Высота параллелограмма это кратко

Обновлено: 04.07.2024

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. AB ∥ CD, BC ∥ AD.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, проведенный из любой точки одной стороны на противолежащую сторону (расстояние между противолежащими сторонами).

Свойства параллелограмма:
1. Противолежащие стороны равны.
2. Противолежащие стороны параллельны.
3. Противолежащие углы равны.
4. Сумма соседних углов равна 180.
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
6. Диагональ делит пaрaллелограмм на два равных треугольника.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его четырех сторон.
8. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Признаки параллелограмма:
— две противолежащие стороны равны и параллельны,
— противолежащие стороны попарно равны,
— диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
— каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если у параллелограмма все углы прямые, то такой параллелограмм называется прямоугольником, а прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Все параллелограммы обладают следующими свойствами:

AB = CD и BC = DA;

∠ABC = ∠CDA и ∠DAB = ∠BCD;

∠ABC + ∠BCD = 180°,

∠BCD + ∠CDA = 180°,

∠CDA + ∠DAB = 180°,

∠DAB + ∠ABC = 180°;

AO = OC и BO = OD;

ΔABC = ΔCDA и ΔABD = ΔBCD;

Точка O — это центр симметрии.

Высота

Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием, а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, — высотой.

AD — это основание параллелограмма, h — высота.

Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.

Площадь

Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD:

Построенные высоты BE и CF образуют прямоугольник EBCF и два треугольника: ΔABE и ΔDCF. Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника EBCD и треугольника ABE, прямоугольник EBCF состоит из того же четырёхугольника и треугольника DCF. Треугольники ABE и DCF равны (по четвёртому признаку равенства прямоугольных треугольников), значит и площади прямоугольника с параллелограммом равны, так как они составлены из равных частей.

Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:

площадь ABCD = AD · BE.

Из данного примера можно сделать вывод, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Общая формула площади параллелограмма:

S = ah,

где S — это площадь параллелограмма, a — основание, h — высота.

Что такое высота параллелограмма? Сколько у параллелограмма высот?

Что такое основание параллелограмма?

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.

Высотой параллелограмма также называют длину этого перпендикуляра. Расстояние между противоположными сторонами параллелограмма равно высоте параллелограмма.

BK, PF, DE — высоты параллелограмма.

BK, PF, DE — меньшие высоты параллелограмма.

Меньшая высота параллелограмма — это высота, проведенная к его большей стороне.

BM, DL — высоты параллелограмма.

BM, DL — большие высоты параллелограмма.

Большая высота высота параллелограмма — это высота, проведенная к ее меньшей стороне.

На рисунке 3 BK и BM — высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупого угла B.

Из них BM — большая высота параллелограмма ABCD, BK — его меньшая высота.

На рисунке 4 CN и CH — высоты, проведенные из вершины острого угла C параллелограмма ABCD.

Из них CN — меньшая высота, CH- большая высота параллелограмма.

Иногда одну из сторон называют основанием параллелограмма.

Например, на рисунке 3 AD — основание параллелограмма, BK — проведенная к нему высота.

CD тоже можно считать основанием параллелограмма. BM — проведенная к нему высота.

Но чаще об основании говорят, когда хотят подчеркнуть, что эта сторона — нижняя горизонтальная (для понимания того, как лучше выполнить рисунок).

К параллелограммам относят четырёхугольники с попарно параллельными сторонами. Частными случаями таких геометрических фигур являются квадраты, ромбы и прямоугольники. В публикации рассмотрим, что такое высота параллелограмма, как её провести и вычислить через стороны, диагонали и углы. Рассмотрим признаки и свойства фигуры.

Особенности геометрической фигуры

Рассматриваемый 4-угольник обладает рядом присущих только ему свойств. У него одинаковые противоположные стороны и углы. Сумма последних, примыкающих к одной стороне, равняется 180°. Место пересечения диагоналей делит их пополам, является центром симметрии параллелограмма и точкой пересечения средних линий. Также диагональ образует два одинаковых треугольника.

Определение высоты параллелограмма

Высота параллелограмма – это перпендикуляр – линия, опущенная из одной стороны на другую, противоположную или параллельную ей. Обозначится двумя буквами, например, DE, либо одной – h.

Перпендикуляр проводится не из каждой точки геометрической фигуры, ведь иногда находится за её пределами. Тогда высоту (BE) опускают на продолжение стороны (CE).

Как провести высоту в параллелограмме

Для построения высоты одна сторона угольника ставится на основание, перпендикулярная ей пересекает противоположную в месте, где будет проводиться перпендикуляр. Точки, принадлежащие параллелограмму, соединяются.

В итоге получается высота FG.

Также она может проводиться с одной боковой стороны на вторую.

Все формулы высоты параллелограмма

Как найти высоту параллелограмма, зная его стороны

Высота – отношение площади геометрической фигуры к длине стороны, из которой опущен перпендикуляр:

S = площадь фигуры;
a – размер основания, на который опущен перпендикуляр.

Вторая формула вычисления высоты параллелограмма: через стороны и угол. Равняется произведению стороны на угол, который она образовывает с основанием, куда опущена высота.

Узнать высоту параллелограмма можно, зная один из катетов и гипотенузу треугольника, который она образовывает, по теореме Пифагора. Равняется квадратному корню разности квадратов боковой стороны и отрезка, отсекающего высотой от основания – катета прямоугольного треугольника:

Она же применяется, когда даны или можно вычислить диагональ правильного четырёхугольника – гипотенузу треугольника, который образуется благодаря высоте, и его катет. Равняется корню квадратному из разности возведённых в квадрат диагонали и отрезка между основанием высоты и диагональю.

Существует более сложная формула, позволяющая найти одну высоту параллелограмма через другую и стороны. Обратно пропорциональное отношение одной высоты ко второй равно соотношению длин оснований:

Задача

Дан параллелограмм с высотой BE, проведённой из тупого угла 4-угольника. Она делит основание на равные отрезки. Острый угол между ней и стороной равен 30°, а диагональ, проведённая между вершинами тупых углов – 10 см. Вычислить h геометрической фигуры и градусную меру ∠ABD.

Начнём из рассмотрения получившихся треугольников: ABE, BED – в соответствии с первым признаком их равенства, эти 3-угольники равны между собой: имеют равные катеты AE = ED и углы BEA = BED = 90°. Отсюда следует, что AB = BD. Получим равнобедренный треугольник BDA с равными 30° углами при основании: BAD = BDA.

Расположенный накрест угол при параллельных отрезках DA с CB тоже равняется 30°.

Присмотримся к треугольнику ABE. Сумма углов равна 180°. Если один угол прямой, второй – 30°, значит третий – ABE – находится по формуле: ABE = 80 – 90 – 30 = 60°. Он такой, как DBE = 60°.

Читайте также: