Теорема штейнера доказательство кратко

Обновлено: 02.07.2024

В Теорема Штейнера, также известный как теорема о параллельных осях, позволяет оценить момент инерции вытянутого тела вокруг оси, параллельной другой оси, проходящей через центр масс объекта.

Он был открыт швейцарским математиком Якобом Штайнером (1796–1863) и утверждает следующее: пусть я_СМ момент инерции объекта относительно оси, проходящей через его центр масс CM и I_z момент инерции относительно другой параллельной ей оси.

Зная расстояние D, разделяющее обе оси, и массу M рассматриваемого тела, момент инерции относительно неизвестной оси равен:

Момент инерции показывает, насколько легко объект вращается вокруг определенной оси. Это зависит не только от массы тела, но и от того, как она распределена. По этой причине он также известен как инерция вращения, являясь его единицами в Международной системе Kg. м 2 .

Теорема показывает, что момент инерции я_z всегда больше момента инерции я_СМ в сумме, предоставленной Доктор медицины 2 .

Приложения

Поскольку объект способен вращаться вокруг множества осей, а в таблицах обычно указывается только момент инерции относительно оси, проходящей через центроид, теорема Штейнера упрощает расчет, когда необходимо вращать тела по осям. которые не соответствуют этому.

Например, дверь обычно вращается не вокруг оси, проходящей через ее центр масс, а вокруг боковой оси, к которой примыкают петли.

Зная момент инерции, можно вычислить кинетическую энергию, связанную с вращением вокруг указанной оси. да K кинетическая энергия, я момент инерции вокруг рассматриваемой оси и ω угловой скорости, выполняется следующее:

Это уравнение очень похоже на очень знакомую формулу кинетической энергии для объекта массы. M движется со скоростью v: K = ½ M.v 2 . И это то, что момент инерции или инерции вращения я играет во вращении ту же роль, что и масса M в переводе.

Доказательство теоремы Штейнера

Момент инерции протяженного объекта определяется как:

кудадм бесконечно малая часть массы и р это расстояние между дм и ось вращения z. На рисунке 2 эта ось проходит через центр масс CM, но он может быть любым.

Вокруг другой осиz ’, момент инерции равен:

Теперь согласно треугольнику, образованному векторами D, р Y р ' (см. рисунок 2 справа) есть векторная сумма:

р + р ' = D → р ' = D – р

Три вектора лежат в плоскости объекта, который может бытьху. Начало системы координат (0,0) выбирается в CM, чтобы облегчить последующие вычисления.

Таким образом, квадрат модуля вектора р ' это:

Теперь эта развертка подставляется в интеграл момента инерции I_zа также используется определение плотности dm = ρ.dV:

Термин M. D 2 которое появляется в теореме Штейнера, происходит от первого интеграла, второй - это момент инерции относительно оси, проходящей через CM.

С другой стороны, третий и четвертый интегралы имеют значение 0, так как по определению они составляют позицию CM, которая была выбрана в качестве начала системы координат (0,0).

Решенные упражнения

-Решенное упражнение 1

Прямоугольная дверь на рисунке 1 имеет массу 23 кг, ширину 1,30 и высоту 2,10 м. Определите момент инерции двери по отношению к оси, проходящей через петли, при условии, что дверь тонкая и однородная.

Решение

Из таблицы моментов инерции для прямоугольной пластины массы M и размеров к Y б, момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс, равен: I_СМ = (1/ 12)M(к 2 + б 2 ).

Предполагается однородный вентиль (приблизительное значение, поскольку вентиль на рисунке, вероятно, не является таким). В таком случае центр масс проходит через его геометрический центр. На рисунке 3 проведена ось, проходящая через центр масс и параллельная оси, проходящей через шарниры.

я_СМ = (1/12) x 23 кг x (1,30 2 +2.10 2 ) м 2 = 11,7 кг / м 2

Применяя теорему Штейнера для зеленой оси вращения:

Я = Я_СМ + MD 2 = 11,7 кг / м 2 + 23 кг x 0,652 м 2 = 21,4 кг.

-Решенное упражнение 2

Найдите момент инерции однородного тонкого стержня при его вращении вокруг оси, проходящей через один из его концов, см. Рисунок. Он больше или меньше момента инерции при вращении вокруг своего центра? Зачем?

Решение

Согласно таблице моментов инерции момент инерции я_СМ тонкого тестового прутка M и длина L это:я_СМ = (1/12) мл 2

И теорема Штейнера утверждает, что когда он вращается вокруг оси, проходящей через один конец D = L / 2, он остается:

Я = Я_СМ + MD 2 = (1/12) мл 2 + M (L / 2) 2 = (1/3) мл 2

Он больше, но не просто вдвое, а в 4 раза больше, так как другая половина стержня (не заштрихованная на рисунке) вращается, описывая больший радиус.

Влияние расстояния до оси вращения не линейное, а квадратичное. Масса, которая вдвое больше, чем другая, будет иметь момент инерции, пропорциональный (2D) 2 = 4D 2 .

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (теорема Гюйгенса, теорема Штейнера): момент инерции J тела относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела J C > относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: J = J C + m d 2 , +md^,> где J — искомый момент инерции относительно параллельной оси, J C > — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, m — масса тела, d — расстояние между указанными осями. Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса.
Go to Article

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса.

Содержание

Вывод

Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек [2] .

По определению центра масс, для его радиус-вектора r c _> выполняется

Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма ∑ i = 1 n m i r i ^m_\mathbf _> .

откуда и следует искомая формула:

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню (назовём её осью C ) равен

Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

This article uses material from the Wikipedia article "Теорема Гюйгенса — Штейнера", which is released under the Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0. There is a list of all authors in Wikipedia

Читайте также: