Дифференциальные уравнения 2 порядка реферат

Обновлено: 04.07.2024

Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Большое количество задач математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к особому виду линейные уравнений так называемым линейным уравнениям. В этом главе будет изложена теория линейных уравнений второго порядка.

1.1 Определения иобщие свойства.

Определение. Дифференциальные уравнение вида
(1)

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Здесь коэффициенты уравнения и свободный член -заданные функции аргумента . Если , то линейное уравнение принимает вид:

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением (илиуравнением без правой части). Если же , то уравнение (1) называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением ( или уравнением с правой частью).
Например, уравнения:
и
будет линейным уравнениями , причем первое из них неоднородное , а второе однородное.
Уравнения
и
не принадлежит к виду (1) и не будут линейными.Первое из них содержит квадрат производно, а второе – член с произведением второй производной на искомую функцию.
Разрешим уравнения (1) относительно
(3)
Так как это уравнение является частным видом дифференциального уравнения то для него справедлива теорема существования и единственности решения Коши, сформулированная в предыдущемпараграфе. Однако для линейного уравнения это теорема может быть сформулирована проще.
Действительно, допустим, что коэффициенты уравнения и свободный член непрерывны на некотором интервале причем коэффициент, не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. тогда правая часть уравнения (3)

и ее частные производные
ибудут непрерывными функциями при любых значения переменных и и при значениях , принадлежащих интервалу Поэтому уравнения (3) удовлетворяет условием теоремы Коши. На основании сказанного сформулируем теперь теорему существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения (1).
Теорема: Если коэффициент и правая часть линейного уравнения (1)непрерывна на интервале причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни было начальные условия , где точка принадлежит интервалу существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка с колеблющимися решениями.
2.1 уравнения с колеблющимися решениями.
Объектомдальнейшего анализа уравнений второго порядка является линейное однородное уравнения

в котором заданные непрерывные функции и
Сначала приведем его к виду
(2.1)
в котором - заданная непрерывная функция. С этой целью введем замену
(2.2)
Используя эту замену, получим
(2.3)
Теперь в качестве возьмем решение уравнения
(2.4)
В результатеуравнения (2.3) примет вид

Отсюда получаем уравнение (2.1), в котором

Это уравнение является линейным, и его общее решение можно представить в виде произвольные постоянные, а - пара любых линейно независимых решении. Известно также , что практически это уравнение решается лишь в отдельных , исключительных случаях. Вместе с тем к этому уравнению можно привести однородное уравнение если воспользоватьсязаменой

Определение 2.1. Решение уравнения (2.1) называется неколеблющимся на отрезке если на этом отрезке оно обращается в нуль не более одного раза. В противном случае решение называется колеблющимся.
Пример 2.1. Рассмотрим простейшее уравнения =0 , где положительная постоянная. Решения на всем бесконечном промежутке не имеют корней. Общее.

Так как правая часть неоднородного уравнения содержит произведение многочлена второй степени на, то частное решение щ также надо искать в виде произведения многочлена второй степени на, а именно: В таком случае можно искать частное решение в виде многочлена такой же степени, что и многочлен, стоящий в правой части уравнения. Напишем этот искомый многочлен с буквенными коэффициентами: Тогда общее… Читать ещё >

дифференциальные уравнения. уравнения в частных производных

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида.

где p и q — постоянные величины.

В общем случае решение этого уравнения можно искать методом неопределенных коэффициентов по теореме 7.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение. Запишем соответствующее однородное дифференциальное уравнение.

Составим для него характеристическое уравнение:

Поскольку характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня.

то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде:

Решая эту систему уравнений, получим:

Следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в виде:

Однако способ вариации произвольных постоянных мало удобен на практике, так как большей частью приводит к громоздким выкладкам и интегрированиям. Если в правой части уравнения (9) стоит многочлен, или показательная функция, или тригонометрическая функция sinx или cosx, или линейная комбинация указанных функций, то можно дать способ нахождения частного решения уравнения (9), который состоит в выполнении некоторых алгебраических выкладок, но не содержит процесса интегрирования. Это так называемый способ неопределенных коэффициентов.

Затем сумма этого частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения, найденного по правилам предыдущего пункта, будет являться общим решением неоднородного уравнения (9).

Рассмотрим различные правые части в уравнении (9).

1. Пусть в правой части уравнения (9) стоит многочлен степени n:

В этом случае решение уравнения (9) можно тоже искать в виде многочлена, подобрав соответствующим образом его степень и коэффициенты.

а) Предположим, что q?0.

В таком случае можно искать частное решение в виде многочлена такой же степени, что и многочлен, стоящий в правой части уравнения. Напишем этот искомый многочлен с буквенными коэффициентами:

б) Предположим, что q=0, p?0. В таком случае в уравнении (9) отсутствует в левой части член с y, и поэтому нельзя искать решение в виде многочлена той же степени, что и (10).

Действительно, в левой части уравнения (9) после подстановки многочлена степени n отсутствовал бы член, содержащий, а в правой части он присутствует, и тождество левой и правой частей уравнения (9) было бы невозможно. В этом случае надо искать решение уравнения (9) в виде многочлена степени на единицу больше, чем многочлен (10), причем многочлен можно сразу писать без свободного члена, так как в производные этот свободный член все равно не входит, т. е. в виде:

Определение неизвестных коэффициентов осуществляется так же как в случае а).

в) Предположим, что q=p=0. Тогда в левой части уравнения отсутствуют члены с y и y' и, проводя рассуждения, аналогичные приведенным ранее, видим, что решение уравнения надо искать в виде многочлена степени на две единицы больше, чем многочлен (10), т. е. в виде:

Пример 5. Найти общее решение уравнения.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Составим характеристическое уравнение:

Откуда k₁=0 и k₂=-2. По формуле (3) общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

Так как в данном уравнении q=0 и в правой части стоит многочлен первой степени, то частное решение данного уравнения щ надо искать по формуле (13) в виде:

как было указано в пункте б). Подставляя щ, щ', щ'' в данное уравнение, получаем:

откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получаем систему для определения :

Подставляя найденные значения коэффициентов в щ, получаем частное решение неоднородного дифференциального уравнения:

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения находится как сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного дифференциального уравнения:

2. Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:

Будем искать частное решение уравнения (9) в виде произведения.

где U — некоторый множитель, вид которого надо определить. Найдем производные щ:

и подставим в уравнение (9):

Вынесем за скобки и сгруппируем слагаемые в левой части:

Для того, чтобы это равенство было тождеством, нужно, чтобы в левой части равенства получился тот же многочлен, что и в правой части, то есть многочлен P_n(x).

а) Если число б не является корнем характеристического уравнения для однородного уравнения, соответствующего уравнению (9), то. Для того, чтобы (15) обратилось в тождество, нужно по предшествующему пункту а) взять в качестве U многочлен степени n и определить его коэффициенты, как это делалось выше. Таким образом, в этом случае.

б) если число б является корнем первой кратности характеристического уравнения, то.

Для того чтобы (15) обратилось в тождество, нужно взять в качестве U многочлен степени n+1, как в случае б) первого пункта:

и определить, как указывалось выше его коэффициенты. Таким образом, в этом случае.

в) если число б является корнем второй кратности характеристического уравнения, то.

Для того чтобы (15) обратилось в тождество, нужно взять в качестве U многочлен степени n+2, как в случае в) первого пункта:

и определить обычным способом его коэффициенты. Таким образом, в этом случае.

Пример 6. Решить дифференциальное уравнение.

Решение. Напишем соответствующее однородное уравнение:

и его характеристическое уравнение:

Оно имеет два корня k₁=1, k₂=2. Тогда общим решением однородного дифференциального уравнения будет функция.

(В нашем случае б=3 не является корнем характеристического уравнения.).

Чтобы найти коэффициенты дважды дифференцируем выражение (*) и подставляем значения щ, щ', щ'' в дифференциальное уравнение.

После сокращения на и приведения подобных членов получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему:

Таким образом, искомое частное решение будет:

Тогда общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Прежде, чем переходить к третьему случаю, докажем одну общую теорему, относящуюся к уравнению, в правой части которого стоит сумма нескольких слагаемых.

Теорема. Сумма частных решений двух уравнений.

дает частное решение уравнения.

Доказательство. Обозначим через щ₁ частное решение уравнения (16) и через щ₂ — частное решение уравнения (17). Составим сумму щ₁+ щ₂ и проверим, что она является решением уравнения (18). Для этого подставим сумму щ₁+ щ₂ и ее производные в уравнение (18). Получим:

так как выражение в первых скобках по условию равно тождественно f₁(x) и выражение во вторых скобках тождественно равно f₂(x). Таким образом, щ = щ₁+ щ₂ есть частное решение уравнения (18). ?

3. Пусть правая часть уравнения (9) имеет вид:

где — многочлены соответственно степени n и m.

Заменяя cosвx и sinвx по формулам Эйлера, получаем:

Принимая во внимание выводы, полученные в пункте 2, и на основании доказанной теоремы частное решение надо искать в виде.

если числа не являются корнями характеристического уравнения (случай а)), и в виде.

Читайте также: