Второй признак подобия треугольников доказательство кратко
Обновлено: 30.06.2024
Треугольник — геометрическая фигура, имеющая три соединенных стороны и три угла. Сумма всех углов любого треугольника равна 180°.
Теорема о втором признаке подобия треугольников
Теорема гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум другим сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Даны треугольники ABC и DEF. Докажем, что они являются подобными.
Достроим к ▵ A B C точку G. Получаем ▵ A G B , у которого ∠ 1 = ∠ D ; ∠ 2 = ∠ F .
Согласно первому признаку подобия треугольников, ▵ D E F ~ ▵ A G B (по двум углам).
Определение 1. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Определение 2. Сходственными называются стороны подобных треугольников, лежащих напротив равных углов.
 |
На рисунке 1 углы треугольников \( \small ABC \) и \( \small A_1B_1C_1 \) соответственно равны:
  | (1) |
Тогда стороны \( \small AB \) и \( \small A_1B_1 \), \( \small BC \) и \( \small B_1C_1 \), \( \small AC \) и \( \small A_1C_1 \) называются сходственными.
Определение 1 можно понимать так: два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения и (Рис.1) так, что
  |
Если два треугольника и подобны, то это обозначают так:
Коэффициент подобия треугольников
Коэффициентом подобия треугольников k − это число, равное отношению сходственных сторон (см. формулу (2)).
Перый признак подобия треугольников
Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
 |
Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.2).
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то можно записать:
 ,  |
и, так как , , получим:
Таким образом углы треугольника соответственно равны углам треугольника . Покажем, теперь, что стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника, т. е. выполнено равенство (2).
Площади треугольников и по двум сторонам и углу между ними можно вычислить формулами:
Из (3) и (4), и из следует:
С другой стороны:
Из (6) и (7), и из следует:
Левые части уравнения (5) и (8) равны. Следовательно равны и правые части:
Умножая левую и правую части уравнения (9) на , получим:
Продолжая аналогичные рассуждения, получим:
Сравнивая (8) и (11), получим:
Умножая левую и правую части уравнения (12) на , получим:
Из (10) и (13), получим:
То есть стороны треугольника пропорциональны сходственным сторонам треугольника . Что и требовалось доказать.
Второй признак подобия треугольников
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
 |
Доказательство. Пусть заданы два треугольника и и пусть , . Докажем, что (Рис.3).
Рассмотрим треугольник у которого
 ,  . | (15) |
Из условия (15) следует, что треугольники и подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно:
Но по условию теоремы . Поэтому . Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (сторона AB общая, , (поскольку и )). Следовательно и поскольку , то .
Получили, что и . Тогда по первому признаку подобия треугольников .
Третий признак подобия треугольников
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть стороны треугольников пропорциональны:
Докажем, что . Рассотрим треугольник у которого , (Рис.3). Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда выполнено следующее равенство:
Сравнивая равенства (16) и (17) получаем: , .
Из этих рассуждений следует, что треугольники и равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда , а поскольку , то . Следовательно, по второму признаку подобия треугольников, треугольники и подобны: .
Отношение площадей подобных треугольников
Теорема 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть треугольники и подобны. Тогда
, . |
где -коэффициент подобия.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Первый способ (без использования тригонометрии).
Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых $\dfrac=\dfrac$ и $\angle A=\angle A_1$.
Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$.
Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что $\angle B=\angle B_1$.
Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого $\angle 1=\angle A_1$, $\angle 2=\angle B_1$.
Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $\dfrac=\dfrac$.
C другой стороны, по условию $\dfrac=\dfrac$.
Из этих двух равенств получаем $AC=AC_2$.
Треугольники $ABC$ и $ABC_2$ равны по двум сторонам и углы между ними ($AB$ – общая, $AC=AC_2$ и $\angle A=\angle 1$, поскольку $\angle A=\angle A_1$ и $\angle 1=\angle A_1)$.
Отсюда следует, что $\angle B=\angle 2$, а так как $\angle 2=\angle B_1$, то $\angle B=\angle B_1$.
Второй способ (через тригонометрию).
Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со сторонами $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно.
По теореме косинусов в треугольнике $ABC$: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos=k^2a_1^2+k^2b_1^2-2ka_1kb_1\cos=k^2(a_1^2+b_1^2-2a_1b_1\cos)=k^2c_1^2.$$
Следовательно, $c=kc_1$, то есть стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ пропорциональны.
Читайте также: