Внутригодовые процентные начисления кратко

Обновлено: 05.07.2024

У ссудо-заемных операций, составляющих основу коммерческих вычислений, давняя история. Именно в этих операциях проявляется прежде всего необходимость учета временной ценности денег.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец полу­чает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторо­му алгоритму в течение определенного промежутка времени. Посколь­ку стандартным временным интервалом в финансовых операциях яв­ляется 1 год, наиболее распространен вариант установления процентной ставки в виде годовой ставки, когда подразумевается однократное на­числение процентов по истечении года после получения ссуды. Извест­ны две основные схемы дискретного н.исления: схема простых и схе­ма сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с ко­торой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность — r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестиро­ванный капитал ежегодно растет на величину Р • r. Таким образом, раз­мер инвестированного капитала через n лет (Rn) будет равен:

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного про­цента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной ве­личины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Сле­довательно, размер инвестированного капитала к концу n -го года будет равен

Можно показать, что в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

  • более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды ме­нее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);
  • более выгодна схема сложных процентов, если срок ссуды пре­вышает один год (проценты начисляются ежегодно);
  • обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительно­сти периода один год и однократном начислении процентов.

Схему простых процентов используют в практике банковских рас­четов при начислении процентов по краткосрочным ссудам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя п берут величину, характеризующую удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина временных интерва­лов в расчетах может округляться: месяц — 30 дней; квартал — 90; по­лугодие — 180; год — 360 (или 365) дней. Другой весьма распростра­ненной операцией краткосрочного характера с использованием фор­мулы простых процентов является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются формулами

где d — годовая дисконтная ставка в долях единицы;

t — продолжительность финансовой операции в днях;

Т — количество дней в году;

f — относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что опе­рация имеет смысл, когда число в скобках не отрицательно).

Использование в расчетах сложного процента в случае многократ­ного его начисления более логично, поскольку в этой ситуации капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. Применяя простой про­цент, доходы по мере их начисления целесообразно снимать для по­требления или использования в других инвестиционных проектах либо в текущей деятельности.

Формула сложных процентов — одна из базовых формул в фи­нансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FM1 (r,n), называемого мультиплицирующим множителем и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в дан­ной книге, можно найти в литературе по финансовому менеджменту и анализу, например в [11]). Тогда формулу алгоритма наращения по схе­ме сложных процентов можно переписать так:

где — мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FM1 (r,n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.) через n периодов при заданной процен­тной ставке r. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми табли­цами необходимо следить за соответствием длины периода и процент­ной ставки. Так, если за базисный период начисления процентов взят квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

В практике финансовых и коммерческих расчетов нередко огова­ривается величина годового процента и частота начисления, отличная от ежегодной. В этом случае расчет ведется по формуле сложных про­центов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле

где r — объявленная годовая ставка;

т — количество начислений в году;

k — количество лет.

Достаточно обыденны финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

  • по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

где w — целое число лет;

f — дробная часть года.

Поскольку f e , обеспечивающая переход от Р к F n при заданных значениях этих показателей и одно­кратном начислении процентов и рассчитываемая по формуле

Из формулы (4.9) следует, что эффективная ставка зависит от ко­личества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличи­вается. Кроме того, для каждой номинальной ставки можно найти соот­ветствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при т = 1. Именно ставка r e служит критерием эффективности финан­совой сделки и может быть использована для пространственно-вре­менных сопоставлений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового менеджера. Дело в том, что решение о привле­чении средств, например банковской ссуды на тех или иных условиях, принимают чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расхо­ды заемщика. В рекламных проспектах непроизвольно или умышленно внимание на природе ставки обычно не акцентируют, хотя в подавляю­щем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весь­ма существенно отличаться от эффективной ставки.

4.2. Денежные потоки: виды, оценка

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений F n (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) сточки зрения текущего момента. При этом, сделав финансовые вложения, инвестор обычно руководствуется тремя посылками:

а) происходит пер­манентное обесценение денег (инфляция);

б) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые компанией, мо­жет существенно отличаться от темпа инфляции;

в) желательно перио­дическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере не ниже определенного минимума.

Базируясь на этих посылках, инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело исходя из прогно­зируемой его рентабельности.

Базовая расчетная формула для такого анализа вытекает из формулы (4.2):

где F n — доход, планируемый к получению в n -м году;

P — текущая (или приведенная) стоимость, т.е. оценка величины F n с точ­ки зрения текущего момента;

r — коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через п лет (F n ) с точки зрения текущего момента меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означает также, что для инвестора сумма Р в данный момент и сумма F n через п лет одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить в сопостави­мый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Легко видеть, что в этом случае коэффициент дис­контирования численно равен процентной ставке, устанавливаемой ин­вестором, т.е. тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Один из основных элементов финансового анализа вообще и оцен­ки инвестиционных проектов — оценка денежного потока С 1 , С 2 . С n , генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реа­лизации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока С i могут быть либо независимыми, либо свя­занными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Кроме того, для простоты изло­жения материала в этой главе предполагается, что элементы денежно­го потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рам­ках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток на­зывается потоком пренумерандо, или авансовым, во втором — потоком постнумерандо.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, именно он лежит в основе методик анализа инвестиционных про­ектов. Некоторые объяснения этому можно дать исходя из общих прин­ципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очеред­ного отчетного периода.

Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные времен­ные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

  1. прямой, т.е. проводится оценка с точки зрения будущего (реализуется схема наращения);
  2. обратной, т.е. проводится оценка с точки зрения настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного де­нежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления про­центов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит фор­мула (4.2).

Несложно показать, что будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо FV pst , может быть оценена как сумма наращен­ных поступлений, т.е. в общем виде формула такова:

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтирован­ного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирова­ние невозможно. Приведение денежного потока к одному моменту вре­мени осуществляется при помощи формулы (4.10). Основной результат расчета — определение общей величины приведенного денежного по­тока. Используемые при этом расчетные формулы различны в зависи­мости от вида потока — постнумерандо или пренумерандо. Именно обрат­ная задача является основной при оценке инвестиционных проектов.

В частности, приведенная стоимость денежного потока постнуме­рандо FV pst в общем случае может быть рассчитана по формуле

Несложно показать при помощи графиков, что формулы (4.11) и (4.12) трансформируются следующим образом:

4.3. Оценка аннуитетов

Одно из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расче­тах — понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных пла­тежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бу­маг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Это поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одина­ковы по величине. Если число равных временных интервалов ограни­чено, аннуитет называется срочным. В этом случае

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены. В частности, для ре­шения прямой задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо при заданных величинах регулярного поступления (А) и про­центной ставке (r ) можно воспользоваться формулами (4.15) и (4.16):

Экономический смысл F М3(r ,n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну де­нежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что денежные суммы лишь начисляются, а изъять их можно по окончании срока действия аннуитета. Множитель F М3(r ,n) часто используют в финансовых вычислениях. Поскольку легко заметить, что его значения в общем виде зависят лишь от r и n , они также табулиро­ваны.

Для решения обратной задачи оценки срочных аннуитетов постнумерандо и пренумерандо, являющейся основной при анализе инвес­тиционных проектов, денежные притоки которых имеют вид аннуитет­ных поступлений, можно воспользоваться формулами (4.18) и (4.19):

Экономический смысл F М4(r ,n), называемого дисконтирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему равна с точки зрения текущего момента величина аннуитета с ре­гулярными денежными поступлениями в размере одной денежной еди­ницы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r. Значения этого множителя также табу­лированы.

При выполнении некоторых расчетов применяют технику оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денеж­ные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается об­ратной задачи, то ее решение делается на основе формулы

Эта формула служит для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В данном случае известен размер годовых по­ступлений; в качестве коэффициента дисконтирования г обычно прини­мают гарантированную процентную ставку (например, процент, пред­лагаемый государственным банком). Сводку формул и методов финан­совой математики и примеры их использования можно найти в [Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1997].

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается вели­чина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

где r—объявленная годовая ставка;

m—количество начислений в году;

Пример: Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. руб на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% : 2), а схема возрастания капитала будет иметь вид:

Период (месяцев) Сумма с которой идет начисление Ставка (в долях ед.) Сумма к концу периода
6 5.000 1.1 5.500
12 5.500 1.1 6.050
18 6.050 1.1 6.655
24 6.655 1.1 7.321

Если воспользоваться приведенной формулой, то m = 2, k = 2, следо­вательно:

Fn = 5 * (1+20%/100%/2) 4 = 7,3205 млн. руб.

Пример: В условиях предыдущего примера проанализировать, изме­нится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода сос­тавит:

Fn = 5 • (1 + 0,05) 8 = 7,387 млн.руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практичес­ких выводов:

· при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

· чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

3.5. Начисление процентов за дробное число лет

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, за­ключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

· по схеме сложных процентов:

· по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

Поскольку f (1 + г) f , следовательно наращен­ная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление про­центов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продо­лжительность общего периода действия контракта не равна це­лому числу подпериодов. В этом случае также возможно исполь­зование двух схем:

а) схема сложных процентов:

Fn=P•(l+г/m) m * k •(l+ r /m) f

б) смешанная схема:

где k — количество лет;

m - количество начислений в году;

r — годовая ставка;

f — дробная часть подпериода.

Пример: Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) в этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому воз­можно применение любой из схем, характеризуемых формулами, приведенными выше, и значениями соответствующих параметров: w = 2; f=0,25;r= 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = Р-(1 + r) w+f = 120 *(1 + 0,16) 2.25 = 167,58 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

Fn = Р • (1 + r) w * (1 + f * r) = 120 * (1 + 0,16) 2 * 1,04 == 167,93 млн. руб.

б) в этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользо­ваться формулами, когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения: k = 2; f = 0,5; m = 2; r = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

При реализации смешанной схемы:

в) в этом случае продолжительность ссуды кратна продолжите­льности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов, в которой n = 9, а r = 0,16/4 = 0,04.

Fn = 120* (1 + 0,04) 9 = 170,8 млн.руб.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возраста­нием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дробле­нии годового интервала.

В современной практике достаточно часто встречаются случаи, когда начисление процентов по некоторой номинальной годовой процентной ставке r осуществляется чаще, чем один раз в год. В частности, таким образом обычно начисляются проценты по банковским вкладам. В этом случае проценты, начисленные по подпериодам в соответствии с периодичностью начисления, будут реинвестироваться под ставку, равную номинальной годовой деленной на количество периодов начисления в году. Наращенная стоимость в таком случае будет иметь вид

где m - количество начислений в году, r - номинальная годовая процентная ставка, n - количество лет. Соответственно частное r/m будет представлять собой периодическую процентную ставку (ставку за период начисления). Очевидно, что чем чаще происходит начисление процентов при одной и той же номинальной годовой ставке, тем выше будет начисленная сумма. При этом если устремить число начислений m к бесконечности, то есть продолжительность периода начисления – к нулю, то формула (2.4) примет вид2

где - основание натурального логарифма. Начисление процентов по формуле (2.4') носит название непрерывного и широко используется в теории управления инвестиционным портфелем.

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается величина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

Fn= P•(l+r/m) k - m (4.7)

где r - объявленная годовая ставка;

m - количество начислений в году;

k - количество лет.

Пример

18 6,05 1.10 = 6,655

24 6,655 1.10 = 7,3205

Если пользоваться формулой (4.7), то m = 2, k = 2, следовательно:

Fn = 5 • (1 + 20% : 100% : 2) 4 = 7,3205 млн. руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20%: 4), а сумма к концу двухлетнего периода составит:

Fn = 5 • (1 + 0,05) 8 = 7,387 млн.руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов: по схеме сложных процентов:

Fn = P - (l+r) w + f (4.8)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

Fn = P-(l+r) w (l+f r), (4.9)

где: w - целое число лет;

f - дробная часть года.

Поскольку f (1 + г) f , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (4.8): Fn = 10 • (1 + 0,3) 2 + 0,.5 = 19,27 млн. руб.

По формуле (4.9): Fn = 10 • (1 + 0,3) 2 • (1 + 0,3 • 0,5) = 19,44 млн. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

а) схема сложных процентов:

Fn = P • (1+r/m) m • k • (l+r/m) f (4.10)

б) смешанная схема:

Fn = P • (l+r/m) m*k • (1+f-r/m), (4.11)

где k — количество лет; m - количество начислений в году; r - годовая ставка; f - дробная часть подпериода.

Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) Годовое начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (4.8) и (4.9) и значениями соответствующих параметров: w = 2; f =0,25; г = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = Р • (1 + r) w + f = 120 • (1 + 0,16) 2,25 = 167,58 млн. руб. При реализации смешанной схемы: Fn = Р • (1 + r) w • (1 + f • r) = 120 • (1 + 0,16) 2 • 1,04 = 167,93 млн.руб.

б) Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользоваться формулами (4.10) и (4.11), когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения: k = 2; f= 0,5; m = 2;. r = 16%.

При реализации схемы сложных процентов:

Fn = Р • (1 + r/m) m * k • (1 + r/m) f = 120 • (1 +0,08) 4.5 = 169,66 млн. руб. При реализации смешанной схемы:

Fn = P • (l + r/m) m * k • (l +f • r/m)= 120 • (1 + 0,08) 4 • (1 + ½ • 0,16/2) = 169,79 млн. руб/

в) Квартальное начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды кратна продолжительности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов (4.4), в которой n = 9, а г = 0,16/4 = 0,04.

Fn = 120 • (1 + 0,04) 9 = 170,8 млн.руб.

Читайте также: