Вероятность в классической физике кратко

Обновлено: 30.06.2024

Эта статья рассчитана на людей, имеющих начальные знания по квантовой механике, обычно входящей в вузовский курс теоретической физики, а также живой интерес к ней. Квантовая механика, как матанализ, требует определенных начальных знаний, и без этого любое чтение будет либо беллетристикой, либо приведет к неправильным представлениям. Все обещания квантовой механики для всех и даром сродни социалистическим предвыборным лозунгам. Тем не менее эти необходимые знания не так велики, как может показаться, особенно для знающих математику. В начале изучения у многих возникает проблема — вероятностный смысл волновой функции и связанные с этим вещи: процесс измерения и гипотеза редукции волновой функции, трудны для понимания. Тем более, что в дальнейшем при решении задач этот вероятностный смысл или интерпретация, как правило, не требуются, поэтому многие даже не задумываются над этим. Тем не менее хотелось бы разобраться, откуда это взялось и зачем вообще нужно, и нужно ли вообще. Оказывается, что соображения, которые, вероятно, легли в основу столь сложных и противоречивых постулатов, утратили силу по мере прогресса квантовой электродинамики. Глубоких знаний для понимания не потребуется — можно просто поверить хорошо известным результатам из учебников, но начальный уровень все же необходим.

Вероятностная интерпретация

В КИ постулируется, что волновая функция есть амплитуда плотности вероятности координат частицы. Это означает, что есть распределение плотности вероятности ее обнаружения в точке x. При этом вводится понятие измерения и постулат редукции волновой функции, не вытекающий из уравнения Шредингера. Если во всех предыдущих разделах физики процесс измерения был конкретным, описывался теми же уравнениями и подчинялся тем же законам, что и любой другой физический процесс, то в квантовой механике он не определен четко и понятными уравнениями не описывается. Например, в классическом учебнике Ландау и Лифшица [3] приговариваются абсолютно непонятные слова о том, что квантовая механика нуждается в классическом (неквантовом) приборе и т.п. Самое интересное то, что в дальнейшем никакой классический прибор не требуется. Совершенно непонятно при дальнейшем изучении, почему эволюция волновой функции электрона при взаимодействии с вполне классичным (с большой точностью, если отвлечься от спина) объектом — атомным ядром, рассчитывается с помощью уравнения Шредингера и хорошо исследована, а взаимодействие с измерительным прибором вызывает загадочную редукцию волновой функции, никак с помощью уравнения Шредингера не доказываемую. Редукция волновой функции — еще один постулат КИ, вызывающий довольно много возражений.

В настоящее время классическая борновская интерпретация претерпела изрядную ревизию, так многих не устраивает ни понятие измерения, ни загадочная редукция. Появилось довольно много работ на эту тему. Однако, следование борновской или какой-то другой интерпретации не влияет на методы решения задач в теории и на получаемые математические результаты. Поэтому эти работы больше похожи на философские или популяризаторские, к серьезной теоретической физике их трудно отнести. Например, многомировая интерпретация, предложенная в 1957 г. Эвереттом [4], обсуждаемая в [5], вводит множество вариантов реальностей, из которых неведомо как делается выбор. Вводятся новые категории, которые более нигде не используются. Такое количество различных версий позволяет предположить, что ни одна не является хорошо обоснованной. Вместе с тем именно непонятная интерпретация сильно затрудняет изучение квантовой механики на начальном этапе. Существует аксиоматическое изложение квантовой теории [6], где вообще отсутствует физическая интерпретация вектора состояния. Это удобно для математика, но для начинающего физика не годится.

В классической теории поля тоже есть вспомогательные понятия — пробный заряд или рамка с током. Но они нужны, чтобы пояснить физический смысл вводимых напряженностей поля и потенциалов. Последовательная и логичная теория строится и без них, на основе лагранжиана поля и зарядов. Так как к квантовой механике приступают, уже освоив теорию поля, у новичка возникает вопрос — а нужна ли вообще эта вероятностная интерпретация? Чем плоха точка зрения Эйнштейна, который считал частицы просто состояниями полей? Давайте забудем о классических частицах и будем просто рассматривать поле , для которого есть уравнение Шредингера. Тем более, что с вероятностной интерпретацией (КИ) не соглашались немало авторитетов, как в прошлом (Эйнштейн, де Бройль), так и теперь (например, Хокинг). Также, как векторный потенциал в электродинамике, не имеет непосредственного физического смысла. Имеют физический смысл некие квадратичные выражения. Для электрона плотность заряда есть -e , а плотность тока есть e, m — заряд и масса электрона, — постоянная Планка. Опыты с дифракцией электрона на кристаллах и двух щелях интерпретируются в этом случае крайне просто — электрон, как и световая волна, проходит сразу через ОБЕ щели. Из уравнения Шредингера, также, как из волнового уравнения для света, определяется на фотопластинке. Далее предполагаем, что степень почернения пропорциональна по аналогии со светом, где степень почернения пропорциональна среднему (E — напряженность электрического поля). Это предположение вполне правдоподобно. В таком случае и принцип неопределенности Гейзенберга — просто известное математическое соотношение между среднеквадратичной дисперсией функции и ее Фурье-образа.

Какие аргументы были у копенгагенской школы в пользу КИ?

КИ тоже позволяет интерпретировать ряд экспериментов, например, по дифракции электронов. Но эксперименты чисто качественные — рассматривалось [7] почернение фотопластинки. В принципе можно рассмотреть простейшую модель детектора, состоящую из (x)-образной ямы в большом ящике. Электрон отдает энергию фотону и переходит на связанный уровень в яме. Для корректности эксперимента радиус локализации в -яме должен быть много меньше длины волны электрона. Однако такой детектор, как нетрудно показать, заметно меняет стационарную волновую функцию электрона в ящике, так что эксперимент теряет смысл.

Один из основных аргументов Борна состоял в том, что, согласно уравнению Шредингера, волновой пакет микроскопической частицы неограниченно размывается со временем. Это казалось ему абсурдным. Однако в конденсате Бозе — Эйнштейна каждая частица размазана по всему макроскопическому образцу, так что аргумент Борна некорректен. Должны быть другие аргументы против простейшей полевой интерпретации , близкой к точке зрения Эйнштейна.

Действительно, можно просто ввести комплексное поле , постулировав написанные выше выражения для плотности заряда и тока, основанные на уравнении непрерывности. Уравнение Шредингера выводится обычным путем, и оператор гамильтониана есть обобщение классического выражения для заряженной частицы. Но следом возникает неразрешимая при тогдашнем уровне теории проблема. При таком подходе в гамильтониан атома водорода, пришлось бы, помимо взаимодействия с электростатическим полем ядра, включить взаимодействие электронного облака с его собственным электростатическим полем, т.е. в энергии возникло бы слагаемое вида

(1)

На самом деле при написании (1) было неявно сделано одно недоказанное допущение – электроны взаимодействуют с классическим электромагнитным полем. Можно ли считать электромагнитное поле электрона классическим? Чтобы разобраться, надо использовать квантовую электродинамику. Ведь на самом деле нет никакого кулоновского потенциала, а есть электромагнитное поле, взаимодействующее с электронами. При этом электромагнитное поле, входящее в уравнение Шредингера или Дирака для атома водорода, принципиально иное, нежели то, которое вызывает взаимодействие между электронами. Оно классическое, то есть имеет определенное значение в каждой точке, и порождается классическим объектом — ядром.

Чтобы корректно исследовать задачу, надо перейти к релятивистской квантовой теории, тогда волновая функция становится оператором. Здесь нет необходимости (а также места) писать соответствующие формулы и вычисления, желающие найдут их в учебнике (см., например [8]). Я ограничусь изложением известных результатов. Рассмотрим для начала свободный электрон. Чтобы понять, что случится с его волновым пакетом (или облаком), надо выяснить, как меняется его гриновская функция или пропагатор из-за взаимодействия с электромагнитным полем. Поправки к гриновской функции свободного электрона, возникающие при учете взаимодействия с электромагнитным полем, написанные формально по теории возмущений, как известно, сводятся к расходящимся интегралам. Однако эта проблема была решена. Было показано, что учет взаимодействия с квантованным электромагнитным полем для свободного электрона приводит просто к замене в соответствующих формулах заряда и массы на перенормированные (наблюдаемые) величины [8]. Таким образом, в нерелятивистском случае малых импульсов учет взаимодействия одного электрона с электромагнитным полем приводит просто к обычному линейному уравнению Шредингера с перенормированными зарядом и массой вместо слагаемого (1), то есть предположение о классичности электромагнитного поля дает в этом случае принципиально неверный результат. Аналогичное решение с перенормировкой существует и для электрона во внешнем поле — оно рассматривается в теории лэмбовского сдвига для атома водорода [8,9].

Рассмотрим теперь два электрона. Для случая малых, нерелятивистских импульсов можно ввести некое эффективное взаимодействие между ними в уравнение Шредингера. Определить его вид можно по амплитуде взаимного рассеивания — она однозначно связана с взаимодействием. В диаграммной технике Фейнмана ей соответствуют диаграммы с 4-мя внешними электронными линиями. В случае малых импульсов соответствующая амплитуда рассеяния переходит в классическую формулу Резерфорда с учетом обмена [8], то есть взаимодействие между электронами в атоме действительно можно рассматривать, используя кулоновский потенциал.

Таким образом, от неприятных противоречий, вытекающих из интерпретации волновой функции, как обычного поля, без всяких корпускулярных свойств, можно избавиться, если привлечь релятивистскую квантовую теорию. Впрочем, постольку, поскольку рассматривается электромагнитное поле, это вполне логично. Во всяком случае, это намного понятнее, чем пресловутый дуализм и КИ, и близко к точке зрения Эйнштейна. В релятивистской теории становится уже квантованным полем, то есть при заданном x является уже не числом, а оператором. Но все эти результаты были получены примерно через 30 лет после теоретического вычисления спектра атома водорода в рамках нерелятивистской квантовой механики и замечательного совпадения с экспериментом. За эти годы КИ укоренилась в головах и учебниках.

Может возникнуть вопрос: почему же КИ не исчезла из учебников, если без нее так легко сейчас обойтись? Я показал эту статью нескольким знакомым профессорам из разных университетов и обнаружил, что этот предмет их практически не интересует. Для людей, уже глубоко освоивших теоретическую физику он неактуален. Неактуален он и для математиков, работающих в теоретической физике. Крупные ученые вообще перестали интересоваться обучением и распространением знаний в той мере, как это было лет 50 назад. Ландау был последним из великих физиков-теоретиков, кто ставил преподавание и работу с учениками наравне или выше личных результатов, но он не успел освоить новые методы квантовой электродинамики — попал в роковую аварию.

Процесс измерения, значения физической величины и стационарные состояния. Другие проблемы в понимании

Из вероятностной интерпретации (КИ) и процесса измерения, который никак не конкретизируется, вытекает еще одна путаница с вероятностями состояний и значениями какой-либо физической величины F у квантовой частицы. Утверждается, что коэффициенты разложения по собственным функциям есть амплитуды вероятности обнаружения соответствующего собственного значения или, что то же самое, амплитуды вероятности нахождения частицы в соответствующем собственном состоянии. После определения , как функции, дающей полное описание свойств частицы или системы, такой постулат воспринимается с трудом. Примерно, как утверждение, что в бутылке водки с вероятностью 0,4 находится чистый спирт, а с вероятностью 0,6 — чистая вода. Далее, постулируется, что величина — среднее значение F в вероятностном смысле, — оператор, соответствующий F. Отсюда студент делает совершенно неверный вывод, что величина F может принимать только значения из своего спектра, а законы сохранения имеют вероятностный характер. Это совершенно неправильно как с формальной точки зрения, так и с физической. Законы сохранения основных физических величин — энергии, импульса, момента импульса и т.п., имеют куда более фундаментальный характер, чем уравнение Шредингера, так как вытекают из общих свойств пространства-времени. С формальной точки зрения, величина сохраняется (не зависит от времени), если оператор коммутирует с гамильтонианом, т.е. если F — интеграл движения. В таком случае логично считать именно значением величины F в состоянии , иначе придется считать, что, например, энергия сохраняется только в среднем. Тогда значение физической величины F (энергии, импульса, момента импульса) у частицы может быть любым, то есть не обязательно собственным значением оператора .

Наибольший интерес разобранная двухуровневая задача представляет применительно к спину электрона. Пусть имеется электрон в связанном состоянии со спином вдоль оси x. Прикладываем магнитное поле вдоль оси z. Тогда волновая функция электрона может быть записана в виде , где , а и — волновые функции со спином по и против оси z, являющиеся собственными функциями гамильтониана. Если придерживаться КИ, то с вероятностью ½ электрон испустит фотон с энергией . Если отказаться от КИ, в результате испускания получим описанное выше нестационарное состояние моды электромагнитного поля с частотой . Так как всегда предполагается, что частоте соответствует энергия , то по суммарной энергии излучения делается вывод о том, что число испущенных фотонов вдвое меньше числа электронов, то есть половина электронов находилась в состоянии . Если бы в процессе эксперимента можно было отличить нестационарное состояние с половинной энергией от стандартного фотона, то можно было бы дать экспериментальное подтверждение или опровержение КИ. Но, во всяком случае, уравнение Шредингера, написанное для электрона и фотонной моды , к излучению фотона с энергией привести не может — это следует из закона сохранения величины , где оператор — гамильтониан. Для этого необходима загадочная редукция волновой функции.

Отличить нестационарное состояние от стационарного можно было бы по импульсу отдачи электрона. Во втором случае (если отбросить КИ) он в 2 раза меньше. Для локализованного состояния электрона с энергией связи E порядка 10 -1 электрон-вольта вероятность ионизации будет в обоих случаях различной, и порог ионизации по магнитному полю будет отличаться в 2 раза. К сожалению, оценка показывает, что для ионизации нужны слишком сильные магнитные поля 10 11 гс. Такие поля в настоящее время недостижимы.

Можно было бы использовать для экспериментальной проверки свободные электроны, ориентация спина которых задана магнитным полем. Рассмотрим установку, состоящую из камеры со свободными электронами в сильном магнитном поле вдоль оси z. Электроны вылетают из отверстия в камере с магнитным полем, имея спин вдоль оси z, в камеру, где на вращающейся оси расположены 2 одинаковых диска с отверстиями, смещенными на угол φ. Такая установка позволяет получить на выходе параллельный оси x пучок электронов одинаковой энергии. Попадая в область магнитного поля, направленного вдоль оси x, электроны со спинами, ориентированными вдоль оси z, должны начать излучать фотоны частоты либо вышеописанные нестационарные моды той же частоты. При этом импульс отдачи может уменьшить или увеличить скорость электрона. Если скорость электронов в пучке достаточно малая, то появятся электроны, летящие назад, что может быть обнаружено. Это позволило бы провести критическую экспериментальную проверку КИ. К сожалению, при наибольших достижимых сейчас магнитных полях ~ 10 6 Гс импульс отдачи соответствует энергии 3*10 -11 эв или скорости порядка 3 м/с. Достаточно сложно обеспечить такую малую скорость электрона, так как она гораздо меньше тепловой.

Заключение

Полевая интерпретация позволяет вернуть квантовую механику в рамки систематического изложения, принятого в остальных разделах курса теоретической физики. Действительно, все тома курса теоретической физики Ландау и Лифшица построены по единой схеме, с четкой системой понятий и постулатов, и только том 3 опирается на какие-то внешние понятия вроде процесса измерения, классического прибора и т.п., причем сами эти понятия четко не определяются.

Как я уже писал выше, для специалистов этот вопрос, как правило, неактуален. Но для студентов-физиков, осваивающих материал и пытающихся понять физический смысл формул, он очень важен. Особенно сейчас, когда общий интерес к физике упал ниже плинтуса.

Файлы: 1 файл

Теория вероятностей.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математических методов анализа экономики

Студентка 23 группы УЭФ

Доцент Чернышев В.Г

1. Джеймс Клерк Максвелл

2.Кинетическая теория газов. Распределение Максвелла

Понятие вероятности появилось в физике в связи с развитием кинетическ ой теории газов. Когда было установлено, что газ состоит из большого числа движущихся частиц, то возник вопрос о том, с какими скоростями движутся частицы газа — его молекулы.

Английский физик Дж. Максвелл построил первую теорию идеального газа, в которой состояние газа задавалось не положением и скоростью каждой частицы, а функцией распределения — вероятностью найти молекулу с заданной скоростью в заданном месте сосуда. Для того чтобы упростить изложение, предположим, что сосуд разбит на маленькие кубические ячейки с ребром, например, в 1 мм и что нас интересуют не точные координаты молекулы, а лишь то, в какой ячейке она находится. Скорости мы тоже будем задавать не точно, а считая, например, все скорости молекулы, двигающейся здесь вдоль оси ОХ, отличающиеся не более чем на 1 мм/с, одинаковыми. Тогда и скорости представляется возможным задавать ячейками, на которые можно разбить трехмерную диаграмму; по осям ее отложены компоненты скоростей v_x, Vy, v_z, а точка изображает скорость частицы. Если на молекулы газа не действуют никакие силы, например сила тяжести или электрическое поле, то молекула будет одинаково часто бывать в любом месте сосуда. Мы говорим, что вероятность найти молекулу в любой ячейке одна и та же. Обозначим эту вероятность через w,. Очевидно, что сумма w_jtвзятая по всем ячейкам, равна 1, так как вероятность найти молекулу в какой-либо ячейке равна 1. Если в сосуде находится N молекул, то в одной ячейке будет находиться в среднем w_i N молекул, w_t не зависит от номера ячейки; i — плотность газа, постоянная вдоль сосуда.

Совсем иначе выглядит вероятность найти молекулу с заданной скоростью или вероятность найти точку в заданной ячейке на диаграмме скоростей.

Так как энергия газа — Е Джоулей — определена, то, грубо говоря, на каждую молекулу приходится при

Вероятности появляются еще в одном разделе физики — в теории измерений. Никакое измерение не дает абсолютно точного значения измеряемой величины. Точное значение отличается от измеренного, и теория может лишь оценить вероятность того или иного отклонения. Оценка вероятности ошибки из анализа совокупности повторных измерений — важная задача экспериментальной физики.

В таблицах пишут, например, что скорость света равна 2,997924580 (1,2) хЮ 8 м/с; величина в скобках называется стандартным отклонением.

В данном случае из теории вероятности следует, что истинная скорость света не может отличаться от написанной более чем на 1,2 единицы в последнем знаке с вероятностью 68,3%.

Дело в том, что в любом опыте существует большое количество неучтенных факторов. В случае скорости

света такими факторами могут быть непостоянство температуры, неточность в измерении длины волны и т. д., но они могут сказываться лишь в восьмом знаке после запятой. Степень достоверности этого утверждения и оценивается вероятностью.

Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин.

4.Ток смещения. Уравнения Максвелла

В той же статье Максвелл, перейдя к рассмотрению распространения возмущений в своей модели, подметил сходство свойств своей вихревой среды и светоносного эфира Френеля. Это нашло выражение в практическом совпадении скорости распространения возмущений (отношения электромагнитной и электростатической единиц электричества, определённой Вебером и Рудольфом Кольраушем) и скорости света, измеренной Ипполитом Физо ] . Таким образом, Максвелл сделал решительный шаг к построению электромагнитной теории света:

by
MARK KAC
Department of Mathematics,
Cornell University

With Special Lectures
by
G. E. UHLENBECK
Department of Physics,
University of Michigan
A. R. HIВВS
Jet Propulsion Laboratory,
California Institute of Technology ВЕРОЯТНОСТЬ
И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
В ФИЗИКЕ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Р. А. МИНЛОСА

Глава II. Некоторые аналитические средства и приёмы теории вероятностей42

Глава III. Вероятность в некоторых задачах классической статистической механики80

Глава IV. Интегрирование в функциональных пространствах и некоторые приложения193

Примечания и библиография219

Приложение I. Уравнение Больцмана. Г. Е. Уленбек 227

Приложение II. Квантовая механика. А. Р. Гиббс 251

Приложение III. Теория Ван-дер-Ваальса о равновесии между газом и жидкостью. М. Кац , Г. Е. Уленбек , П. К. Хеммер 271

Часть I. Изучение одномерной модели271

Часть II. Изучение функций распределения307

Часть III. Исследование критической области355

Добавление переводчика. Краткие сведения о теории фазовых переходов в классической статистической физике396 Указатель 405

Одно замечание относительно содержания книги. Несмотря на то что она очень фрагментарна и состоит из большого числа искусно расположенных этюдов, в ней центральное место занимает третья глава. Здесь сделана далеко идущая попытка ввести читателя в круг вопросов, связанных с кинетическими уравнениями. Автор следует в этой главе своей основной тенденции (впрочем, вполне совпадающей с общим замыслом книги) дать статистическое истолкование кинетическим уравнениям и тем необратимым процессам, которые ими описываются. В связи с этим здесь почти отсутствует упоминание о других аспектах и подходах к этой проблеме. Этот пробел, правда частично, восполняется лекцией Г. Е. Уленбека, помещённой в приложениях к книге. Но следует иметь в виду, что книга написана около пяти лет назад, а за последнее время в этой области появилось много интересных работ.

В конце книги добавлено приложение, которого не было в оригинальном издании. Это цикл недавних статей М. Каца, Г. Уленбека и П. Хеммера, где подробно разбирается одна модель фазового перехода.

В третьей главе, а также в лекции Уленбека трактуются вопросы неравновесной статистической механики каким образом большая система, исходя из произвольного состояния, приходит к равновесию. Однако уже в равновесной статистической механике существует очень важная нерешённая задача задача о фазовом переходе. В настоящее время в классической статистической механике имеется лишь одна модель (двумерная и трёхмерная решётки Изинга), в которой строго установлено существование фазового перехода. Непрерывной же модели (модели газа) фазового перехода ещё нет, не говоря уже о том, что отсутствует описание тех систем, где такой переход возможен.

В помещённом нами цикле статей строится модель одномерного газа с очень малым и очень дальнодействующим притяжением, в которой обнаруживается фазовый переход. Хотя этот случай и не улавливает всех трудностей истинной трёхмерной задачи, эти работы очень интересны. К этим статьям мною написано небольшое добавление, где кратко изложены необходимые сведения о проблеме конденсации. Читателю, мало знакомому с вопросом, лучше начать с этого добавления.

Эта книга представляет собой первый том трудов летнего семинара по прикладной математике, организованного Американским математическим обществом и проходившего в Колорадском университете в течение четырёх недель с 23 июня 1957 г.

Цель этого семинара состояла в том, чтобы ознакомить квалифицированных математиков с современным состоянием нескольких областей прикладной математики и поставить перед ними ряд важных и интересных задач, которые до сих пор не решены. Такой семинар можно рассматривать как попытку содействовать развитию сотрудничества между математиками и физиками. Труды семинара публикуются для того, чтобы информация, приобретённая участниками семинара, стала доступной значительно более широкому научному кругу. В то же время эти книги могут служить справочником для тех, кто слушал лекции.

Программа семинара была разработана организационным комитетом Американского математического общества в составе П. Гарабедяна, А. Хаусхолдера, М. Каца, Р. Ленгера, Линь В. Прагера, Дж. Стокера и М. Мартина (председатель).

Подготовка семинара (составление программ заседаний, организация отдыха участников) была осуществлена комитетом Отделения прикладной математики Колорадского университета в составе Бриттона, Бен Крига, Рутланда, Снивли, Шталя, Хатчинсона (председатель).

Неисчерпаемая энергия и энтузиазм председателя и других сотрудников университета внесли неизмеримый вклад в успешное осуществление планов семинара.

Эта книга расширенное изложение двенадцати лекций, прочитанных на семинаре по прикладной математике в Колорадском университете летом 1957 года.

Как и лекции, книга представляет собой введение в теорию вероятностей и предназначена для квалифицированного читателя, не имеющего почти никаких предварительных сведений о предмете.

Это не означает, что она может служить учебником; для этого она слишком фрагментарна и, возможно, слишком сильно отражает вкусы, наклонности и предубеждения автора. По сути дела, это скорее обзор некоторых собственных его исследований и точек зрения.

В теории вероятностей автора больше всего привлекает необычайное разнообразие её применений. Немногие математические дисциплины имеют такой широкий диапазон приложений от теории чисел до физики; ещё меньше среди них тех, которые столь решительно проникают во всё наше научное мышление.

Отразить эту многогранность теории вероятностей и показать широту её применений в этом и заключается цель книги. Чтобы добиться этого, мы сосредоточили основное внимание в нашем изложении на ряде отдельных примеров и задач, не делая при этом никаких серьёзных попыток вложить их в общие схемы или теории.

Помимо того, что такой стиль изложения весьма свойствен автору, он кажется нам наиболее ярким, во всяком случае в педагогическом отношении.

Стремление к общности и абстрактности в курсе лекций, призванных служить введением в новую область, выглядело бы, мягко говоря, глупо. Это могло бы привести к искажённой картине, где все побудительные мотивы были бы скрыты; да и, кроме того, чтобы спасти изложение от смертельной скуки, от автора потребовался бы литературный талант, далёкий от его возможностей.

Книга делится на четыре главы. В первой (теоретико-вероятностный способ рассуждений) показывается, каким образом вероятностные понятия возникают при исследовании различных задач и насколько они бывают плодотворны.

Во второй главе (аналитические средства и приёмы теории вероятностей) мы прежде всего хотели показать, как подступаются к этим задачам и как их решают. При этом мы получили возможность обсудить на ряде примеров вопрос о роли переформулировок одного и того же утверждения и выявить столь свойственную теории вероятностей связь между комбинаторным и аналитическим аспектами.

Вторая лекция Уленбека подводит читателя к границе наших сегодняшних знаний и ставит его перед обширной областью, где возможности дальнейших открытий почти неограниченны.

Однако я обязан Уленбеку значительно большим. Почти вся третья глава написана под прямым или косвенным влиянием наших с ним бесед и переписки, длившихся в течение почти пятилетней дружбы и научного сотрудничества. И удовольствие, с которым я приношу ему благодарность, заставляет меня полностью забыть те муки, с которыми я писал и переписывал эту главу.

В четвёртой главе (интегрирование в функциональных пространствах) излагается действительно новый способ исследования задач классического анализа и физики. Эти фундаментальные идеи были выдвинуты в начале двадцатых годов Н. Винером и с несколько другой точки зрения Р. Фейнманом в 1942 г. Наши собственные исследования возникли под сильным влиянием работ Фейнмана, хотя в чисто математическом плане мы опирались на строго установленные свойства меры Винера в пространстве непрерывных функций.

Подход Фейнмана к нерелятивистской квантовой механике настолько изящен и нагляден, что мы просили доктора А. Р. Гиббса прочитать специальную лекцию (приложение II), чтобы ознакомить семинар с этим методом. Мы крайне признательны А. Р. Гиббсу за помощь. Читатель может подождать появления книги Фейнмана и Гиббса, целиком посвящённой этому важному и захватывающему предмету.

Со своей стороны мы в четвёртой главе сосредоточили внимание на выявлении возможностей интегрирования в функциональных пространствах как метода решения задач, не имеющих на первый взгляд ничего общего с вероятностями или мерой в функциональном пространстве.

За последние годы появилось много статей различных авторов, касающихся некоторых вероятностных аспектов теории потенциала и смежных задач. Эти статьи следуют другому пути: авторы стремятся главным образом к окончательной общности вероятностного истолкования, а не к использованию вероятностных методов как руководства к открытию, пониманию и доказательству определённых фактов из анализа и физики.

Хотя в узком техническом смысле наши результаты являются, может быть, частными случаями некоторых более поздних и общих теорий, мы предпочитаем вычисления и формулы словесным доводам, основанным на тонком (но утомительном) использовании теории меры; потеря же общности с избытком вознаграждается ясностью и конкретностью.

Многие друзья и коллеги всячески помогали мне в работе над книгой. А. Иоффе помогал в составлении первоначальных мимеографических записей; Дж. Риордан значительно помог мне советами и с выдержкой и тактом исправлял мои погрешности в английском языке. Наибольшую благодарность я приношу Г. Кестену, который критически просмотрел большую часть рукописи и исправил там потрясающее количество ошибок.

Я особенно благодарен участникам встречи в Боулдере, чьё неизменное внимание и неиссякаемый интерес к предмету служили для меня постоянно ободряющим источником, и, наконец но не в последнюю очередь, я благодарю сотрудников издательства Interscience Publishers за их замечательное содействие.

Итака, Нью-Йорк

Марк Кац

1. Что превратило теорию вероятностей в особую науку?

Она, несомненно, является ветвью анализа и в узком смысле ветвью теории меры. В своей наиболее рудиментарной (и часто наиболее трудной!) части она связана с комбинаторикой.

Однако всё это далеко не исчерпывает содержания теории вероятностей, и вряд ли возможно определить её точное место и границы.

Поэтому мы не будем даже пытаться установить, что такое теория вероятностей. Вместо этого мы покажем, что можно из неё извлечь.

Чтобы облегчить изложение, мы предлагаем очень общую (и, следовательно, почти тривиальную!) схему, которая встречается во всех теоретико-вероятностных рассуждениях.

μ( S ) = 1, μ( Æ ) = 0

Последний постулат не является общепринятым, но мы не станем здесь это обсуждать.

Само собой разумеется, что первоначальное задание меры (вероятности) на элементарных множествах (событиях) должно быть согласовано с перечисленными правилами.

Выбор множества S , так же как и выбор в нём семейства элементарных событий и задание меры, зависит каждый раз от условий рассматриваемой задачи.

Теперь мы хотим на ряде примеров проиллюстрировать способ рассуждений, принятый в теории вероятностей.

Есть три группы событий: достоверные, невозможные и случайные. Часть из них можно объяснить при помощи математики и других точных наук. В этом материале расскажем про теорию вероятностей, рассмотрим формулы и примеры решения задач.

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B₁,2 = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃. и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Читайте также: