Частотное представление периодических сигналов реферат

Обновлено: 08.07.2024

1 Распределение энергии в спектре периодического и непериодического сигнала; равенство Парсеваля; понятие о практической ширине частотного спектра сигнала

Формы представления сигналов. Кроме привычного динамического представления сигналов и функций в виде зависимости их значений от определенных аргументов (времени, линейной или пространственной координаты и т.п.) при анализе и обработке данных широко используется математическое описание сигналов по аргументам, обратным аргументам динамического представления. Так, например, для времени обратным аргументом является частота. Возможность такого описания определяется тем, что любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал, не имеющий разрывов второго рода (бесконечных значений на интервале своего задания), можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, что выполняется при помощи преобразования Фурье. Соответственно, математически разложение сигнала на гармонические составляющие описывается функциями значений амплитуд и начальных фаз колебаний по непрерывному или дискретному аргументу – частоте изменения функций на определенных интервалах аргументов их динамического представления. Совокупность амплитуд гармонических колебаний разложения называют амплитудным спектром сигнала, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. Оба спектра вместе образуют полный частотный спектр сигнала, который по точности математического представления тождественен динамической форме описания сигнала.

Спектральная форма представления сигнала – это представление параметров сигнала в виде двух графиков:

Спектральная диаграмма амплитуд показывает распределение энергии сигнала между составляющими его спектра. Структура спектра периодического сигнала полностью определяется значениями амплитуд и фаз гармоник. Высота линий спектра амплитуд пропорциональна амплитуде данной гармоники, поэтому их высоты различны. Основание спектральной линии на оси частот лежит в точке, соответствующей частоте гармоники. Длины линий спектра фаз пропорциональны значению фаз. Основание спектральной линии на оси частот лежит в точке, соответствующей частоте гармоники.

К периодическим относят гармонические и полигармонические сигналы. Для периодических сигналов выполняется общее условие s(t) = s(t + kT), где k = 1, 2, 3, . – любое целое число, Т – период, являющийся конечным отрезком независимой переменной.

Гармонические сигналы (или синусоидальные), описываются следующими формулами:

где А, f_o, ω_o, φ,  – постоянные величины, которые могут исполнять роль информационных параметров сигнала: А – амплитуда сигнала, f_о – циклическая частота в герцах, ω_о = 2πf_о – угловая частота в радианах, φ и  – начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/f_о = 2π/ω_o. При  =  – /2 синусные и косинусные функции описывают один и тот же сигнал. Частотный спектр сигнала представлен амплитудным и начальным фазовым значением частоты f_о (при t = 0).

Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний:

или непосредственно функцией s(t) = y(t  kT_p), k = 1,2,3. где Т_р – период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение f_p =1/T_p называют фундаментальной частотой колебаний. Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (f_о=0) и произвольного (в пределе – бесконечного) числа гармонических составляющих с произвольными значениями амплитуд A_n и фаз _n, с периодами, кратными периоду фундаментальной частоты f_p. Другими словами, на периоде фундаментальной частоты f_p, которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала. Частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, в связи с чем второе распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов Фурье).

В качестве примера на рис. 1.1.6 приведен отрезок периодической сигнальной функции, которая получена суммированием постоянной составляющей (частота постоянной составляющей равна 0) и трех гармонических колебаний с разными значениями частоты и начальной фазы колебаний. Математическое описание сигнала задается формулой:

где: A_k = – амплитуда гармоник; f_k = – частота в герцах; φ_k = – начальный фазовый угол колебаний в радианах; k = 0, 1, 2, 3. Фундаментальная частота сигнала 40 Гц. Частотное представление данного сигнала (спектр сигнала) приведено на рисунке 1.

Рисунок 1 – Модель и спектр сигнала.

Периодический сигнал любой произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными фундаментальной частоте колебаний f_р= 1/Т_р. Для этого достаточно разложить один период сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям синуса и косинуса с шагом по частоте, равным фундаментальной частоте f = f_p:

s(t) = (a_k cos 2πkΔft + b_k sin 2πkΔft),

a_o = (1/T) s(t) dt, a_k = (2/T) s(t) cos 2πkΔft dt,

b_k = (2/T) s(t) sin 2πkΔft dt.

Количество членов ряда Фурье K = k_max обычно ограничивается максимальными частотами f_max гармонических составляющих в сигналах так, чтобы f_max 2 df.

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

|s(t)| 2 dt = |S(f)| 2 df,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра – сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

x(t) y*(t) dt = X(f) Y*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ω) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2π.

Спектр частотно-модулированного сигнала. В общем виде найти этот спектр трудно. Однако для практики это и не нужно. Достаточно знать:

а) что при частотной модуляции спектр информационного сигнала переносится на несущую частоту ;

б) практическую ширину спектра ЧМ-сигнала .

Установлено, что практическая ширина спектра ЧМ-сигнала определяется выражением:

Электрические сигналы можно исследовать во временной области с помощью осциллографа и в частотной области с помощью анализатора спектра (рисунок 1).

Рисунок 1 – Сигналы, исследуемые во временной и частотной областях

Эти два режима отображения сигналов связаны друг с другом преобразованием Фурье (обозначается как F), поэтому каждый сигнал во временной области имеет характерный частотный спектр. Таким образом, связь представлениями во временной и частотной областях будет следующей:

\(F\< x(t) \>\) – преобразование Фурье от \(x(t)\) ;
\(F^\\) – обратное преобразование Фурье от \(X_f (f)\) ;
\(x(t)\) – сигнал во временной области;
\(X_f (f)\) – комплексный сигнал в частотной области.

Чтобы проиллюстрировать эту взаимосвязь, сначала исследуем сигналы только с периодическим откликом во временной области.

Периодические сигналы

Согласно теореме Фурье любой сигнал, являющийся периодическим во временной области, может быть получен из суммы синусоидальных и косинусоидальных сигналов разной частоты и амплитуды. Такая сумма называется рядом Фурье. В этом случае применима следующая формула:

\[x(t) = \frac + \sum_^ <\infty>A_n \cdot \sin(n \cdot \omega_0 \cdot t) + \sum_^ <\infty>B_n \cdot \cos(n \cdot \omega_0 \cdot t) \qquad (3)\]

Коэффициенты Фурье A₀, A_n и B_n зависят от формы сигнала x(t) и могут быть рассчитаны следующим образом:

\[A_0 = \frac \int_^ x(t) \ dt \qquad (4)\]

\[A_n = \frac \int_^ x(t) \cdot \sin(n \cdot \omega_0 \cdot t) \ dt \qquad (5)\]

\[B_n = \frac \int_^ x(t) \cdot \cos(n \cdot \omega_0 \cdot t) \ dt \qquad (6)\]

На рисунке 2b показан прямоугольный сигнал, аппроксимированный в ряд Фурье. Отдельные компоненты этого ряда Фурье показаны на рисунке 2a. Чем больше этих компонентов, тем итоговый сигнал ближе к идеальным прямоугольным импульсам.

Рисунок 2 – Аппроксимация прямоугольного сигнала путем суммирования различных синусоидальных колебаний

В случае синусоидальных или косинусоидальных сигналов для уравнения 1 можно найти решение в замкнутой форме, и для отображения комплексного спектра будут получены следующие соотношения:

где \(\delta (f-f_0)\) – функция Дирака:

\[\begin \delta (f-f_0) = \begin \infty &\text f-f_0=0 \ \text f=f_0 \\\ 0 \end \end \\ \int_<-\infty>^ <+\infty>\delta (f-f_0) \ df = 1\]

Можно видеть, что частотный спектр и синусоидального, и косинусоидального сигналов является функцией Дирака при f₀ (смотрите рисунок 4a). Преобразования Фурье синусоидального и косинусоидального сигналов идентичны по величине, так что эти два сигнала демонстрируют идентичный амплитудный спектр на одной и той же частоте f₀.

Чтобы вычислить частотный спектр периодического сигнала, временная характеристика которого описывается рядом Фурье в соответствии с уравнением 3, необходимо преобразовать каждый компонент ряда. Каждый из этих элементов приводит к функции Дирака, то есть дискретной составляющей в частотной области. Поэтому периодические сигналы всегда демонстрируют дискретные спектры, которые также называются линейчатыми спектрами. Например, спектр, показанный на рисунке 3, получен для аппроксимированного прямоугольного сигнала на рисунке 2.

Рисунок 3 – Амплитудный спектр аппроксимированного прямоугольного сигнала, показанного на рисунке 2

На рисунке 4 показаны еще несколько примеров периодических сигналов во временной и частотной областях.

Рисунок 4 – Периодические сигналы во временной и частотной области (амплитудные спектры)

Непериодические сигналы

Сигналы с непериодическим поведением во временной области не могут быть описаны рядом Фурье. Следовательно, частотный спектр таких сигналов не может быть составлен из дискретных спектральных составляющих. Непериодические сигналы демонстрируют непрерывный частотный спектр с частотно-зависимой спектральной плотностью. Представление такого сигнала в частотной области вычисляется с помощью преобразования Фурье (уравнение 1).

Подобно синусоидальным и косинусоидальным сигналам, решение уравнения 1 в замкнутой форме может быть найдено для многих сигналов. Таблицы с такими парами преобразований можно найти в [1].

Для сигналов со случайными характеристиками во временной области, таких как шум или случайные битовые последовательности, решение в замкнутой форме встречается редко. В этом случае частотный спектр легче определить численным решением уравнения 1.

На рисунке 5 показаны некоторые непериодические сигналы во временной и частотной областях.

Рисунок 5 – Непериодические сигналы во временной и частотной областях

В зависимости от типа выполняемого измерения, полезными могут быть исследования либо во временной, либо в частотной области. Например, для измерения джиттера сигнала цифровой передачи данных требуется осциллограф. Для определения содержания гармоник более полезно исследовать сигнал в частотной области.

Сигнал, показанный на рисунке 6, кажется чистой синусоидой с частотой 20 МГц. Исходя из приведенных выше соображений, можно было бы ожидать, что его частотный спектр будет состоять только из одного компонента на частоте 20 МГц.

Рисунок 6 – Синусоидальный сигнал (f = 20 МГц), исследуемый на осциллографе

Однако при исследовании сигнала в частотной области с помощью анализатора спектра становится очевидным, что основная гармоника (гармоника 1-го порядка) накладывается на несколько гармоник более высокого порядка, то есть кратные 20 МГц (рисунок 7). Исследуя сигнал во временной области, эту информацию получить нелегко, и практическая количественная оценка высших гармоник невозможна. Кратковременную стабильность частоты и амплитуды синусоидального сигнала намного легче исследовать в частотной области, чем во временной (смотрите также раздел 6.1 «Измерение фазового шума).

Рисунок 7 – Исследование синусоидального сигнала, показанного на рисунке 6, в частотной области с помощью анализатора спектра

Итак, прямое преобразование Фурье (2.29) ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной… Читать ещё >

Спектральное представление непериодических сигналов с помощью преобразований Фурье ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Метод рядов Фурье допускает определенное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики и непериодических сигналов.

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических (импульсных) сигналов (их еще называют финитными, т. е. пространственно ограниченными). Такие сигналы отличны от нуля только на ограниченном интервале времени. Очевидно, что импульсный сигнал будет иметь и конечную энергию — если только он не содержит разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции).

Для иллюстрации перехода от ряда к интегральному преобразованию Фурье применяют пе вполне строгий математически, по зато понятный аналитический подход. В теории спектрального представления непериодических импульсных сигналов используют искусственный прием, формально (мысленно) заменяя одиночные сигналы периодическими с бесконечно большим периодом следования Т —*? 00 (рис. 2.17). Положим, что некая функция u (t) аналитически описывает одиночный импульсный сигнал ко;

Рис. 2.17. Непериодические сигналы:

а — одиночный импульс; б — условное периодическое представление нечной длительности (рис. 2.17, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом Т (штриховые импульсы на рис. 2.17,6), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов u_n(t) = u (t ± пТ).

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала времени [О, Т| исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения этих импульсов. В пределе, при увеличении длительности периода и Т —?оо, все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность импульсов u_n(t) вновь станет одиночным импульсом u (t). В этом случае выражения (2.20) и (2.21) сохраняют смысл. Подставив соотношение (2.21) в формулу (2.20), запишем периодическую функцию.

Так как период следования импульсов Т= 2тс/со^ то.

Нетрудно заметить, что при увеличении периода следования импульсов Т гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте (линейный спектр становится все более плотным), а амплитуды спектральных составляющих становятся все меньше. При этом вид вычисляемого интеграла (2.21) не меняется. В предельном случае, когда Т —? оо, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет фактически сплошным, а амплитуды спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов coj = 2л/Г—? 0 и превращается в б/со, дискретная переменная /?со, — в мгновенную (текущую) частоту со, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов u_n(t) станет одиночным импульсом u (t), и формула (2.27) запишется в виде.

Интеграл в скобках в формуле (2.28) есть комплексная функция частоты. Обозначив его.

С точки зрения преобразований Фурье физический смысл аргумента функции и (время t или координатах) не играет роли. Однако интуитивно более легко воспринимаются результаты разложения функций времени u (t).

Соотношения (2.29) и (2.30) носят фундаментальный характер в теории сигналов и определяют соответственно прямое и обратное преобразования Фурье (direct, inverse Fourier transform). Они связывают между собой вещественную функцию времени u (t) и комплексную функцию частоты5(со).

Если использовать не угловую частоту со, а циклическую / = со/(2л), то формулы прямого (2.29) и обратного (2.30) преобразования Фурье становятся еще более симметричными, отличаясь лишь знаком в показателе экспоненты:

Преобразования (2.29) и (2.30) существуют, если анализируемая функция u (t) удовлетворяет условиям Дирихле (по аналогии с периодическим сигналом), к которым добавляется требование абсолютной интегрируемости сигнала

Итак, прямое преобразование Фурье (2.29) ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной области. Спектральная плотность — комплексная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе гармоник.

Поскольку интеграл Фурье (2.29) содержит непрерывную последовательность спектральных составляющих сигнала с бесконечно малыми амплитудами, то функцию 5(со) называют спектральной функцией (спектральной плотностью или просто спектром). Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот. В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет определенное значение частоты и отстоит от соседней на со, = 2п/Т.

Дискретный спектр периодического сигнала и спектральная плотность непериодического сигнала имеют разные размерности. Размерность амплитудного спектра периодического сигнала совпадает с размерностью самого сигнала — [В| или | А|, а размерность спектральной плотности амплитуд определяется отношением размерности сигнала к размерности частоты — [В/Гц] или [А/Гц] [18, "https://referat.bookap.info"].

Поскольку анализируемый непериодический сигнал u (t) и его спектральная плотность ^(со) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье, то последние позволяют аналитически отыскать спектральную плотность, но заданной форме сигнала, и наоборот, его форму по полученной спектральной плотности. В общем случае ^(со) является комплексной величиной. Как комплексная величина она записывается в виде

где |5(со)|, cp (co) — соответственно модуль и аргумент комплексной величины, т. е. амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Прямое преобразование Фурье четного сигнала u (t) всегда дает вещественную функцию частоты со, а нечетного сигнала u (t) — мнимую функцию частоты.

Нетрудно показать, что интеграл.

представляет собой комплексно-сопряженную спектральную плотность непериодического сигнала.

|Пр|/1мер 2.2Щ. ?' .- - V .'_Л.? ',.3 ' ' *1

Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса (2.33) и спектра их периодической последовательности (2.22), находим, что модуль спектральной плотности и огибающая гармоник дискретного спектра совпадают, но форме и отличаются масштабом по оси амплитуд.

Спектры некоторых распространенных импульсов

Название работы: Спектральное представление сигналов

Предметная область: Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описание: Представление сигнала в виде ряда может использоваться и как исходное при его описании и анализе. Фурье свел единую функцию трудно поддающуюся математическому описанию к более удобным в обращении рядам гармонических тригонометрических функций которые в сумме дают исходную функцию. Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической синуснокосинусной формой ряда Фурье.

Дата добавления: 2015-02-16

Размер файла: 109 KB

Работу скачали: 22 чел.

В радиотехнике используют оригинальный прием, при котором реал ь ные, сложные по структуре и форме сигналы заменяют (представляют) набором (взвешенной суммой) математических моделей, описываемых элеме н тарными функциями. Представление сигнала в виде ряда может использоваться и как и с ходное при его описании и анализе. При этом можно существенно упростить о б ратную задачу синтез сложных сигналов из совокупности элементарных функций.

Фурье свел единую функцию, трудно поддающуюся математическому описанию, к более удобным в обращении рядам гармонических тригонометрич е ских функций, которые в сумме дают исхо д ную функцию.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье: (1)

компоненты анализируемого сигнала:

- постоянная составляющая (2)

- амплитуды косинусоидальных составляющих: (3)

- амплитуды синусоидальных составляющих: (4)

Спектральную составляющую с частотой ω 1 в радиотехнике называют первой (основной) гармоникой, а составляющие с частотами nω 1 ( n > 1) высшими гармониками периодического сигнала.

Из курса математики известно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (1) отсутствуют синусоидальные коэффициенты b n так как в соответствии с формулой (4) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (3), нулю равны косинусоидальные коэффициенты а n и ряд содержит составляющие b n (кстати, постоянная составляющая а 0 также отсутствует). Заметим, что пределы интегрирования (от -T/2 до T/2) не обязательно должны быть такими, как в приведенных формулах (2 - 4). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной T результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений; например, может оказаться проще выполнять интегрирование от 0 до T или от -T до 0, и т. д.

Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования n (т. е. для каждой гармоники с частотой nω 1 ) в формуле (1) фигурируют два слагаемых косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме: (5)

А n амплитуда; φ n - начальная фаза n-й гармоники сигнала.

Также широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент. Представление вытекает из формулы Эйлера е jх = cosx +jsinx :

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (5), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями: (6)

А теперь будем трактовать в (6) экспоненты при частоте ω 1 со знаком минус в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А 0 станет членом ряда с нулевым номером. После несложных преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье (7)

комплексная амплитуда n-й гармоники.

Cвязь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье.(9)

Можно также показать, что коэффициенты: (10)

Различают амплитудно-частотные и фазо- частотные спектры (не следует путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками электрических цепей). Совокупность амплитуд гармоник А n называют амплитудным спектром, их фаз ф n фазовым спектром. Совокупность С n = |С n | является комплексным амплитудным спектром

Рис. 1. Спектры периодического сигнала:

а амплитудный; б фазовый; в амплитудный спектр комплексного ряда Фурье

Из всех видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку с его помощью можно оценить количественное содержание тех или иных гармоник в частотном составе сигнала.

Амплитудный спектр анализируемого сигнала в значительной степени зависит от отношения периода повторения T и длительности импульса ти, т. е. от скважности q. Расстояние по частоте между соседними гармониками спектра равно частоте следования импульсов ω 1 = 2π/T

Рис. 2. Спектры последовательности прямоугольных импульсов:

а амплитудный; б фазовый

Ширина лепестков спектра последовательности, измеренная в единицах частоты, равна 2π/τ И , т. е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Отметим, что при одной и той же длительности импульса ти с увеличением периода их повторения Т основная частота ω 1 уменьшается, и спектр становится плотнее. Ту же картину наблюдают, если укорачивают длительность импульса τ И при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармоник при этом уменьшаются. Это проявление общего закона (принципа неопределенности В. Гейзенберга), чем короче длительность сигнала, тем шире его спектр.

Фазы составляющих определим из формулы φ n = arctg (b n /а n ). Так как здесь коэффициенты b n = 0, то (11)

Амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(n ω 1 τ И /2). Изменение знака в эквивалентно сдвигу фазы этой функции на π. Следовательно, когда данная функция положительна, фаза гармоники φ n = 2mπ, а когда отрицательна φ n = (2m+ 1)π (рис. 2, б).

Заметим, что хотя амплитуды составляющих в спектре прямоугольных импульсов и уменьшаются с ростом частоты (см. рис. 2, а), этот спад довольно медленный (амплитуды убывают обратно пропорционально частоте). Для передачи таких импульсов без искажений необходима бесконечная полоса частот канала связи. Для сравнительно малозаметных искажений граничное значение полосы частот должно быть во много раз больше значения, обратного длительности импульса. Однако все реальные каналы имеют конечную полосу пропускания, что приводит к искажениям формы переданных импульсов.

Спектральное представление непериодических сигналов. Преобразование Фурье

Для радиотехники интерес представляют импульсные (одиночные) сигналы. Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрального анализа непериодических (импульсных) сигналов (их еще называют сигналами конечной длительности, или финитными, т. е. пространственно ограниченными).

Положим, что некоторая функция u(t) аналитически описывает одиночный импульсный сигнал конечной длительности (рис. 3, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом Г (штриховые импульсы на рис. 3, б), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов un(t) = u(t ± пТ). Для того чтобы вне искусственно введенного интервала времени 0 . Т исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения этих импульсов. В пределе, при увеличении длительности периода и Т -> ∞, все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность импульсов u n (t) вновь станет одиночным импульсом u(t). В этом случае выражения (7) и (8) сохраняют смысл. Подставив соотношение (8) в формулу (7), запишем периодическую функцию

Так как период следования импульсов Т= 2π/ω 1 то (12)

В предельном случае, когда Т > ∞, равные расстояния между спектральными линиями уменьшатся настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов ω 1 = 2π/Т >0 и превращается в dω, дискретная переменная nω 1 в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов u n (t) станет одиночным импульсом u(t), и выражение (12) запишется в виде

Интеграл в скобках есть комплексная функция частоты. Обозначив его (13)

Соотношения (13) и (14) носят фундаментальный характер в теории сигналов и определяют соответственно прямое и обратное преобразования Фурье (direct, inverse Fourier transform). Они связывают между собой вещественную функцию времени u(t) и комплексную функцию частоты S(ω).

Если использовать не угловую частоту со, а циклическу f = ω/(2π), то формулы прямого (13) и обратного (14) преобразования Фурье становятся еще более симметричными, отличаясь лишь знаком в показателе

Читайте также: