ровно три вызова.

Решение. Среднее число вызовов за две минуты равно:

По формуле (5.9.1) вероятность поступления ровно трех вызовов равна:

Пример 2. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что за две минуты придет хотя бы один вызов.

Решение. По формуле (5.9.4) имеем:

Пример 3. В тех же условиях найти вероятность того, что за две минуты придет не менее трех вызовов.

Решение. По формуле (5.9.4) имеем:

Пример 4. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0,375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 часов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее 2 и не более 4 обрывов).

По таблице 8 приложения при

Пример 5. С накаленного катода за единицу времени вылетает в среднем электронов, где – время, протекшее с начала опыта. Найти вероятность того, что за промежуток времени длительности , начинающийся в момент , с катода вылетит ровно m электронов.

Решение. Находим среднее число электронов а, вылетающих с катода за данный отрезок времени. Имеем:

По вычисленному определяем искомую вероятность:

Пример 6. Число осколков, попадающих в малоразмерную цель при заданном положении точки разрыва, распределяется по закону Пуассона. Средняя плотность осколочного поля, в котором оказывается цель при данном положении точки разрыва, равна 3 оск./кв.м. Площадь цели равна кв.м. Для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражения цели при данном положении точки разрыва.

Решение. . По формуле (5.9.4) находим вероятность попадания хотя бы одного осколка:

(Для вычисления значения показательной функции пользуемся таблицей 2 приложения).

Пример 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб. дм воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Решение. Принимая гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим:

Пример 8. По некоторой цели производится 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04. Пользуясь предельным свойством биномиального распределения (формула (5.9.17)), найти приближенно вероятность того, что в цель попадет: ни одного снаряда, один снаряд, два снаряда.

Решение. Имеем . По таблице 8 приложения находим вероятности:

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

1. Введение. 3
2. Распределение Пуассона 5
2.1. Определение закона Пуассона 5
2.2.Основные характеристики распределения Пуассона 5
2.3.Дополнительные характеристики распределения Пуассона 7
3. Формула Пуассона 13
4. Свойства распределения Пуассона 14
5. Уравнение Пуассона 15
5.1. Электростатика 15
5.2. Потенциал точечного заряда 16
5.3. Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда 17
6. Заключение 17
7. Литература 19

Файлы: 1 файл

123.doc

Реферат по основам математической

обработки информации.

Тема: Формула Пуассона.

2. Распределение Пуассона 5

2.1. Определение закона Пуассона 5

2.2.Основные характеристики распределения Пуассона 5

2.3.Дополнительные характеристики распределения Пуассона 7

3. Формула Пуассона 13

4. Свойства распределения Пуассона 14

5. Уравнение Пуассона 15

5.1. Электростатика 15

5.2. Потенциал точечного заряда 16

5.3. Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда 17

6. Заключение 17

7. Литература 19

1. Введение

Подчиняются ли каким-либо законам явления, носящие случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения СВ невозможно предугадать даже при известных условиях эксперимента, мы можем лишь указать вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зато зная распределение вероятностей СВ, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер.

Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.

Закон распределения СВ - это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.

При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели).

Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения.

Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности (возможно, кто–то уже сделал или сделает это за нас!), либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.

Конечно же, для каждого из "классических" распределений уже давно эта работа проделана ¬– широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.

Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.

Сегодня положение изменилось – нет нужды хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам. Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей.

Среди всех вероятностных распределений есть такие, которые используются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знаний – таких, как теория массового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория игр и т.п

Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Именно этому закону распределения и посвящена данная курсовая работа. Речь пойдет непосредственно о законе, о его математических характеристиках, особых свойствах, связи с биномиальным распределением. Несколько слов будет сказано по поводу практического применения и приведено несколько примеров из практики.

Цель нашего реферата – выяснить сущность теорем распределения Пуассона.

Задача – изучить и проанализировать литературу по теме реферата.

2. Распределение Пуассона

2.1. Определение закона Пуассона

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, … , m, … ; причем последовательность этих значений теоретически не ограничена. Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

2.2. Основные характеристики распределения Пуассона

Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Рm равна единице.

Используем разложение функции ех в ряд Маклорена:

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим

Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Однако, удобнее ее вычислять по формуле:

Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х:

По ранее доказанному

Далее можно найти дисперсию случайной величины Х:

2.3. Дополнительные характеристики распределения

I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хk:

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

II. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [X-M(X)]k:

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, что она примет значение не меньшее заданного k. Эту вероятность обозначим Rk:

Поскольку областью определения распределения Пуассона является множество целых неотрицательных чисел, то если случайная величина принимает дробные или отрицательные значения, ее распределение заведомо нельзя выравнивать распределением Пуассона. Характерным признаком применимости распределения Пуассона в качестве модели случайной величины с заданным эмпирическим распределением является отсутствие… Читать ещё >

Распределение Пуассона. Теория статистики ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Распределение вероятностей дискретной величины может выражаться схемой случаев Бернулли, которая рассчитывается как сумма вероятностей наступления исследуемого события и называется биномиальным распределением. На практике данный вид распределения используется, например, в аудиторском деле, когда при проверке строят распределение счетов по доле ошибок.

Предельный случай биноминального распределения для дискретной величины, когда за определенный интервал времени проводится много независимых друг от друга наблюдений и вероятность событий в каждом из них достаточно невелика, называется распределением Пуассона. Данный вид распределения рассматривает потоки событий, последовательность которых может лежать не только на числовой оси, но и на плоскости и в пространстве. Известно, например, что распределение Пуассона используется в страховых компаниях для актуарных расчетов.

Распределение Пуассона называют распределением редких явлений, оно наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (N > 100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала. Распределение Пуассона также относится к числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение. Примерами переменных, распределенных по закон>' Пуассона, могут служить число дефектов в производственном процессе, число отказов технологического оборудования и т. д.

Классическую форму распределение Пуассона принимает в том случае, если значения признака носят дискретный характер, где по мере увеличения значений признаков частоты резко уменьшаются и х_ср = а 2 . Распределение Пуассона определяется формулой.

где а — средняя арифметическая ряда (х = а).

На рис. 5.3 представлен график распределения Пуассона.

Теоретические частоты для распределения Пуассона рассчитывают по формуле.

где N — число единиц в изучаемой совокупности; а — средняя арифметическая ряда.

Теоретические частоты для распределения Пуассона определяют в следующем порядке: сначала, но эмпирическим данным определяют среднюю арифметическую ряда, затем по таблицам определяют значения е а и вычисляют теоретические частоты для каждого значения признака. Полученные теоретические значения округляют до целых чисел ["https://referat.bookap.info", 19].

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием какого-то доминирующего фактора. Экспоненциальное распределение часто используется для описания интервалов между последовательными случайными событиями, например интервалов между заходами на непопулярный сайт, так как эти посещения являются редкими событиями.

Показательное распределение представляет собой частный случай распределения Вейбулла. Это распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. Плотность распределения имеет следующий вид:

где X — параметр экспоненциального распределения.

На рис. 5.4 представлен график плотности экспоненциального распределения.

Рис. 5.4. Кривая экспоненциального распределения.

где N — объем совокупности; h_k — длина интервала; е — основание натурального логарифма; К — условные отклонения середин классов:

Рассмотрим реализацию серии п независимых испытаний в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания. И для каждого испытания имеются только два исхода:

3) событие А – успех;

4) событие - неуспех,

с постоянными вероятностями

Если число независимых испытаний n устремить к ∞, а вероятность p устремить к нулю так, чтобы np стремилось к некоторой постоянной а, то биномиальное распределение будет неограниченно приближаться к распределению Пуассона. В общем случае говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она может принимать только целые неотрицательные значения, а вероятности этих значений определяются формулой Пуассона:

(9)

где , экспонента и .

Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины представляют в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k	…
Р				…		…

при этом

Основные числовые характеристики распределения Пуассона:

1) математическое ожидание (10)

2) дисперсия (11)

3) среднее квадратическое отклонение (12)

Пример 3: Случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Найти математическое ожидание, дисперсию и , если а=4.

Решение: По формуле (9) при известных получим

Теперь найдем числовые характеристики Х:

ü математическое ожидание

ü дисперсия

ü среднее квадратическое отклонение

Ответ:

Пример 4: Случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Найти математическое ожидание, дисперсию и , если а=4.

Решение: По формуле (9) при известных получим

Теперь найдем числовые характеристики Х:

ü математическое ожидание

ü дисперсия

ü среднее квадратическое отклонение

Ответ:

На практике, когда рассматриваются потоки событий в единицу времени Пуассоновское распределение рассматривают следующим образом – пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (это поток событий). Интенсивность потока – среднее число событий, появляющихся в единицу времени – λ. Пусть данный поток событий обладает следующими свойствами:

1) вероятность появления k событий за определенный промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчета, т.е. интенсивность потока постоянная величина;

2) вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появились события в прошлом или нет;

3) появления более одного события за малый промежуток времени практически не возможно.

При выполнении свойств 1- 3 данный поток событий обладает свойствами распределения Пуассона и тогда вероятность того, что за промежуток времени t событие произойдет k раз, равна

(13)

Пример 4: Среднее число вызовов, поступающих в сотовую компанию за 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит а) четыре вызова, б) менее трех вызовов, в) не менее трех вызовов.

Решение: Исходя из условий задачи имеем дело с потоком событий, имеющих Пуассоновское распределение:

По формуле (13) найдем вероятности поступления 0, 1, 2, 3 или 4 звонка:

Теперь найдем искомые вероятности:

а) четыре вызова -

б) менее четырех вызовов

в) не менее четырех вызовов -

Читайте также: