Тождество эйлера смысл кратко

Обновлено: 05.07.2024

Изучать свойства комплексных чисел математики начали примерно с середины XVIII века. Однажды Эйлер развлекался с женой Тейлора… ох, простите… с рядом Тейлора. Ряд Тейлора:

Этому сумасброду просто стало интересно, как будет вести себя ряд Тейлора, если подставить в него число i (а что, вполне нормальная мысль для любого сумасброда).

И вот что у него начало получаться:

Но i² = -1 (Ух! Меня уже начинает охватывать научный азарт!) Сгруппируем все члены ряда, содержащие i.

Догадываетесь, что будет дальше? Одни члены ряда, содержащие i, сводятся в одну группу, а другие, не содержащие мнимую часть, то есть без числа i, — в другую. Получаются два ряда Тейлора: один — для косинуса, другой — для синуса.

Мы получили знаменитую формулу Эйлера. Различные значения x и e^(ix) можно отразить на комплексной плоскости. Например,

Это комплексное число, которое может быть представлено на комплексной плоскости. Если продолжить наносить на график точки e^(ix) для разных значений x, получится окружность.

Формула Эйлера. Источник: Wikimedia Commons

Если нужно узнать радиус r в любой точке (например, в точке 5 + 7i), рассчитывается значение x и берётся действительная часть re^(ix). Наконец, если в формулу Эйлера подставить значение x = π, получаем:

(поскольку cos π = −1 и sin π = 0).

Объединив три самых необыкновенных математических символа, получаем магическое уравнение:

Вот оно перед вами — по мнению математиков, самое красивое уравнение во всей математике. Оно называется Тождеством Эйлера.

Приходите на курс

Экспоненциальная функция e z может быть определена как предел последовательности (1 + z/N) N , при N стремящемуся к бесконечности, и поэтому e iπ есть предел (1 + iπ/N) N . На этой анимации N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100.

Тождество Эйлера — известное тождество, связывающее пять фундаментальных математических констант:

$e^ + 1 = 0, \,\!$

— число е, или основание натурального логарифма, — мнимая единица, — пи, отношение длины окружности к длине ее диаметра, — единица, нейтральный элемент по операции умножения, — ноль, нейтральный элемент по операции сложения.

Тождество Эйлера иногда называют уравнением Эйлера.

История

$\pi$

Формула Эйлера, из которой сразу следует данное тождество, была опубликовано Эйлером в 1740 году. Тождество произвело глубокое впечатление на научный мир. Были даже попытки мистически истолковать его как символ единства математики: числа 0 и 1 относятся к арифметике, мнимая единица — к алгебре, число — к геометрии, а число e — к математическому анализу [1] .

Вывод

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

$e^<ix> = \cos x + i \sin x \,\!$

для любого вещественного . (Заметим, что аргументы тригонометрических функций и взяты в радианах). В частности

$e^ = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!$

$\cos \pi = -1 \, \!$

$\sin \pi = 0,\,\!$

$e^ = -1,\,\!$

что дает тождество:

$e^ +1 = 0.\,\!$

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Тождество Эйлера (комплексный анализ)" в других словарях:

Тождество восьми квадратов — Тождество восьми квадратов математическая теорема о том, что произведение сумм восьми квадратов является суммой восьми квадратов. Действительно … Википедия

Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 … Википедия

Интеграл Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

Эйлеров интеграл — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

Эйлеровы интегралы — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 Тождества 5 … Википедия

Тау (2π) — График окружности с обозначенной на нём буквой тау Тау (τ) математическая константа, выражающая соотношение длины окружности к радиусу. Число тау равно 2π (примерно 6.283185…). Обозначается девятнадцатой буквой греч … Википедия

Эйлер, Леонард — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Эйлер. Леонард Эйлер Leonhard Euler … Википедия

Л. Эйлер — Леонард Эйлер Leonhard Euler Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном Дата рождения: 4 (15) апреля 1707 Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: 7 (18) сентября … Википедия

Эйлер Леонард — Леонард Эйлер Leonhard Euler Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном Дата рождения: 4 (15) апреля 1707 Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: 7 (18) сентября … Википедия

В математике , тождество Эйлера является отношением между несколькими фундаментальными константами и с использованием трех арифметических операций сложения , умножения и возведения в степень :

Он назван в честь математика Леонарда Эйлера, который представил его во введении , опубликованном в Лозанне в 1748 году . До того, как ее процитировал Эйлер, эта формула была известна английскому математику Роджеру Котсу , который умер в 1716 году.

Резюме

Демонстрация

Путем комплексного анализа

Так как совы π = -1 и грех π = 0 , то эта формула является частным случаем х = π из формулы Эйлера в комплексном анализе (для любого вещественного числа х , е я х = соз х + я грех х ).

Это также частный случай n = 2 нулевой суммы корней n-й степени единицы .

По геометрии

Сопоставление 8 прямоугольных треугольников

Сопоставление 16 прямоугольных треугольников

Геометрическая интерпретация, которая обеспечивает демонстрацию дорожки последовательностью, основана на сопоставлении прямоугольных треугольников .

однако при комплексном умножении, приводящем к поворотам, координатная точка получается путем сопоставления N прямоугольных треугольников. ( 1 + я π НЕТ ) НЕТ \ pi> > \ right) ^ >

Математическая красота

Тождество Эйлера часто называют примером математической красоты .

Фактически, в дополнение к равенству, здесь используются три основных арифметических операции, каждая единожды: сложение , умножение и возведение в степень . Идентичность также включает пять фундаментальных математических констант :

0 , нейтральный элемент сложения.
1 , нейтральный элемент умножения.
π , повсеместно используется в тригонометрии , геометрии в евклидовом пространстве и математическом анализе ( π = 3,14159265 . )
e , основание логарифмов, которое часто встречается в анализе, дифференциальном исчислении и финансовой математике ( e = 2,718281828 . ). Как и π , это трансцендентное число .
i , мнимая единица в основе комплексных чисел , которая позволила изучить разрешение полиномиальных уравнений до того, как их использование расширилось.

Перечень этих различных элементов лучше демонстрирует обратная польская запись формулы Эйлера:

0; 1; е ; я ; π; *; ^; +; знак равно

Более того, в этой форме идентичность записывается как выражение, равное нулю, что является обычной практикой в математике.

Дань уважения

Когда Бенджамину Пирсу была раскрыта личность Эйлера , он заявил: «Джентльмены, это, конечно, правда, это абсолютно парадоксально; мы не можем этого понять, и мы не знаем, что это означает, но мы доказали это, и поэтому мы знаем, что это должна быть правда. " .

Идентичность Эйлера также появляется в романе экономка и профессора из Йоко Огава .

История

Английский математик Роджер Котс (умер в 1716 году, когда Эйлеру было всего 9 лет) знал эту личность. Эйлер мог узнать о его существовании от своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли .

Ученые, заложившие основание науки, не видели в этом проблемы. Для них все было очевидно. Бог – Творец всего сущего. Он разумен, и потому Его законы рациональны. И то, что природные явления связаны между собой четкими и изящными математическими соотношениями, воспринималось как очевидное свидетельство разумного замысла в Его творении.

Таким образом, в приведенной формуле два трансцендентных и одно мнимое число оказываются связанными друг с другом простым и изящным соотношением . Человеческому разуму создать такое явно не под силу! Эйлер лишь открыл это соотношение, но составлено он было явно Кем-то, Чей интеллект неимоверно превышает человеческие способности.

Читайте также: