Затухающие колебания это кратко

Обновлено: 04.07.2024

Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени (пока не станет равна нулю), так как колебательная система теряет энергию. Энергия может расходоваться на преодоление сопротивления воздуха, на увеличение внутренней энергии, на преодоление сил трения (в механической системе). В электромагнитном контуре энергия уменьшается из-за тепловых потерь.

Вывод: когда запас энергии закончится, колебания прекратятся.

Характеристики затухающих колебаний

Общие признаки затухающих колебаний:

Дифференциальное уравнение получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний — это решение дифференциального уравнения.
Амплитуда зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Дифференциальное уравнение, которое описывает затухающие колебания, имеет вид:

β=r/2m — коэффициент затухания;
ω0=√k/m — собственная частота (угловая) колебаний системы при отсутствии затухания;
m — масса колеблющейся системы.

Основные параметры:

1. Скоростью затухания колебаний принято называть величину, которая прямо пропорциональна силе затухания колебаний.

2. Период затухающих колебаний — это минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Т = 2 π / ω — без потерь энергии.

Т = 2 π / √ ( ω 0 ² - β ² ) — с потерями.

3. Амплитуда затухающих колебаний (при небольших затуханиях) — это наибольшее отклонение от положения равновесия за период. Амплитуда затухающих колебаний постоянно изменяется со временем. И убывает по экспоненциальному закону:

ω0=2π/T, в отсутствии потерь энергии;
при потерях: ω=√(ω0²-β²).

5. Коэффициент затухания — величина, которой определяется быстрота (скорость) убывания амплитуды. Данный коэффициент характеризует затухание колебаний за единицу времени. Измеряется в герцах (Гц) или обратных секундах ( с ( - 1 ) ) .

6. Время затухания (время релаксации) — величина, обратная коэффициенту затухания; время, в течение которого амплитуда уменьшается.

7. Число колебаний.

8. Добротность колебаний.

Для затухающих свободных колебаний добротность характеризует скорость убывания энергии при малых затуханиях.

Для того чтобы управлять затуханием колебаний, нужно:

Уменьшить потери энергии в системе.
Обеспечить приток энергии для компенсации потерь.

Примеры решения задач

Дан график зависимости амплитуды колебаний от времени. Определить по графику время релаксации и коэффициент затухания.

Время релаксации (время, за которое амплитуда уменьшается в е=2,7 раз) находим по графику: τ=6mc.

Коэффициент затухания находим по формуле: τ = 1 / β ⇒ β = 1 / τ = 1 / 6 * 10 ( - 3 ) = 170 с ( - 1 ) .

Ответ: 6 m c , 170 с ( - 1 ) .

За время релаксации, равное 7 секунд, произошло 10 колебаний. Найти период колебаний.

Найдем период по формуле: N e = τ c / T ⇒ T = τ c / N e = 7 / 10 = 0 , 7 с .

Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени под действием внешних сил.

Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода силы трения, сопротивление воздуха

и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть полной колебательной энергии (потенциальной и кинетической) расходуется на работу против сил трения. В конечном итоге на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.

Рассматривая свободные гармонические колебания, мы имели дело с идеальными, строго периодическими собственными колебаниями. Описывая при помощи такой модели реальные колебания, мы сознательно допускаем неточность в описании. Однако подобное упрощение является пригодным в силу того, что у многих колебательных систем затухания колебаний, вызванные трением, действительно малы: система успевает совершить много колебаний прежде, чем их амплитуда уменьшится заметным образом.

Графики затухающих колебаний

При наличии затухания собственное колебание (рис.1) перестает быть гармоническим. Более того, затухающее колебание перестает быть периодическим процессом — трение влияет не только на амплитуду колебаний (то есть является причиной затухания), но и на продолжительность размахов. С увеличением трения время, необходимое системе для совершения одного полного колебания, увеличивается. График затухающих колебаний представлен на рис. 2.

Рис.1. График свободных гармонических колебаний

Рис.2. График затухающих колебаний

Характерной чертой колебательных систем является то, что небольшое трение влияет на период колебаний в гораздо меньшей степени, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Первые часы с маятником построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часовых механизмов. Ход часов с маятником мало чувствителен к изменениям, обусловленным трением, которые в общем случае зависят от многих факторов, в то время как скорость хода предшествующих безмаятниковых часов очень сильно зависела от трения.

На практике возникает потребность как в уменьшении, так и в увеличении затухания колебаний. К примеру, при конструировании часовых механизмов стремятся уменьшить затухание колебаний балансира часов. Для этого ось балансира снабжают острыми наконечниками, которые упираются в хорошо отполированные конические подпятники, выполненные из твердого камня (агата или рубина). Наоборот, во многих измерительных приборах очень желательно, чтобы подвижная часть устройства устанавливалась в процессе измерений быстро, но совершая большого числа колебаний. Для увеличения затухания в этом случае применяют различные демпферы – устройства, увеличивающие трение и, в общем случае, потерю энергии.

Во всех колебательных системах, при выводе их из положения равновесия, кроме возвращающей силы присутствуют силы трения или силы сопротивления, препятствующие их колебательным движениям. Поэтому полная энергия колебательной системы, расходуемая на работу против сил трения (сопротивления), уменьшается, колебания затухают и прекращаются.

На рисунке слева показан график зависимости смещения колеблющейся точки от положения равновесия от времени для затухающего колебания. Пунктирной линией изображено изменение амплитуды затухающего колебания.

Быстрота затухания определяется величиной силы сопротивления. Если сила сопротивления очень большая, то колебания прекращаются после первого прохождения через положение равновесия (нижняя кривая рисунка справа) или даже до первого перехода через положение равновесия (верхняя кривая рисунка справа). Такое движение колеблющегося тела называется апериодическим .

Уравнение, описывающее затухающее колебание, имеет вид:

- коэффициент затухания, зависящий от силы сопротивления, которая при малых скоростях пропорциональна скорости.

Выражение для амплитуды затухающих колебаний имеет вид:

где А (с индексом ноль) - амплитуда в начальный момент времени.

Строго затухающее колебание не является периодическим, но если затухание невелико, то можно говорить о периоде.

Период затухающих колебаний зависит от силы сопротивления и определяется формулой:

Здесь буквой "омега"

обозначена круговая частота затухающего колебания, а буквой

круговая частота гармонического колебания.

Чем больше сила сопротивления, тем больше коэффициент затухания, тем быстрее уменьшается амплитуда А и тем больше период затухания Т.

При очень малом трении , когда коэффициент затухания очень мал, период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания.

На практике быстроту затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания , обозначаемым буквой "лямбда"

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга за период времени Т :

Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны между собой зависимостью:

Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,02. Во сколько раз k уменьшится амплитуда маятника после n = 50 полных колебаний? Считать, что период затухающих колебаний близок к периоду свободных незатухающих колебаний.

Решение . Амплитуда затухающего колебания изменяется по закону:

По условию задачи время 50 колебаний:

Подставив два последних уравнения в уравнение амплитуды затухающего колебания, получим

Тогда амплитуда после n = 50 колебаний уменьшится в k раз:

Здесь е - основание натурального логарифма (е = 2,71828).

Ответ : после совершения 50 колебаний амплитуда уменьшилась в е раз. ( Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем затухания ).

На практике в одних случаях надо уменьшать затухание колебаний (например, при работе балансира механических часов), в других случаях, наоборот, увеличивать (например, надо чтобы стрелка электроизмерительных приборов быстро останавливалась).

Для этого в электроизмерительном приборе используется металлическая пластинка, соединённая со стрелкой прибора, в которой при её движении между полюсами электромагнита возникают вихревые токи , тормозящие движение пластинки.

Приведём задачу на затухающие колебания, на переход энергии колеблющейся системы в работу по преодолению сил трения.

Интересен тот факт, что небольшие силы трения мало влияют на период колебаний, тогда как на амплитуду колебаний они влияют гораздо больше. Этот факт используется в работе маятниковых часов.

Ещё Галилеем было сказано о возможности использования маятника в часах. Первые часы с маятником были созданы в 1673 году Гюйгенсом.

Таким образом , все реальные свободные колебания являются затухающими. Но при малых силах трения (сопротивления) колебания в течение достаточно долгого промежутка времени остаются близкими к гармоническим и тогда период затухающих колебаний можно считать равным периоду свободных незатухающих колебаний. Быстрота затухания характеризуется коэффициентом затухания, логарифмическим декрементом затухания. Коэффициент затухания - это величина, обратная времени, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

К.В. Рулёва Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки.

Предыдущая запись: Сложение гармонических колебаний.

Следующая запись: Вынужденные колебания. Резонанс.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 5 8.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Содержание

Затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. B — механизм, обеспечивающий затухание. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

$m \vec= \vec <F_c> + \vec$

где — сила сопротивления, — сила упругости

, , то есть

или в дифференциальной форме

$\ddot + < c \over m>\dot + x = 0$

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

$\omega_0 = \sqrt< k \over m > Для упрощения вводятся следующие обозначения: ,\qquad \zeta = < c \over 2 \sqrt>.$

Величину называют собственной частотой системы, — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

$\ddot + 2 \zeta \omega_0 \dot + \omega_0^2 x = 0$

$x = e^<\lambda t> Сделав замену$
, получают характеристическое уравнение

$\lambda^2 + 2 \zeta \omega_0 \lambda + \omega_0^2 = 0$

Корни которого вычисляются по следующей формуле

$\lambda_\pm = \omega_0( - \zeta \pm \sqrt<\zeta^2 - 1> )$

Решения

$\zeta$

Зависимость графиков колебаний от значения .

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

$x(t)=c_1 e^<\lambda_- \,t> +c_2 e^<\lambda_+ \,t>$

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

$x(t)=(c_1t+c_2) e^<-\omega_o t> $

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

$\lambda_\pm = -\omega_0\zeta \pm i \omega_0 \sqrt<1- \zeta^2 > )$

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

$x (t) = e^<- \zeta \omega_0 t> (c_1 \cos( \omega_\mathrm t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm t ))\,$

$\scriptstyle \omega_\mathrm<d> Где =\omega_0 \sqrt$
— собственная частота затухающих колебаний.

Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий: x(0) &=& a \\ \dot(0) &=& b \end\right." width="" height="" />

См. также

Литература

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Затухающие колебания" в других словарях:

Затухающие колебания — Затухающие колебания. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, амплитуда которых A уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии: превращения энергии колебаний в тепло в результате трения в механических системах (например, в точке подвеса… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ — собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp ( ?t) (? показатель затухания из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Большой Энциклопедический словарь

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается, напр. колебания маятника, испытывающего сопротивление воздуха и трение в подвесе. Все свободные колебания, происходящие в природе, являются в большей или меньшей мере З. К. Электрические З. К.… … Морской словарь

затухающие колебания — Механические колебания с уменьшающимися во времени значениями размаха обобщенной координаты или ее производной по времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … Справочник технического переводчика

Затухающие колебания — (ВИБРАЦИЯ) колебания (вибрация) с уменьшающимися значениями размаха … Российская энциклопедия по охране труда

затухающие колебания — собственные колебания системы, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = А0ехр(?α t) (α показатель затухания) из–за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Энциклопедический словарь

Затухающие колебания — 31. Затухающие колебания Колебания с уменьшающимися значениями размаха Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ — собственные колебания системы, амплитуда А к рых убывает со временем t по закону экспоненты A(t) = = Аоехр( at) (a показатель затухания) из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механич. 3. к. и омическому сопротивлению для эл … Естествознание. Энциклопедический словарь

затухающие колебания — silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

затухающие колебания — slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; dying oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Читайте также: