Запишите выражение для циклической частоты и периода пружинного и математического маятника кратко

Обновлено: 05.07.2024

Существуют две простые колебательные системы, которые решены и рассматриваются в школьной программе, — это пружинный и математический маятник. Рассмотрим каждую из них:

Пружинным маятником называется система, состоящая из тела массы и пружины, жёсткостью (рис. 1).

Рис. 1. Пружинный маятник

Для такой системы выведены следующие соотношения:

где

— собственная частота колебаний системы

Также можем ввести период такого маятника:

где

— период колебаний пружинного маятника.

2. Математический маятник

Рис. 2. Математический маятник

Математическим маятником называется малое тело (материальная точка) массы , подвешенная на нити длиной .

Для такой системы выведены следующие соотношения:

где

— собственная частота колебаний системы

Также можем ввести период такого маятника:

где

— период колебаний пружинного маятника.

Вывод: реальные колебательные системы в курсе школьной физики представлены только пружинным и математическим маятником, которые описываются соотношениями (1) — (4). Достаточно определить необходимый параметр и решить систему.

Наверное имеете ввиду, что для математического маятника, период равен два*пи* квадратный кореньиз (длина маятника разделить на ускорение свободного падения) . И выводится из решение диффуравнения второго порядка и т. д.
Для пужинного, аналогично, период равен два*пи*корень из (масса маятника разделить на коэффициент упругости пружины)

Период колебаний математического маятника

5. Для нахождения периода свободных колебаний воспользуемся формулой:

Циклическая частота измеряется в 1/с и выражается через те характеристики математического маятника, которые входят в уравнение его движения. В уравнении движения перед координатой х стоит отношение g/l. Найдем в каких единицах оно измеряется:

Единица измерения циклической частоты 1/с а отношение g/l измеряется в (1/с) 2 значит

Теперь подставив в формулу для определения периода математического маятника циклическую частоту получим

Таким образом период колебаний матемтаического маятника не зависит от его массы, а определяется только длиной нити и ускорением свободного падения. Благодаря этой особенности с помощью математического маятника можно производить очень точные измерения величины g.

Чем длиннее нить, тем больше период колебаний маятника. Если взять нить длиной 25 см, то период колебаний будет составлять приблизительно 1 секунду. Чтобы увеличить период колебаний в два разанужно взять нить в четыре раза длиннее.

Формула периода колебаний математического маятника впервые была получена Христианом Гюйгенсом (1629 - 1695). Используя свойство маятника - период не зависит от амплитуды) он сконструировал первые маятниковые часы.

Единица измерения периода в системе СИ – секунда.

На графике колебаний период определяется как промежуток времени. через который система возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, который выбирается произвольно (рис.1).

Рис.1. Определение по графику периода колебаний.

$\nu =\frac<n> =\frac$

Единица измерения частоты в системе СИ – 1 Герц (Гц).

Циклическая частота – это число колебаний, совершаемых телом за секунд:

$\omega =\frac<2\pi > $

Единица измерения циклической частоты в системе СИ — рад/с.

Частота и циклическая частота связаны между собой формулой:

Примеры решения задач

Задание	Определить частоту колебаний железнодорожных вагонов, если период их вертикального колебания равен 0,5 с.
Решение	Частота колебаний – это величина, обратная периоду:

$\nu =\frac<1> \ ,$

Гц

Задание	Маятник совершает 9 колебаний за 18 с. Определить период и частоту колебаний. Записать уравнение гармонических колебаний и построить график колебаний маятника, если амплитуда равна 10 см.
Решение	Частота колебаний определяется формулой:

$\nu =\frac<n> ;$

Гц

$T=\frac<1> ;$

$T=\frac<1> =2\ c$

$x=A\sin \left(\omega t+<\varphi > _0\right)\$

В данном случае:

Задание	Период колебаний крыльев шмеля 5 мс, а частота колебаний крыльев комара 600 Гц. Определить, какое насекомое и на сколько больше сделает взмахов крыльями при полете за 1 минуту.
Решение	Определим частоту колебаний крыльев шмеля:

$<\nu > _1=\frac\$

С другой стороны, частота:

$<\nu > _1=\ \frac$

Приравняв правые части равенств, найдем число взмахов крыльями, которое сделает шмель за время :

$\frac<1> =\frac;$

$n_1=\frac<t> $

Число взмахов крыльями, которое сделает комар за время , найдем непосредственно из формулы:

$<\nu > _2=\ \frac;$

$n_2=<\nu > _2t$

$=5\cdot <10> Переведем единицы в систему СИ: мс ^\ c; \quad t=1$
мин .

$n_1=\frac<60> ^>=12000;$

Пружинный маятник - колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

k - коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

Вертикальный маятник - на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

Горизонтальный - в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

F_упр = - k*x

где k — коэффициент жесткости пружины (Н\м),

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = - mw2x(t),

где w - радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Потенциальная энергия:

Кинетическая энергия:

Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Читайте также: