Аксиомы теории множеств реферат

Обновлено: 05.07.2024

Аксиома В10 отличается от ML3, так как фигурирующее в ней выражение F (x) не содержит ни одной связанной переменной класса, в то время как ML3 допускает даже непредикативные классы. Следствием этого отличия является невозможность доказать путем нумерации классов непротиворечивость ML относительно NF. Принимается некоторая система (например, система, описанная ниже), в которой можно построить… Читать ещё >

Аксиоматическая теория множеств ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

Система ML имеет три аксиомы. ML1 является обобщением NF1;

Аксиома ML2 совпадает с NF2. Для того чтобы система была непротиворечива, весьма существенно, чтобы переменные, входящие в предложение F (x) аксиомы ML2, обозначались строчными буквами. ML 3 представляет собой аксиому, устанавливающую существование классов: ML3., где F (x) —произвольное предложение системы ML, в которое не входит Y.

Следовательно, ML имеет модель в области классов натуральных чисел. Известно, что классы натуральных чисел изоморфны действительным числам, а действительные числа образуют модель, надежность которой общепризнана. Следовательно, ML непротиворечива.

НЕСКОЛЬКО БОЛЕЕ СЛАБЫХ ТЕОРИЙ МНОЖЕСТВ СИСТЕМЫ Теория Сначала мы рассмотрим. представляет собой теорию множеств Цермело, но без аксиомы бесконечности Z7. Аксиомы системы T1 совпадают с Z1, …, Z6 системы Z соответственно, a совпадает с Z8. Система известна также, под названием общей теории множеств.

Тождество определяется в так же, как в Z. Интуитивная модель для — это просто часть интуитивной модели теории множеств Цермело. Вместо пространства S определяется пространство S', которое представляет собой сумму всех множеств для всех 1. Не вполне точно можно сказать, что есть теория типов с n типами, индивидами которой являются множества из Т. Другими словами, так относится к, как функциональное исчисление n-го порядка относится к функциональному исчислению первого порядка. Таким образом, переменные в имеют индексы, которые принимают значения от 1 до n. Мы будем говорить, что является либо множеством, либо классом типа 1. Для каждого является классом типа i. Переменные типа i будут представлять множества из и переменные типа i+1 будут представлять классы классов типа i. Атомарные выражения теории имеют одну из следующих двух форм:

Тождество в определяется следующим образом:

Необходимо заметить, что определяется так же, как определяется тождество множеств в (а последнее определяется так же, как в системе Z). Аксиомы системы в точности совпадают с аксиомами системы (или с Zl—Z6 и Z8 системы Z) с тем отличием, что уже не все переменные имеют индекс 1. Между прочим, предложение F (x) в и в может содержать лишь переменные типа 1. В входят также следующие две аксиомы:

Для каждого т. е. множества, являющиеся членами, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие друг с другом, поскольку число и тех и других бесконечно и счетно.

Итак, мы, казалось бы, могли классам типа два в иерархии типов поставить в соответствие множества из модели Цермело, классам типа три — множества из и т. д. Мы могли бы также сказать, что интуитивные модели для Z и Т имеют равную силу. Несмотря на эту возможную эквивалентность моделей для Z и Т, можно доказать, что система Z сильнее, чем Т. Кемени построил в Z истинное определение Т и, кроме того, доказал интересный результат.

С другой стороны, в силу самой сути теории типов, на основании аксиомы Т2 недопустимы такие переменные, которые пробегают всю область возможных значений.

Итак, мы рассмотрели аксиоматическую теорию множеств и стало ясно, что в каждом отдельном случае и в различных системах можно использовать одинаковые исходные термины алгебры высказываний и получать различные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

Вейль Г., О философии математики, М., 1934., с.57

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.5

Гильберт Д., Основания геометрии, Об основаниях логики и арифметики, М. — Л., 1948, стр. 322—337.

Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, М., 1947., с.135

Gentzen G., Mathematische Grundlagenforschung, 1934

Русский перевод: Рейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики, М.—Л., 1936, с.123

Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, red. par Ernst Zermelo, Berlin, 1932, P.144

Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика.

М.: УРСС, 2005. с. 123

Вейль Г., О философии математики, М., 1934., с.57

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.6

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.7

Гильберт Д., Основания геометрии, Об основаниях логики и арифметики, М. — Л., 1948, стр. 322—337.

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.8

Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, М., 1947., с.135

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.9

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.10

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.11

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.12

Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, red. par Ernst Zermelo, Berlin, 1932, P.144

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.15

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.16

Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика.

М.: УРСС, 2005. с. 123

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.17

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.18

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.19

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.21

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.22

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.23

Gentzen G., Mathematische Grundlagenforschung, 1934

Русский перевод: Рейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики, М.—Л., 1936, с.123

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.25

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.29

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы будем употреблять в качестве переменных вместо x₁, x₂, … прописные латинские буквы X₁, Х₂, . (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, . для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак понимается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X Y & Y X);

(b) Х = Х;

(с) Х = Y Y = Х;

(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);

(е) Х = Y (ZX ZY).

§1. Система аксиом

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X Y & Y X);

(b) Х = Х;

(с) Х = Y Y = Х;

(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);

(е) Х = Y (ZX ZY).

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(X Y) (X есть множество).

Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собственный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокращением для

ХX_j (М(X_j) Y(M(Y)&ZA (X, X_j, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (X ZY Z).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) x y z u (u z u = x u = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) х y (у х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

₁x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию.

Определение. y (y 0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать . Заметим, что можно однозначно определить пару Y> для любых двух классов Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим Y> = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что

_NBG ₁Z((M(X)&M(Y)& u (u Z u = X u = Y))

(( M(X) M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары Y>:

Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и Y> u = X u = Y))

(( M(X) M(Y)) & Y> = 0).

Можно доказать, что _NBG x y u (u u = x u = y) и _NBG x y (M()).

Определение. = , Y>>. называется упорядоченной парой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

_NBG x y u v ( ).

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной n-ки.

Определение

В дальнейшем индекс NBG в записи _NBG опускается.

Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами.

А к с и о м а В1. X u v (X u v) ( - отношение).

А к с и о м а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y)

(пересечение).

А к с и о м а В3. X Z u (u Z u X) (дополнение).

А к с и о м а В4. X Z u (u Z v (X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. X Z u v ( Z u X).

А к с и о м а В6. X

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.

Аксиомы теории Цернело-Френкеля по устранению. Аксиома выбора как один из важнейших теоретико-множественных принципов, альтернативные формулировки аксиомы и её применение. Принцип вполне упорядочивания и лемма Цорна для частично упорядоченных множеств.

Рубрика Математика

Вид реферат

Язык русский

Дата добавления 11.10.2014

Размер файла 75,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. История и оценки

2. Альтернативные формулировки

3.1 Принцип вполне упорядочивания (теорема Цермело)

Рассмотрим аксиомы теории Цернело-Френкеля по устранению:

1) Аксиома экстенциональности - два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

2) Аксиома пустого множества - существует множество, не содержащее элементов.

3) Аксиома пары - если С и D множества, то пара.

4) Аксиома объединения множеств - если А множество и В множество, то их объединение тоже множество.

5) Аксиома степенного множества - если D множество, то совокупность всех подмножеств множества D есть множество, которое называется степенным множеством множества D.

6) Аксиома регулярности - если D множество либо D пусто, то в нем найдется элемент b, такой что /

7) Аксиома содержательности - если D множество, то любая его часть тоже множество.

Если - формула языка множеств, то совокупность все элементов х из множества D таких, что истинное высказывание, называется определяющей частью множества D.

8) Аксиома бесконечности - Существует множество Х, такое что:

9) Аксиома замещения - любое отображение, область определения каждого множества есть функция, то есть если функция формула языка множеств, то определяет отображение, когда для любого элемента х найдется единственный элемент y, при котором истинно. Если D множество, то сужение этого отображения будет функцией.

10) Аксиома выбора - для любого множества А существует функция при , где .

Если аксиома выбора включается в систему аксиом ZF, то она будет называться ZFc- теорией.

Последнюю из аксиом мы и будем рассматривать.

На формальном языке:

1. ИСТОРИЯ И ОЦЕНКИ

аксиома выбор лемма множество

2. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ

Аксиома выбора утверждает:

Пусть X - множество непустых множеств. Тогда мы можем выбрать единственный элемент из каждого множества в X.

Функция выбора - функция на множестве множеств X такая, что для каждого множества s в X, f(s) является элементом из s. С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает:

Для любого семейства непустых множеств X существует функция выбора f, определённая на X.

Произвольное декартово произведение непустых множеств непусто.

Или наиболее сжато:

Каждое множество непустых множеств имеет функцию выбора.

Отсюда немедленно следует компактная формулировка отрицания аксиомы выбора:

Существует множество непустых множеств, которое не имеет никакой функции выбора.

Вторая версия аксиомы выбора утверждает:

Для данного произвольного множества попарно непересекающихся непустых множеств существует по крайней мере одно множество, которое содержит точно один элемент, общий с каждым из непустых множеств.

Некоторые авторы используют другую версию, которая эффективно утверждает:

Для любого множества A, его булеан за вычетом пустого подмножества имеет функцию выбора.

Каждое множество имеет функцию выбора.

Не во всех случаях требуется аксиома выбора. Для конечного набора X аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. В этом случае это то же самое, что говорить, если мы имеем несколько (конечное число) коробок, каждая из которых содержит в себе по одной одинаковой вещи, тогда мы можем выбрать ровно одну вещь из каждой коробки. Ясно, что мы можем сделать это: мы начнём с первой коробки, выберем вещь; отправимся ко второй коробке, выберем вещь; и т. д. Так как есть конечное число коробок, то действуя нашей процедурой выбора, мы придём к концу. Результатом будет функция явного выбора: функция, которая первой коробке сопоставляет первый элемент, который мы выбрали, второй коробке - второй элемент и т. д. (Для получения формального доказательства для всех конечных множеств следует воспользоваться принципом математической индукции.)

В случае с бесконечным множеством X иногда также можно обойти аксиому выбора. Например, если элементы X - множества натуральных чисел. Каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент, таким образом, определяя нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что каждому множеству сопоставляется наименьший элемент набора. Это позволяет нам сделать выбор элемента из каждого множества, поэтому мы можем записать явное выражение, которое говорит нам, какое значение наша функция выбора принимает. Если возможно таким образом определить функцию выбора, в аксиоме выбора нет необходимости.

Сложности появляются в случае, если невозможно осуществить естественный выбор элементов из каждого множества. Если мы не можем сделать явный выбор, то почему уверены, что такой выбор можно совершить в принципе? Например, пусть X - это множество непустых подмножеств действительных чисел. Во-первых, мы могли бы поступить как в случае, если бы X было конечным. Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как X бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего X. Так что это не срабатывает. Далее, мы можем попробовать определить наименьший элемент из каждого множества. Но некоторые подмножества действительных чисел не содержат наименьший элемент. Например, таким подмножеством является открытый интервал . Если x принадлежит , то x / 2 также принадлежит ему, причем меньше, чем x. Итак, выбор наименьшего элемента тоже не работает.

Доказательства, требующие аксиомы выбора, всегда неконструктивны: даже если доказательство создаёт объект, невозможно сказать, что же именно это за объект. Следовательно, хоть аксиома выбора позволяет вполне упорядочить множество действительных чисел, это не даёт нам никакой наглядности и конструктивизма в целом. Сама причина, по которой наш вышеуказанный выбор вполне упорядочения действительных чисел был таким для каждого множества X, мы могли явно выбрать элемент из такого множества. Если мы не можем указать, что мы используем вполне упорядоченность, тогда наш выбор не вполне явный. Это одна из причин, почему некоторые математики не любят аксиому выбора). Например, конструктивистская установка что все существующие доказательства должны быть полностью явными; должно быть возможным построение чего бы то ни было что существует. Они отвергают аксиому выбора потому, что она заявляет существование объекта без описания. С другой стороны, факт - что для доказательства существования используется аксиома выбора - не означает, что мы не сможем совершить построение другим способом.

3.1 Принцип вполне упорядочивания (теорема Цермело)

Очень распространённая и удобная формулировка использует понятие вполне упорядоченного множества. Нам потребуется несколько определений, и мы начнём со строгого определения линейного порядка, выражающего знакомую нам идею на языке теории множеств. Напомним, что упорядоченная пара элементов обозначается и что декартово произведение множеств состоит из всех возможных упорядоченных пар где .

Линейным порядком на множестве A называется подмножество декартова произведения , обладающее следующим свойствами:

Полным порядком на множестве A называется такой линейный порядок, что каждое подмножество имеет наименьший элемент.

Принцип полного порядка заключается в том, что любое множество может быть вполне упорядочено.

и сказать, что младшие члены меньше чем старшие. Очевидно, такое отношение будет полным порядком на целых числах.

Гораздо менее очевидно, что действительные числа, формирующие несчётное множество, могут быть вполне упорядочены.

Если в частично упорядоченном множестве любая цепь (то есть линейно упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то всё множество имеет хотя бы один максимальный элемент.

Пусть - частично упорядоченное множество, то есть, отношение - рефлексивно, антисимметрично и транзитивно:

Подмножество называется линейно упорядоченным, если

Элемент называется верхней гранью, если . Допустим, что любое линейно упорядоченное подмножество множества P имеет верхнюю грань. Тогда

Подобные документы

Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.

дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007

Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.

курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011

Предмет и задачи планиметрии, как раздела геометрии, в котором изучаются такие фигуры на плоскости, как точка, прямая, параллелограмм, трапеция, окружность и треугольник. Аксиомы принадлежности, расположения, измерения, откладывания, параллельности.

презентация [1,8 M], добавлен 22.10.2013

Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.

реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007

Аксиомы линейного векторного пространства. Произведение любого вектора на число 0. Аксиомы размерности, доказательство теоремы. Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

Читайте также:


Проекты идеальных вечных календарей реферат

Реферат загрязнение воды и последствия

Ремонт системы питания двигателя реферат

Реферат на тему горох

Экономика ставропольского края реферат

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	11.10.2014
Размер файла	75,8 K