Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа кратко

Обновлено: 04.07.2024

В случае, если результатом теплообмена становится передача телу некоего количества теплоты Q , то его температура и внутренняя энергия претерпевают изменения.

Необходимое для нагревания 1 к г вещества на 1 К количество теплоты Q носит название удельной теплоемкости вещества c , а ее формула выглядит следующим образом:

В большом количестве ситуаций удобной для использования является молярная теплоемкость C :

C = M · c , где M представляет собой молярную массу вещества.

Теплоемкость, полученная таким способом, не является однозначной характеристикой вещества. Исходя из первого закона термодинамики, можно сказать, что изменение внутренней энергии тела зависимо не только от количества полученной теплоты, но и от величины совершенной телом работы. В разных условиях осуществления процесса теплопередачи тело может совершать различную работу. Таким образом, переданное телу одинаковое количество теплоты способно провоцировать изменения его внутренней энергии и, соответственно, температуры.

Подобной неоднозначностью при определении теплоемкости характеризуются только газообразные вещества. Объем в процессе нагрева практически не меняет своей величины, что сводит работу расширения к нулю. По этой причине вся полученная телом теплота уходит на изменение его внутренней энергии. Газ в процессе теплопередачи может значительно менять свой объем и совершать работу, чем отличается от твердых тел и жидкостей. Таким образом, теплоемкость газообразного вещества имеет зависимость от характера термодинамического процесса.

Изопроцессы в газах

Чаще всего рассматриваются два значения теплоемкости газов:

C V являющаяся молярной теплоемкостью в изохорном процессе ( V = c o n s t ) ;
C p представляющая собой молярную теплоемкость в изобарном процессе ( p = c o n s t ) .

При условии постоянного объема газ не совершает работы: A = 0 . Исходя из первого закона термодинамики для 1 м о л я газа, можно сказать, что справедливым является следующее выражение:

Q V = C V ∆ T = ∆ U .

Изменение величины Δ U внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению значения Δ T его температуры.

В условиях процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики дает такую формулу:

Q p = ∆ U + p ( V 2 - V 1 ) = C V ∆ T + p V .

В котором Δ V является изменением объема 1 м о л я идеального газа при изменении его температуры на Δ T . Таким образом, можно заявить, что:

C p = Q p ∆ T = C V + p ∆ V ∆ T .

Из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 м о л я , может выражаться отношение Δ V Δ T :

В котором R представляет собой универсальную газовую постоянную. При условии постоянства давления p = c o n s t , можно записать следующее: p ∆ V = R ∆ T или ∆ V ∆ T = R p .

Из этого следует, что выражающее связь между молярными теплоемкостями C p и C V соотношение имеет вид (формула Майера):

В процессе с неизменным давлением молярная теплоемкость C p газа всегда превышает молярную теплоемкость C V в процессе с не подверженным изменениям объемом, что демонстрируется на рисунке 3 . 10 . 1 .

Рисунок 3 . 10 . 1 . Два возможных процесса нагревания газа на Δ T = T 2 – T 1 . При p = c o n s t газ совершает работу A = p 1 ( V 2 – V 1 ) . Поэтому C p > C V .

Отношение теплоемкостей в процессах с постоянным давлением и постоянным объемом занимает важное место в термодинамике и обозначается в виде греческой буквы γ .

Данное отношение включено в формулу для адиабатического процесса.

Между двумя изотермами, обладающими температурами T 1 и T 2 на диаграмме ( p , V ) реальны различные варианты перехода. Так как для всех подобных переходов изменение величины температуры Δ T = T 2 – T 1 является одним и тем же, выходит, что изменение значения
Δ U внутренней энергии тоже одинаково. С другой стороны, совершенные при этом работы A и количества теплоты Q , полученные в результате теплообмена, выйдут разными для различных путей перехода. Из этого следует, что газа имеет относительно приближенное к бесконечности число теплоемкостей. C p и C V представляют собой частные, однако, очень важные для теории газов, значения теплоемкостей.

Рисунок 3 . 10 . 2 . Модель теплоемкости идеального газа.

Термодинамические процессы, в которых теплоемкость газа не подвергается изменениям, носят название политропических.

Каждый изопроцесс являются политропическим. В изотермическом процессе Δ T = 0 , из-за чего C T = ∞ . В адиабатическом процессе Δ Q = 0 , выходит, что C а д = 0 .

Данная теория представляла теплоту в виде содержащегося в телах особого невесомого вещества. Считалось, что оно не подвержено уничтожению и не может быть созданным. Явление нагрева объясняли повышением, а охлаждение – понижением содержания в телах теплорода. Однако теория теплорода оказалась несостоятельной, так как не смогла дать ответа на вопрос, почему одинаковое изменение внутренней энергии тела возможно получить, приводя ему разное количество теплоты в зависимости от совершаемой им работы. По этой причине утверждение, что в данном теле содержится некоторый запас теплорода лишено смысла.

Молекулярно-кинетическая теория

В молекулярно-кинетической теории устанавливается следующее соотношение между средней кинетической энергией E → поступательного движения молекул и абсолютной температурой T :

Внутренняя энергия 1 м о л я идеального газа эквивалентна произведению E → на число Авогадро N А :

U = 3 2 k N A T = 3 2 R T .

При условии изменения температуры на величину Δ T внутренняя энергия изменяется на величину:

U = 3 2 R ∆ T = C V ∆ T .

Коэффициент пропорциональности между Δ U и Δ T эквивалентен теплоемкости C V в условиях постоянного давления:

C V = 3 2 R = 12 , 47 Д Ж / м о л ь · К.

Данное выражение подтверждается экспериментами с газами, которые состоят из одноатомных молекул вроде гелия, неона или аргона. При этом для двухатомных (водород, азот) и многоатомных (углекислый газ) газов такое соотношение не согласуется с полученными в результате опытов данными. Причина этого расхождения заключается в том, что для двух- и многоатомных молекул средняя кинетическая энергия должна включать энергию как поступательного, так и вращательного их движения.

Рисунок 3 . 10 . 3 . Модель двухатомной молекулы. Точка O совпадает с центром масс молекулы.

Рисунок 3 . 10 . 3 иллюстрирует модель двухатомной молекулы. Молекула имеет возможность производить пять независимых типов движений: три поступательных движения вдоль осей X , Y , Z и два вращения относительно осей X и Y .

Опытным путем выяснено, что вращение относительно оси Z , на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких значениях температуры. В условиях обычных температур вращение вокруг оси Z не происходит.

Каждое независимое движение в молекуле носит название степени свободы.

В классической статистической физике доказывается теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы:

Если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре T , то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой степени свободы молекулы она равна 1 2 k T .

Из данной теоремы следует, что для молярных теплоемкостей газа C p и C V и их отношения
γ справедлива запись в следующем виде:

C V = i 2 R , C p = C v + R = i + 2 2 R , γ = C p C V = i + 2 i ,

где i представляет собой количество степеней свободы газа.

Для газа, состоящего из одноатомных молекул ( i = 3 )

C V = 3 2 R , C p = C v + R = 5 2 R , γ = C p C V = 5 3 = 1 , 66 .

Для газа, состоящего из двухатомных молекул ( i = 5 )

C V = 5 2 R , C p = C v + R = 7 2 R , γ = C p C V = 7 5 = 1 , 4 .

Для газа, состоящего из многоатомных молекул ( i = 6 )

C V = 3 R , C p = C v + R = 4 R , γ = C p C V = 4 3 = 1 , 33 .

В обычных условиях экспериментально измеренные теплоемкости многих газов неплохо согласуются с приведенными выражениями, но в целом классическая теория теплоемкости газов вполне удовлетворительной не является. Существует колоссальное число примеров со значительной разницей между результатами эксперимента и теорией. Данный факт объясняется тем, что классическая теория не может полностью учесть, связанную с внутренними движениями в молекуле энергию.

Внутренняя энергия 1 м о л я твердого вещества равна следующему выражению:

U = 3 R N A k t = 3 R t .

Следовательно, молярная теплоемкость вещества в твердом состоянии равняется:

С = 3 R = 25 , 12 Д ж / м о л ь · К .

Данное выражение носит название закона Дюлонга–Пти. Для твердых тел почти нет различия между C p и C V по причине пренебрежительно малой работы при сжатии или расширении.

Опыт показывает, что молярная теплоемкость у многих твердых тел (химических элементов) при обычных температурах на самом деле близка к 3 R . При этом, в условиях низких температур заметны довольно сильные расхождения между теорией и экспериментом. Таким образом, гипотеза о равномерном распределении энергии по степеням свободы может считаться лишь приближением. Заметная в опыте зависимость теплоемкости от температуры объясняется только при условии использования квантовых представлений.

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Из закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы газы мы запомнили, что в идеальном газе при умеренных температурах на каждую степень свободы приходится энергия равная $\left\langle \varepsilon \right\rangle =\frackT.$ Логично предположить, что все суммарная энергия молекул газа может быть рассчитана как:

где N -- число молекул газа, i -- число степеней свободы газа, k -- постоянная Больцмана, T -- термодинамическая температура. Если учесть, что

$N_=6,02\cdot ^моль^$ --постоянная Авогадро, $\nu $- число молей газа, то выражение для внутренней энергии (1) можно записать в виде:

где R= 8,31 $\frac$ -- универсальная газовая постоянная.

Внутренняя энергия системы

Во всех уравнениях U - это внутренняя энергия идеального газа. Внутренняя энергия системы важная функция состояния, ее изменение не зависит от способа перехода системы из состояния 1 в состояние 2.

Для газа, на который не действуют внешние силы, находящийся в состоянии макроскопического равновесия, внутренняя энергия представляет собой полную энергию системы. Внутренняя энергия включает в себя энергию теплового (хаотического) движения частиц и энергию их взаимодействия.

Внутренняя энергия газа является аддитивной, то есть полная внутренняя энергия системы есть сумма внутренних энергий ее макро частей. При невысоких температурах часто внутреннюю энергию идеального газа принимают равной суммарной кинетической энергии его молекул. Внутренняя энергия идеального газа зависит от термодинамической температуры T.

Что такое теплоемкость

Рассмотрим теперь что такое теплоемкость. Количество теплоты, переданное телу с целью нагреть его на 1К -- теплоемкость тела (системы). Обычно обозначается |C":

Теплоемкость единицы массы тела:

Теплоемкость единицы молярной массы тела:

Мы видим, что теплоемкость определена через понятие -- теплота. А нам известно, что количество тепла подведенного к системе зависит от процесса. Соответственно получается, что и теплоемкость зависит от процесса. Поэтому формулу определения теплоемкости (4) следует уточнить и записать в виде:

Готовые работы на аналогичную тему

теплоёмкости (газа) в постоянном объеме и при постоянном давлении.

Найдем связь между внутренней энергией идеального газа и его теплоемкостью. Для этого запишем первое начало термодинамики:

Разделим обе части выражения (9) на dT, получим:

Очевидно, что в уравнении (10) в левой части стоит теплоемкость для изохорного процесса, а в левую часть подставим выражение для dU, полученное из уравнения (2):

В таком случае молярная теплоемкость при изохорном процессе будет иметь вид:

Из выражения (12) видно, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме зависит только от числа степеней свободы молекулы газа и является величиной постоянной.

Рассмотрим изобарный процесс (p=const). Используем снова первое начало термодинамики, запишем его разделив правую и левую части на dT и отметим, что имеем дело с изобарным процессом:

В правой части уравнения (13) мы получили теплоемкость газа при изохорном процессе. Для того, чтобы преобразовать второе слагаемое в правой части, используем уравнение Менделеева -- Клайперона:

\[pV=\nu RT\ \left(14\right).\]

Если мы имеем дела с изобарным процессом, продифференцируем (14), получим:

\[pdV=\nu RdT\ \left(15\right).\]

Подставим (15) в (13), получим:

\[С_p=\frac\nu R+\frac=\frac\nu R+\nu R\left(16\right).\]

В таком случае молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении получит выражение:

Соотношение (17) между теплоемкостями идеального газа также называют соотношением Майера. Из уравнения (17) видно, что теплоемкость изобарного процесса больше, чем теплоемкость изохорного. Это и понятно. При изохорном процессе теплота идет только на изменение внутренней энергии газа, а при изобарном процессе теплота идет еще и на совершение газом работы.

Задание: Получите уравнение, связывающее показатель адиабаты ($\gamma$), используемый в одноименном процессе, с молярными теплоемкостями $c_<\mu V>\ $и $c_<\mu p>$.

Итак, рассмотри адиабатный процесс. Он характеризуется тем, что все процессы в системе происходят без подвода к ней тепла. То есть $\delta Q=0.$ Соответственно, первое начало термодинамики имеет вид:

Из уравнения Менделеева -- Клайперона выразим давление:

подставим $\left(1.2\right)\ $в (1.1) и проведем разделение переменных:

Интегрируем (1.3), получим:

Потенцируем выражение (1.4), имеем:

Уравнение адиабатного процесса в параметрах Т(V) имеет вид:

Следовательно, $\gamma$=$\frac>>$, где $\gamma$ -- показатель адиабаты.

Задание: Заданы два графика описывающие процессы, проведенные в идеальном газе, которые переводят его из состояния А в состояние В и С (рис.1). В каком случае (АВ или АС) приращение внутренней энергии больше?

Решение: Так как внутренняя энергия -- функция состояния, то ее изменение не зависит от хода процесса, рассмотрим только конечные состояния. Для процесса АВ запишем:

\[\triangle U_=\frac\nu R\left(T_B-T_A\right)\left(2.1\right)\]

Из уравнения Менделеева - Клайперона:

\[p_AV_A-p_BV_B=\nu R\left(T_B-T_A\right)\to \triangle U_=\frac\left(p_BV_B-p_AV_A\right)\left(2.2\right)\]

Для процесса АС запишем по аналогии:

\[\triangle U_=\frac\left(p_СV_С-p_AV_A\right)\left(2.3\right)\]

Из рисунка 1 видно, что $V_B=V_С,\ а\ p_B>p_С$, следовательно, $\triangle U_>\triangle U_.$

Идеальным газом называют такой газ, который ведет себя как совокупность невзаимодействующих материальных точек. В таком случае внутренняя энергия какого-либо количества идеального газа является суммарной кинетической энергией поступательного движения всех молекул. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна:

Если газ содержит N молекул, то полная энергия U равна

А для одного киломоля

так как произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана равно универсальной газовой постоянной R

Внутренняя энергия произвольного количества идеального газа может быть представлена так:

Удельная теплоемкость численно равна количеству тепла, необходимому, для нагревания единицы массы газа на один градус. Малярная теплоемкость, численно равная количеству тепла, необходимому для нагревания одного киломоля газа на один градус.

Математически и та и другая выражаются одинаково:

Принято обозначать удельную теплоемкость строчной буквой "с", малярную (киломольную) - заглавной "С". Удельная и молярная теплоемкости связаны между собой простым соотношением,

В молекулярно-кинетической теории тепловых явлений важными понятиями являются теплоёмкость при постоянном объёме C_vи теплоёмкость при постоянном давлении C_p. Теплоёмкости C_p и C_v связаны соотношением Майера:

Для идеального газа

Но законы идеального газа хорошо выполняются для одноатомных
газов и лишь при сравнительно небольших давлениях. Для газов
с многоатомными молекулами

где I - число степеней свободы молекул.

Число Степеней свободы зависит от числа атомов в молекуле и характера связи между атомами в молекуле.