Обновлено: 05.07.2024

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Определение цилиндра. Элементы и свойства цилиндра. Площадь цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра. Объем цилиндра. В практической части - примеры решения задач.

Рубрика	Математика
Вид	методичка
Язык	русский
Дата добавления	10.06.2008
Размер файла	8,6 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Содержание

Введение 3
• 1 Теоретическое часть 4
  • 1.1. Определение цилиндра 4
  • 1.2. Элементы и свойства цилиндра 7
  • 1. 3. Сечения цилиндра 9
  • 1.4. Площадь цилиндра 11
  • 1.5. Объем цилиндра 13
  • Задача 1. 15
  • Задача 2. 16
  • Задача 3. 17
  • Задача 4. 18
  • Задача 5. 19
  • Задача 6. 20
  • Задача 7. 21
  • Задача 8. 22
  • Задача 9. 23
  • Задача 10. 24
  • Задача 11. 26
  • Задача 12. 27

  Введение

  Стереометрия ? это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

  В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями указанной фигуры. Например, многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание, а величественные колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндров, подчеркивают их гармонию и красоту.

  Греч. ? кюлиндрос. Античный термин. В обиходе ? свиток папируса, валик, каток (глагол ? крутить, катать).

  У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери ? движением образующей (при произвольной направляющей ? "цилиндрика").

  Цель данного реферата рассмотреть геометрическое тело - цилиндр.

  Для достижения данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:

  ? дать определения цилиндра;

  ? рассмотреть элементы цилиндра;

  ? изучить свойства цилиндра;

  ? рассмотреть виды сечения цилиндра;

  ? вывести формулу площади цилиндра;

  ? вывести формулу объема цилиндра;

  ? решить задачи с использованием цилиндра.

  1 Теоретическое часть

  Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плокости ?, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность ? называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s₁, s₂, s₃. ? ее образующими.

  Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними ? ее гранями.

  Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая ? нормальной направляющей.

  Если направляющая ? замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

  В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями ? и ?', и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом ? призмой.

  Цилиндрическое тело ? цилиндр определяется аналогично призме:
  Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.

  Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

  Рис. 1 ? Цилиндр

  1.2. Элементы и свойства цилиндра

  Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, ? образующими цилиндра.

  Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.

  Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.

  Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.

  Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

  Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

  Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

  Рис. 2 ? Прямой цилиндр

  В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

  Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

  Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

  Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

  В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра ? круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс ? то эллиптическом.

  1. 3. Сечения цилиндра

  Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 3, а). Две его стороны ? образующие цилиндра, а две другие ? параллельные хорды оснований.

  Рис. 3 - Сечения цилиндра

  В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это ? сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 3, б).

  Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию ? круг (рис 3, в).

  Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси ? овал (рис. 3г).

  Теорема 1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

  Доказательство. Пусть ? ? плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость ? с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью ? с окружностью основания. Теорема доказана.

  1.4. Площадь цилиндра

  Площадь боковой поверхности цилиндра.

  За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон основания этой призмы неограниченно возрастет.

  Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок.ц = 2?RH, где R ? радиус основания цилиндра, Н ? высота цилиндра).

  
  а) б)
  Рис. 4 ? Площадь боковой поверхности цилиндра

  Доказательство.

  Пусть P_n и Н соответственно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда площадь боковой поверхности этой призмы S_бок.ц ? P_nH. Предположим, что число сторон многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда периметр P_n стремится к длине окружности С = 2?R, где R-- радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2?RH, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна S_бок.ц = 2?RH. Теорема доказана.

  Площадь полной поверхности цилиндра.

  Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна ?R 2 , следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S_полн вычисляется по формуле S_бок.ц = 2?RH+ 2?R 2 .

  Рис. 5 ? Площадь полной поверхности цилиндра

  Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей FT (рис. 5, а) и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник FTT1F1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, FF1=2?R, а его сторона FT равна образующей цилиндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь FT•FF1=2?RH развертки цилиндра равна пло-щади его боковой поверхности.

  1.5. Объем цилиндра

  Если геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.

  Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Цилиндры. Цилиндры вокруг нас. Презентация на заданную тему содержит 7 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

  
  
  
  
  
  
  
  

  Цили́ндр— геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

  Цилиндры бывают прямыми и наклонными в зависимости от того перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим. В основаниях могут лежать различные фигуры

  Прямая, соединяющая центры оснований цилиндра, называется осью цилиндра. Сечение цилиндра, проходящее через ось, называется осевым сечением.

  Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси.

  Содержание
  1. Введение………………………………………………………………….…3
  2. Определение и общие свойства цилиндра………………….…………….3
  3. Цилиндр вращения…………………………………………………………4
  4. Эллипс как сечениецилиндра вращения…………………………………5
  5. Объем цилиндра……………………. …………………………………….6
  6. Площадь цилиндра……………………. ………………………………….6
  7. Цилиндры в практике………………………. ……………………………7
  8. Задачи и их решение……………………………………………………….8

  
  Введение
  Определение и общие свойства цилиндра
  Цилиндром (точнее, прямым круговым цилиндром) называется тело вращения, полученное при вращениипрямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Слово цилиндр часто встречается в технике. Цилиндры обычно представляют себе круглыми, т.е. с круглым основанием (рис. 1). Их можно определить так: пусть даны две параллельные плоскости, задана некоторая фигура F. Из всех точек фигуры F проведем параллельные друг другу отрезки до плоскости α'. Фигура, которую образуют эти отрезки, иназывается цилиндром. Фигура F, из точек которой проведены отрезки, называется основанием цилиндра. Отрезки, образующие цилиндра, так и называются его образующими.

  Призма называется описанной около цилиндра, если осно­вание её - это многоугольники, описанные около основанияцилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис.2)
  Простейшие свойства цилиндра:
  Свойство 1: Все образующие цилиндра равны друг другу.
  Свойство 2: Основание цилиндра равны друг другу.
  Свойство 3: Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостями основания цилиндра, равны основания цилиндра.
  Действительно, любое такое сечение является общим двух цилиндров, на которые секущая плоскость разбиваетданный цилиндр. Поэтому оно равно другим основаниям этих цилиндров, которые являются основаниями исходного цилиндра.
  Перпендикуляр, опущенный из любой плоскости одного основания цилиндра на плоскость другого его основания, называется высотой цилиндра (иначе длина образующей). Т.к. плоскости оснований параллельны, то перпендикуляры у них общие и все они равны. Поэтому высоту можно проводить излюбой точки плоскости основания.
  Для того, чтобы задать цилиндр, достаточно задать его основание и одну образующую. Соответственно, цилиндры различают по виду оснований и наклону образующих.
  Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскости основания. Для этого достаточно, чтобы какая-то образующая была перпендикулярно плоскости основания, так как остальные образующиепараллельны ей и тоже будут перпендикулярны к плоскости основания, т.к. остальные образующие параллельны ей и тоже будут перпендикулярны к плоскости основания.
  Цилиндру можно дать и другое определение. Цилиндр можно определить как фигуру, образованную равными и параллельными друг другу отрезками, идущими из всех точек некоторой плоской фигуры F в одну сторону от её плоскости α (рис. 2)
  Нам надо убедиться что концы,о которых уже было сказано, лежат в одной плоскости α', параллельной плоскости α. Сделаем проверку. Возьмем некоторую точку А, принадлежащую фигуре F, построим отрезок АА' и проведем через точку А' плоскость α', параллельную плоскости α .
  Если теперь взять любую точку X F и провести через Х прямую l, параллельную прямой АА', то l пересечет плоскость α' в такой точке Х', что ХХ' = АА'. А это иозначает, что концы всех отрезков ХХ', равных и параллельных отрезку АА' и идущих с ним в одном направлении от плоскости α, лежат в плоскости α' ׀׀α.
  Цилиндр вращения
  Прямым круговым цилиндром называется прямой цилиндр, основание которого – круг. Отрезок, соединяющий центры его оснований, называется осью цилиндра. Ось прямого кругового цилиндра является его осью.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

  
  

  Описание презентации по отдельным слайдам:

  
  

  ЦИЛИНДРЫ ВОКРУГ НАС. Учитель математики Новоромановской СОШ Марухленко В.М.

  
  

  ЦИЛИНДРЫ ВОКРУГ НАС.

  
  

  ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. Если в одной из двух параллельных плоскостей взять окружность, и из каждой ее точки восстановить перпендикуляр до пересечения со второй плоскостью, то получится тело, ограниченное двумя кругами и поверхностью, образованной из перпендикуляров. Это тело называется цилиндром.

  
  

  ТОЧНОЕ НАЗВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ВЫШЕ ТЕЛА – ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР. Вообще, цилиндр возникает при пересечении цилиндрической поверхности, образованной множеством параллельных прямых, проведенных через каждую точку замкнутой кривой линии, и двух параллельных плоскостей.

  
  

  ЦИЛИНДРЫ БЫВАЮТ ПРЯМЫМИ И НАКЛОННЫМИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ИЛИ НАКЛОННЫ ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЙ К ОБРАЗУЮЩИМ. В ОСНОВАНИЯХ МОГУТ ЛЕЖАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ ФИГУРЫ.

  
  

  ВЫСОТА, РАДИУС И ОСЬ ЦИЛИНДРА. Радиусом цилиндра наз. радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Высота всегда равна образующей

  
  

  ВСПОМНИТЕ ФОРМУЛУ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ КРУГА И НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ ЦИЛИНДРА, РАДИУС КОТОРОГО РАВЕН 2. 4

  
  

  ПРЯМАЯ, СОЕДИНЯЮЩАЯ ЦЕНТРЫ ОСНОВАНИЙ ЦИЛИНДРА, НАЗЫВАЕТСЯ ОСЬЮ ЦИЛИНДРА. Сечение цилиндра, проходящее через ось, называется осевым сечением.

  
  

  НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ОСЕВОГО СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНЫ РАДИУС ЕГО ОСНОВАНИЯ И ВЫСОТА. 20

  
  

  ЦИЛИНДР МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК ТЕЛО, ПОЛУЧЕННОЕ ПРИ ВРАЩЕНИИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ВОКРУГ ЕГО СТОРОНЫ КАК ОСИ.

  
  

  ЛЮБОЕ СЕЧЕНИЕ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ОСИ – ЭТО КРУГ, РАВНЫЙ ОСНОВАНИЮ.

  
  

  ПУСТЬ ЦИЛИНДР ПЕРЕСЕКЛИ ПЛОСКОСТЬЮ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ОСИ И ПОЛУЧИЛИ КРУГ ПЛОЩАДЬЮ 3Π. ЧЕМУ РАВЕН РАДИУС ЦИЛИНДРА?

  
  

  ВЫСОТА ЦИЛИНДРА 7 СМ, А РАДИУС ОСНОВАНИЯ 5 СМ. В ЦИЛИНДРЕ РАСПОЛОЖЕНА ТРАПЕЦИЯ ТАК, ЧТО ВСЕ ЕЕ ВЕРШИНЫ НАХОДЯТСЯ НА ОКРУЖНОСТЯХ ОСНОВАНИЙ ЦИЛИНДРА. НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ И УГОЛ МЕЖДУ ОСНОВАНИЕМ И ПЛОСКОСТЬЮ ТРАПЕЦИИ, ЕСЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СТОРОНЫ ТРАПЕЦИИ РАВНЫ 6СМ И 8 СМ. Задача.

  
  

  Дано: цилиндр; Н = 7, R = 5 АВСD – трапеция, АВ = 6, СD = 8 Найти: SABCD; угол между АВСD и основанием.

  
  

  ПРОВЕДЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ: ПОСТРОИМ ВЫСОТУ ТРАПЕЦИИ, ЕЕ ПРОЕКЦИЮ НА ВЕРХНЕЕ ОСНОВАНИЕ ЦИЛИНДРА И ПЕРЕНЕСЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ НИЖНЕЕ ОСНОВАНИЕ ТРАПЕЦИИ НА ВЕРХНЕЕ ОСНОВАНИЕ ЦИЛИНДРА. НК – высота трапеции НН1 – проекция НК на основание Н1К = ОО1 = 7 С1D1 | | СD; С1D1 = CD

  
  

  РАССМОТРИМ ПРОЕКЦИЮ ВЫСОТЫ ТРАПЕЦИИ НА ВЕРХНЕЕ ОСНОВАНИЕ ЦИЛИНДРА. ΔАОВ и ΔС1ОD1 – равнобедренные. АН = НВ → НВ = ½ АВ = 3. С1Н1=Н1D1→Н1D1= ½С1D1=4 Из ΔОВН: ОН = 4. Из ΔОD1Н1: ОН1 = 3. НН1 = ОН + ОН1 = 7

  
  

  НАЙДЕМ ВЫСОТУ ТРАПЕЦИИ, ЕЕ ПЛОЩАДЬ И ИСКОМЫЙ УГОЛ. НН1 = 7, Н1К = 7 ےН1НК = ےНКН1 = 450 НК = 7√2 SABCD = ½ (АВ + СD)*НК SАВСD = 49√2

  
  

  ЗАДАЧА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Расстояние от центра верхнего основания до плоскости нижнего основания равно 6, а площадь осевого сечения равна 72. Найдите расстояние от этого центра до хорды нижнего основания, стягивающей дугу в 900. О1Н1 = 3√2 н1

  
  

  • подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • по всем предметам 1-11 классов

  Курс повышения квалификации

  Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

  
  

  Курс профессиональной переподготовки

  Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  
  

  Курс повышения квалификации

  Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • ЗП до 91 000 руб.
  • Гибкий график
  • Удаленная работа

  Дистанционные курсы для педагогов

  Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

  5 595 864 материала в базе

  Материал подходит для УМК

  59. Понятие цилиндра

  Самые массовые международные дистанционные

  Школьные Инфоконкурсы 2022

  Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  Другие материалы

  Вам будут интересны эти курсы:

  Оставьте свой комментарий

  • 05.03.2018 1620
  • PPTX 1.5 мбайт
  • 12 скачиваний
  • Оцените материал:

  Настоящий материал опубликован пользователем Марухленко Валентина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

  Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

  Автор материала

  40%

  • Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
  • Для учеников 1-11 классов

  Московский институт профессиональной
  переподготовки и повышения
  квалификации педагогов

  Дистанционные курсы
  для педагогов

  663 курса от 690 рублей

  Выбрать курс со скидкой

  Выдаём документы
  установленного образца!

  Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

  Время чтения: 11 минут

  Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

  Время чтения: 1 минута

  Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

  Время чтения: 1 минута

  Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

  Время чтения: 1 минута

  РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

  Время чтения: 1 минута

  Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

  Время чтения: 3 минуты

  В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

  Время чтения: 0 минут

  Подарочные сертификаты

  Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

  Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

  Читайте также:

    
  • Реферат соловьев о государстве
    
  • Школа молодой матери реферат
    
  • Сирек кездесетін металдар реферат
    
  • Основы бизнеса и права в информационных технологиях реферат
    
  • Оздоровительные функции физической культуры реферат