Обновлено: 04.07.2024

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Содержание работы

1. Введение 3
2. Задание 4
3. Алгоритм аппроксимации функции степенным регрессионным полиномом М-ого порядка 5
4. Блок-схема основной программы. 7
5. Листинг программы, реализующей предложенный алгоритм
на языке С++. 13
6. Блок-схема программы, вычисляющей степенной полином с
помощью схемы Горнера. 19
7. Листинг программы, вычисляющей степенной полином с
помощью схемы Горнера. 20
8. Заключение. 22
9. Список используемой литературы. 23

Файлы: 1 файл

отчет.doc

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Филиал ГОУ ВПО УГНТУ в г. Стерлитамаке

Выполнил: студент группы АК-09-31

Мухаметгалина А. А.

Проверил: к.ф-м.н. , доцент

1. Введение 3
2. Задание 4
3. Алгоритм аппроксимации функции степенным регрессионным полиномом М-ого порядка 5
4. Блок-схема основной программы. 7
5. Листинг программы, реализующей предложенный алгоритм

1. Блок-схема программы, вычисляющей степенной полином с

помощью схемы Горнера. 19

1. Листинг программы, вычисляющей степенной полином с

помощью схемы Горнера. 20

1. Заключение. 22
2. Список используемой литературы. 23

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Данная работа связана с аналитической градуировкой датчиков, сопряженных с управляющей вычислительной машиной (УВМ).

Функциональная зависимость между измеряемой величиной Y и выходным сигналом датчика Х в общем случае определяется зависимостью:

Для задач контроля и управления необходимо знать истинное значение измеряемой величины Y. При неизвестном значениее Х, Y может быть найден как:

Если датчик имеет линейную характеристику Х=ay+b,то определить Y легко:

В случае же нелинейной зависимости функция может быть выражена( аппроксимирована) нелинейными функциями или задаваться в табличном виде. Одним из наиболее рациональных методов определения Y является аппроксимация функции f(X) степенными полиномами, причем в условиях помех для этих целей используются реграссионные полиномы.

В таблице 1 приведены варианты градуированной таблицы термопар, снятые в условиях помех. В ней приняты следующие обозначения:

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

?(х)- аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x₀ f(x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n ,a_n-1, …a₀ , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N - 1

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N - 1

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2

D = S1 * N - S2 ^ 2

D1 = S3 * N - S4 * S2

D0 = S1 * S4 - S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.

Одно из условий согласования можно записать как

S = ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i 2 +. +C_MX_i M - Y_i ) 2

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁. С_М :

S_C0 = 2  ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i 2 +. +C_MX_i M - Y_i ) = 0 ,

S_C1 = 2  ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i 2 +. +C_MX_i M - y_i ) X_i = 0 ,(3)

S_CM = 2  ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i 2 +. +C_MX_i M - Y_i ) X_i M = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C₀ (N+1) + C_1 X_i + C_2X_i 2 +. + C_M X_i M = Y_i ,

C_0X_i + C_1X_i 2 + C_2X_i 3 +. + C_MX_i M+1 = Y_i X_i ,(4)

C_0X_i M + C_1X_i M+1 + C_2X_i M+2 +. + C_MX_i 2M = Y_i X_i M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x_c, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом х=4,1 начиная с точки х₀=1,3 даны значения функции y=.

ГСА для данного метода

DIM Y(9)

DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N - 1

1 X(I) = X0 + H * I

READ Y(I)

PRINT Y(I); X(I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N - 1

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2

S2 = S2 + X(I)

S3 = S3 + X(I) * Y(I)

S4 = S4 + Y(I)

NEXT I

D = S1 * N - S2 ^ 2

D1 = S3 * N - S4 * S2

D0 = S1 * S4 - S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

YC = A1 * XC + A0

PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC left">FOR X = 0 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + A0

PRINT X, Y

NEXT X

XC= 10

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6 .1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

S=-1.594203

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i,y_i), i=0,1,2. n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.

Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.

Одно из условий согласования можно записать как

S = (f_i-y_i) ® min ,

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерия S = |f_i-y_i| ® min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = (f_i-y_i) 2 , (1)

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

f(x)=C₀ + C₁X + C₂X 2 +. +C_MX M . (2)

Формула (1) примет вид S = ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i 2 +. +C_MX_i M - Y_i ) 2

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁. С_М :

S_C0 = 2 ( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i 2 +. +C_M X_i M - Y_i ) = 0 ,

S_C1 = 2 ( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i 2 +. +C_M X_i M - y_i ) X_i = 0 ,

S_CM = 2 ( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i 2 +. +C_M X_i M - Y_i ) X_i M = 0 ,

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

C₀ (N+1) + C₁ X_i + C₂ X_i 2 +. + C_M X_i M = Y_i ,

C₀ X_i + C₁ X_i 2 + C₂ X_i 3 +. + C_M X_i M+1 = Y_i X_i ,

C₀ X_i M + C₁ X_i M+1 + C₂ X_i M+2 +. + C_M X_i 2M = Y_i X_i M .

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

Т. е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается. Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x0 f (x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется… Читать ещё >

Аппроксимация функций ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f (x) можно рассмотреть другую функцию ц (ч) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

ц (х) — аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x₀ f (x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f (x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n, a_n-1, …a₀, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке x_c, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом х=4,1 начиная с точки х₀=1,3 даны значения функции y=.

ГСА для данного метода

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N — 1

1 X (I) = X0 + H * I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N — 1

2 S1 = S1 + X (I) ^ 2

S3 = S3 + X (I) * Y (I)

D = S1 * N — S2 ^ 2

D1 = S3 * N — S4 * S2

D0 = S1 * S4 — S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

FOR X = 0 TO 50 STEP 10

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.

Одно из условий согласования можно записать как

т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.

Использование критерия S = |f_i-y_i| ® min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т. е. определяют такую функциональную зависимость, при которой

обращается в минимум.

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁,…С_М :

Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений

Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

Читайте также:

  
• Психология деятельности коррекционного педагога реферат
  
• Опухоли периферических нервов реферат
  
• Основные этапы проведения оип реферат
  
• Атомный проект ссср реферат
  
• Алфавит и графика реферат