Замена и консолидация платежей кратко

Обновлено: 02.07.2024

В качестве метода, позволяющего осуществить принцип финансовой эквивалентности обязательств, принято использовать метод приведения (с помощью операций дисконтирования и наращения) платежей к одному моменту времени.

При применении метода приведения прежде всего следует выбрать базовый момент времени - момент, к которому предполагают привести все суммы в расчете.

Дисконтирование применяют, если необходимо привести платежи к более ранней дате, наращение - если базовый момент времени относится к будущему.

Задача 16. Выясните, являются ли равноценными два обязательства, если по первому должно быть выплачено 2 млн р. через 2 года, по второму - 2,5 млн р. через 3 года. Для сравнения примените сложную процентную ставку 15 % годовых.

Решение. Дано FV₁=_________; n₁=______; FV₂=__________; n₂=______; i_c=________.

Для сравнения приведем каждый платеж к начальному моменту времени.

Стоимость первого платежа в начальный момент составляла

Стоимость второго платежа в начальный момент

На практике при изменении условий платежей принцип финансовой эквивалентности обязательств реализуют путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения реализуют, как правило, на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных контрактов - на основе сложных процентных ставок.

Задача 17. Имеются два кредитных обязательства 400 тыс. р. и 700 тыс. р. со сроками уплаты 1 августа 2010 г. и 1 января 2011 г. По согласованию сторон условия обязательств пересмотрены: первый платеж в размере 600 тыс. р. должник вносит 1 ноября 20 Юг., остальной долг он выплачивает 1 марта 2011 г. Определите размер второго платежа, если в расчетах используют простую процентную ставку 20 % годовых. Проценты точные.

Задача 18.Согласно контракту предприятие должно выплатить 200, 300 и 500 тыс. р. соответственно через 1,5, 2 и 4 года. Предприятие предлагает пересмотреть контракт и вернуть долг одним платежом через 3,5 года. Найдите размер консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка 18 % годовых.

Задача 19.Вексель учтен в банке по простой учетной ставке 16% за 200 дней до срока его погашения. Временная база – 360 дней. Рассчитайте доходность этой финансовой операции в виде точной простой процентной ставки.

Задача 20. Ссуда выдана под сложную годовую процентную ставку 18%. Определите простую годовую процентную ставку, которая обеспечит эквивалентность финансовых результатов, если срок ссуды: 1) 3 года; 2) 3 месяца.

Задача 21. Какой сложной годовой процентной ставкой можно заменить в контракте простую годовую процентную ставку 19%, не изменяя финансовых отношений сторон, если срок финансовой операции 438 дней, а проценты точные?

Задача 22. Сравните два долговых обязательства. По первому обязательству следует выплатить 40000 р. через 4 месяца, по второму - 43000 р. через 8 месяцев. Можно ли считать эти обязательства равноценными? Для сравнения примените простую годовую процентную ставку 15 %. При какой ставке сравнения эти платежи будут равноценными?

Задача 23. Два долговых обязательства на сумму 300 и 900 тыс. р. должны быть погашены соответственно через 2 года и через 5 лет. Стороны пришли к соглашению изменить порядок выплат: 200 тыс. р. выплачивают через 1 год, 500 тыс. р. - через 4 года, а остаток долга - через 6 лет. Определите размер третьего платежа, если в расчетах используют сложную годовую процентную ставку 20%.

Задача 24. Три векселя на сумму 500, 800 и 900 тыс. р. со сроками уплаты 15 марта, 10 апреля и 1 июня соответственно заменяют одним платежом со сроком погашения 15 мая. Определите сумму консолидированного векселя, если при расчетах использована простая годовая учетная ставка 18%.

Задача 25. Платежи в размере 250, 310 и 270 тыс. р. должны быть внесены через 40, 70 и 160 дней соответственно. Стороны достигли соглашения заменить их одним платежом 825 тыс. р. Определите срок уплаты консолидированного платежа, используя простую годовую процентную ставку 12 %. Проценты обыкновенные.

Домашняя работа

Задача 1. Определите значение простой годовой процентной ставки, эквивалентной простой годовой учетной ставке 16 %, для финансовой операции сроком на 2 месяца.

Задача 2. Найдите простую годовую учетную ставку, эквивалентную простой годовой процентной ставке 16 %, при наращении капитала:а) за 1 год; б) за 2 года; в) за 120 дней. Временные базы обеих ставок составляют 360 дней.

Задача 3. Требуется определить доходность векселя в пересчете на простую точную процентную ставку, если учетная ставка равна 15 % при временной базе 360 дней, а срок уплаты по векселю наступит через 80 дней.

Задача 4. Финансовая операция сроком 65 дней должна принести 14 % дохода в виде простых точных процентов (в расчете на год). Какую простую обыкновенную учетную ставку для этого необходимо назначить?

Задача 5. Какой сложной годовой процентной ставкой можно заменить в контракте простую годовую точную процентную ставку 21%, не изменяя финансовых отношений сторон? Срок операции — 710 дней.

Задача 6. Ссуда выдана под сложную годовую процентную ставку 18 %. Рассчитайте, какая простая процентная ставка обеспечит такой же финансовый результат, если срок ссуды: а) 5 лет; б) 6 месяцев.

Задача 7. Платеж в сумме 5 тыс. р. со сроком уплаты 4 месяца требуется заменить платежом со сроком уплаты: а) 3 месяца; б) 6 месяцев. Определите сумму платежа, если при расчетах используют простую годовую процентную ставку 10 %.

Задача 8. Платеж в сумме 10 тыс. р. со сроком уплаты 4 месяца заменили платежом 10,2 тыс. р. Определите срок этого платежа, если при расчетах используют простую годовую процентную ставку 10 %.

Задача 9. Платеж в сумме 60 тыс. р. со сроком уплаты 4 года требуется заменить платежом со сроком: а) 2 года; б) 5 лет. Определите сумму платежа, если при расчетах используют сложную годовую процентную ставку 12 %.

Задача 10. По условиям финансового обязательства фирма должна через 1 год выплатить 185 тыс. р. Кредитор не возражает против оплаты этого обязательства через 1,5 года, но в большей сумме — 200 тыс. р. Какой вариант погашения долга целесообразно избрать, если на рынке финансовых инструментов аналогичной срочности сложилась годовая процентная ставка 14 %.

Задача 11. Платеж в сумме 25 тыс. р. со сроком уплаты 180 дней предлагается заменить: а) платежом 24 тыс. р.; б) платежом 27 тыс. р. Определите срок нового платежа, если в расчетах используют простую процентную ставку 15 % и начисляют обыкновенные проценты.

Задача 12. Платеж в сумме 50 тыс. р. со сроком уплаты 60 дней требуется заменить платежом со сроком уплаты: а) 45 дней; б) 80 дней. Определите суммы новых платежей, если в расчетах применяют простую учетную ставку 19 % и обыкновенные проценты.

Задача 13. Платеж в сумме 150 тыс. р. со сроком уплаты 45 дней предлагается заменить платежом 175 тыс. р. Определите срок нового платежа, если при расчетах применяли простую учетную ставку 12%, а временная база — 360 дней.

Задача 14. Два платежа в сумме 100 тыс. р. и 50 тыс. р. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяют в один со сроком уплаты 200 дней. Стороны согласились на применение простой годовой процентной ставки, равной 10 %. Проценты точные. Найдите сумму консолидированного долга.

Задача 15. Платежи в сумме 100 тыс. р. и 200 тыс. р. со сроками уплаты соответственно 2 и 3 года объединяют в один платеж со сроком уплаты 2,5 года. При консолидации платежей используют сложную ставку 18%. Определите сумму консолидированного платежа.

Задача 16. Фирма для погашения задолженности банку за предоставленный под 15% годовых (проценты простые, точные) кредит, полученный 5 января, должна осуществить три платежа — 200, 270 и 330 тыс. р. в сроки 24 апреля, 29 мая и 19 июня. Фирма предложила банку объединить все платежи в один и погасить его 5 июня. Определите размер консолидированного платежа.

Задача 17. Объединяют три платежа со сроками 20 мая, 20 июня и 20 августа текущего года и суммами 100, 200 и 150 тыс. р. соответственно. Единый платеж должен быть совершен 6 августа. Определите сумму консолидированного платежа, если при расчетах используют простую точную годовую процентную ставку 12%.

Задача 18. Два векселя на сумму 10 тыс. и 20 тыс. р. со сроками погашения июня и 1 августа соответственно заменяют одним векселем с продлением срока до 1 октября. Определите сумму нового векселя, если при объединении применена простая годовая учетная ставка 8 %.

Задача 19. Должник обратился к своему кредитору (владельцу векселя) с просьбой об объединении двух векселей в один с одновременным продлением срока оплаты. Первый вексель выдан на сумму 150 тыс. р. со сроком уплаты 20 июля, второй — на сумму 210 тыс. р. со сроком уплаты 1 сентября. Владелец векселя согласился на отсрочку погашения долга до 1 октября. Определите сумму к погашению, если при расчетах применяли простую годовую учетную ставку 10%, а временная база — 360 дней.

Задача 20. Имеются два кредитных обязательства 50 тыс. р. со сроком уплаты 1 октября текущего года и 70 тыс. р. со сроком уплаты 15 января следующего года. По согласованию сторон обязательства пересмотрены на следующих условиях: первый платеж в сумме 80 тыс. р. должник вносит 15 декабря текущего года, а остальной долг он выплачивает 20 февраля следующего года. При расчетах используют простую точную годовую процентную ставку 12 %. Необходимо определить сумму второго платежа.

Изменение хозяйственной ситуации нередко побуждает одну из сторон-участниц коммерческой сделки обратиться к другой стороне с предложением изменить условия ранее заключенных соглашений.

Наиболее часто предлагается: изменить сроки платежей в один (консолидировать платежи) с установлением единого срока погашения и т.п. Естественно, что предлагаемые изменения должны быть безубыточны для обеих сторон, т.е. основным принципом изменения условия сделки (контракта) является принцип финансовой эквивалентности. Для решения таких задач используется уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенной к той же дате.

При консолидации нескольких платежей в один при условии, что срок нового консолидированного платежа больше ранее установленных сроков, т.е. no >n1, n2, nj, уравнение эквивалентности имеет вид:

где So - наращенная сумма консолидированного платежа;

Si, S2. Sj - платежи, подлежащие консолидации, со сроками уплаты ni,

tj- временные интервалы между сроком no и nj, т.е. tj = no-nj.

Рассмотрим использование данного уравнения.

Задача. Фирма получила кредит на сумму 900тыс.руб под 10% годовых (простые проценты). Кредит должен быть погашен двумя платежами: первый - 500 тыс. руб. с процентами через 90 дней, второй - 400 тыс. руб. с процентами через 120 дней. Впоследствии фирма договорилась с кредитором об объединении платежей в один со сроком погашения через 150 дней. Необходимо определить размер консолидированного платежа (К=360). Суммы, подлежащие возврату на старых условиях:

Сумма погашения консолидированного платежа будет равна:

Так как принцип эквивалентности состоит в том, что первоначальная сумма Р в начале периода эквивалентна платежу S в конце периода, то дисконтированная сумма консолидированного платежа на момент предоставления кредита должна быть равна сумме полученного кредита:

Объединение платежей может производиться на условиях, предусматривающих разные сроки выплаты консолидированного платежа.

Поэтому в общем случае величину консолидированного платежа определяют по формуле:

где Sj- суммы объединенных платежей, сроки погашения которых меньше нового срока njП0

Соответственно, tj = П0-Пі, tk = nk-n0.

Задача. Фирма в погашение задолженности банку за предоставленный под 15% годовых (простые проценты) кредит, полученный 01.01, должна произвести три платежа - 200 тыс. руб.; 270 тыс. руб. и 330 тыс. руб. в сроки 20.04, 25.05, 15.06. Фирма предложила банку объединить все платежи в один и погасить его 01.06. (К=365)

Определите величину консолидированного платежа. ti = 20.04 - 01.06= 42 дня, t₂ = 7 дней, t₃= 14 дней.

При консолидации платежей с использованием сложной процентной

ставки применяется следующая формула-

Задача. Два платежа S_t= 1,7 млн руб и S₂= 1,3 млн руб. со сроками погашения 1 год 30 дней и 1 год 45 дней, отсчитываемыми от одной даты, заменяются одним платежом со сроком 1 год 75 дней. Стороны согласились на консолидацию платежей при использовании ставки сложных процентов 9% годовых. Определите сумму консолидированного платежа. (к=365) t_x = 1 год 75 дней - 1 год 30 дней = 45 дней. t₂= 1 год 75дней - 1 год 45 дней =30 дней.

Вопрос о консолидации платежей можно решить и по другому принципу: партнеры заранее обусловливают сумму консолидированного платежа, при этом необходимо рассчитать срок его уплаты, сохраняя при этом принцип эквивалентности, Срок уплаты консолидированного платежа определяется по формуле:

где S0- сумма консолидированного платежа;

Ро - современная величина консолидируемых платежей; i- процентная ставка, используемая при консолидации.

Задача. Фирма имеет ряд финансовых обязательств перед одним кредитором - 2,5 млн. руб, 3,1 млн руб, 2,7 млн руб, которые должна погасить через 40, 70 и 160 дней после 01.01 текущего года. По согласованию сторон решено заменить их одним платежом, равным 9 млн руб., с продлением срока оплаты, используя процентную ставку i=12%. (К=365) Необходимо найти срок уплаты консолидированного платежа.

Современная величина (Р0) объединяемых платежей составит:

В случае договоренности партнеров о консолидации платежей без изменения общей суммы платежа, т.е. S0=^ Sj, срок консолидированного платежа рассчитывается по формуле:

Задача. Платежи в размере 2,5 млн руб., 3,1 млн руб и 2,7 млн. руб. должны быть внесены 40, 70 и 160 дней после 01.01 текущего года. Достигнуто соглашение на объединение этих платежей без увеличения итоговой суммы, т.е. S0=£ Sj. Определите срок уплаты консолидированного платежа.

Две суммы денег ЕУ₁ и ЕУ₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Общий метод решения задач подобного рода заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к некоторому моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, реализуется на основе простых ставок, для среднесрочных и долгосрочных - на основе сложных.

Наиболее распространенным способом изменения условий контрактов является консолидация (объединение) и пролонгация (продление) финансовых обязательств. Соответственно решаются две задачи:

1) при известных суммах платежей и их сроках, известном сроке консолидированного платежа, находится его сумма;

2) при известных суммах платежей и их сроках, известной сумме консолидированного платежа, находится срок его выплаты.

Простая процентная ставка. Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае консолидирования нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

ЕУ0 =Е ЕУт (1 + (П0 - Пт) • I) + £ ЕУ_Ч (1 + Ц - П0) • I) -1 ,

где ЕУ₀, п₀ - сумма и срок консолидированного платежа;

ЕУ_т - сумма объединенных платежей, сроки погашения которых меньше нового срока п_т п₀.

Пример 4.5. Фирма в погашение задолженности банку за предоставленный кредит 1 января 2011 под 15 % годовых (простые проценты), должна произвести три платежа - 200 ден. ед., 270 ден. ед, 330 ден. ед. в сроки 20.04.11, 25.05.11, 15.06.11. Фирма предложила объединить все платежи в один и погасить его 01.06.11. Определить величину консолидированного платежа.

Решение. С учетом порядковых дней года (приложение А) имеем

166-152

+ 330

1 +

Итак, величина консолидированного платежа равна 802 ден. ед.

Простая учетная ставка. При консолидации векселей по простой учетной ставке С консолидированный платеж ЕУ₀ находится по формуле:

Пример 4.6. Три векселя со сроками уплаты 15.03.11 (500 ден. ед.), 10.04.11 (88 ден. ед.) и 01.06.11 (900 ден. ед.) заменяются одним со сроком погашения 15.05.11.

При консолидации используется простая учетная ставка 9 %. Определить величину консолидированного векселя.

135 - 74

РУ₀ = 500 •

1 -

+ 800 •

360

,-1

= 2 211 ден. ед.

Величина консолидированного векселя равна 2 211 ден. ед.

Сложная процентная ставка. При консолидации векселей в расчетах по сложной процентной ставке расчет консолидированного платежа производится по формуле

= ^ РУ_т (1 +1) П 0 - П т + ^ ^ (1 +1) -(- П 0> .

Сложная учетная ставка. При консолидации векселей в расчетах по сложной учетной ставке С консолидированный платеж ГУ₀ находится по формуле

гу, = X ¥ У_т (1 - С) -( П 0- П т> + ^ ?У_ч (1 - С) п д - П 0 .

Определение срока оплаты консолидированного платежа. Если требуется определить время п₀ оплаты консолидированного платежа ГУ₀, то составляется уравнение эквивалентности, выбрав в качестве базисной даты начало отсчета. Срок оплаты п₀ есть решение соответствующего уравнения.

Пример 4.7. Платежи в сумме 8 250 ден. ед., 10 050 ден. ед. и 25 450 ден. ед. со сроками оплаты соответственно через 2; 3,5 и 4 года должны быть заменены одним платежом, содержащим целое число тысяч ден. ед. Замена производится на основе сложной ставки 8,75 % годовых.

Чему равна минимальная допустимая сумма платежа, и через какой срок он должен быть оплачен?

Решение. Обозначим через ГУ сумму заменяемого платежа, через п - срок оплаты этой суммы. Запишем уравнение эквивалентности, выводя все платежи на начало отсчёта:

8 250 1,087 5 - 2 + 10 050 1,087 5 - 3,5 + 25 450 1,087 5 - 4 = ГУ1,087 5 -п .

Логарифмируя обе части уравнения и выражая п, получим

1п ГУ - 1п32 664

Формула имеет смысл только тогда, когда ГУ > 32 664 ден. ед. Следовательно, требуемая сумма ГУ = 33 000 ден. ед. Подставляя это значение в формулу, имеем п = 0,122 года или 43 дня.

Замечание. Есть различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим существует многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется аналогичным образом.

Рассмотрим теперь задачу замены платежей , выплачиваемых соответственно через время , одним платежом с выплатой через время .

Рассуждая, как и ранее, можно получить уравнение эквивалентности следующего вида:

Пример. Клиент получил в банке кредит на сумму 3 тыс. грн. под 12% годовых.

В соответствии с финансовым контрактом клиент обязался погасить кредит тремя платежами с процентами: 1,5 тыс. грн., 0,5 тыс. грн. и 1 тыс. грн. соответственно через 30, 90 и 150 дней. Однако через некоторое время по обоюдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через 120 дней.

Необходимо найти величину консолидированного платежа, если начисляются простые проценты.

Найдем платежи с процентами согласно первоначальному соглашению:

тыс. грн. тыс. грн.

Величина консолидированного платежа составит:

Для проверки полученного результата величину консолидированного платежа дисконтируем на момент предоставления кредита:

тыс. грн. Это сумма выданного кредита.

Срок консолидированного платежа определяется из равенства приведенных стоимостей соответствующих платежей:

Этой формулой можно пользоваться в тех случаях, когда справедливо неравенство:

Пример. Платежи в 2 тыс. грн. и 3 тыс. грн. должны быть погашены соответственно через 45 и 90 дней. Кредитор и должник согласились заменить два платежа одним в 5 тыс. грн.

Найти срок оплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 12% годовых и способ 360/360.

Если имеет место равенство то для определения срока консолидированного платежа используется приближенная формула:

Для условий последнего примера с помощью приближенной формулы получим:

Рассмотренные выше формулы для определения консолидированного платежа Р₀ и срока n₀ , конечно, не охватывают все возможные случаи. Например, пять погасительных платежей объединяются в два погасительных платежа; или изменяются сроки платежей без изменения их числа и т.п.

Как правило, в каждой конкретной ситуации составляется соответствующее уравнение эквивалентности, отражающее содержание контракта. Причем необходимо оговаривать и некоторые ньюансы, возникающие при составлении этих уравнений. Так, при использовании приведенных значений платежей необходимо согласовывать дату (ее называют базовой), на которую производят приведение. Это делается потому, что от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются значения новых искомых характеристик.

Пример. По условию контракта суммы 3тыс. грн., 1 тыс. грн. и 2,5 тыс. грн. должны быть выплачены соответственно 05.05., 15.06. и 25.10.

Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 3,5 тыс. грн. выплачиваются 01.06.; 1,5 тыс. грн. – 01.07. и остаток долга погашается 10.09.

Определить величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 15%, по способу 365/365. Все операции проводятся в пределах одного года.

За дату приведения (базовую дату) примем, например, 15.06. – время выплаты 1 тыс. грн. Для лучшего понимания вида уравнения эквивалентности укажем порядковые номера в году представленных в контракте дат: 05.05. – 125; 15.06. – 166; 25.10. – 298; 01.06. – 152; 01.07. – 182; 10.09. – 253.

Обозначив остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:

Решив это уравнение относительно Р, получим Р = 1,462 тыс. грн.

Замена платежей и сроков их выплат с использованием

Сложной процентной ставки.

Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей с использованием сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравнения.

Если платеж Р₁ со сроком n₁ надо заменить платежом Р₀ со сроком n₀ при использовании сложной процентной ставки r (причем n₁ и n₀ измеряются от одного момента времени), то уравнение эквивалентности имеет вид:

если n₀ n_k , будет иметь место наращение сложных процентов на капитал P_k , а при n₀

Читайте также: