Теорема ролля доказательство кратко

Обновлено: 05.07.2024

5.5 Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Пусть функция $f$ определена на интервале $\left ( a, b \right ) $ и в некоторой точке $x_0 \in \left ( a, b \right ) $ принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом интервале. Если существует $’\left ( x_0\right ) $, то $’\left ( x_0\right ) =0$.

Пусть $x_0$ – точка максимума функции $f$. Рассмотрим разностное отношение $\displaystyle\frac$. Так как $f\left ( x\right ) \leqslant f\left ( x_0\right ) $, то при $x \gt x_0$ имеем $\displaystyle\frac \leqslant 0$ и, следовательно, $’\left ( x_0\right ) \leqslant 0$. Если же $x \lt x_0$, то $\displaystyle\frac \geqslant 0$ и поэтому $’\left ( x_0\right ) \geqslant 0$. Но из дифференцируемости функции $f$ в точке $x_0$ следует, что $’\left ( x_0\right ) =’\left ( x_0\right ) =’\left ( x_0\right ) $. Поэтому $’\left ( x_0\right ) =0$.

С геометрической точки зрения теорема Ферма означает, что если в точке экстремума у графика функции существует касательная, то она параллельна оси $Ox$.

Замечание. У функции $f= \left | x \right |, \left ( -1 \lt x \lt 1\right ) $ в точке $x_0=0$ имеется экстремум, но производной в нуле эта функция не имеет. Теорема Ферма означает, что для поиска экстремума функции $f$ во внутренних точках области определения следует исследовать поведение функции $f$ лишь в тех точках, в которых производная обращается в нуль, либо не существует. Экстремума не может быть в тех точках, в которых производная существует и отлична от нуля. Однако из равенства нулю производной в точке $x_0$ не следует, что $x_0$ – точка экстремума. Например, у функции $f\left ( x\right ) =x^3$ в точке $x_0=0$ экстремума нет и в то же время $’\left ( x_0\right ) =0$.

Определение. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Теорема Ролля. Пусть функция $f$

$f\left ( a\right ) =f\left ( b\right ) $.

Тогда существует такая точка $\xi \in \left ( a, b\right ) $, что $’\left ( \xi\right ) =0$.

Так как $f$ непрерывна на $\left [a, b\right ] $, то, в силу второй теоремы Вейерштрасса, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т. е. существуют точки $\xi_1, \xi_2$, такие, что $f\left ( \xi_1\right ) = \max\limits_ f\left ( x\right ) $, $f\left ( \xi_2\right ) = \min\limits_ f\left ( x\right ) $. Если $f\left ( \xi_1\right ) =f\left ( \xi_2\right ) $, то это означает, что $f$ тождественно постоянна на $\left [a, b\right ] $ и, следовательно, в каждой точке $\xi \in \left ( a, b\right ) $ справедливо равенство $’\left ( \xi\right ) =0$. Если же $f\left ( \xi_1\right ) \gt f\left ( \xi_2\right ) $, то хотя бы одно из этих двух значений отлично от $f\left ( a\right ) =f\left ( b\right ) $, т. е. хотя бы одна из двух точек $\xi_1, \xi_2$ находится на интервале $\left ( a, b\right ) $. Обозначим ее через $\xi$. Тогда на $\left ( a, b\right ) $ к функции $f$ можно применить теорему Ферма. Именно, $f$ дифференцируема в точке $\xi$ и имеет в этой точке экстремум. Согласно теореме Ферма, $’\left ( \xi\right ) =0$.

Следствие. Между двумя корнями дифференцируемой функции находится корень производной.

Пример. Уравнение нечетной степени $x^5+x-1=0$ имеет действительный корень. Покажем, что он единственный. Обозначим $y=x^5+x-1$. Тогда $’=5x^4+1 \gt 0$ для всех $x \in \mathbb$. Если бы данное уравнение имело еще хотя бы один корень, то, согласно следствию, нашлась бы точка, в которой производная $’$ обратилась бы в нуль, а это невозможно.

Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция $f$

на отрезке $\left [a, b\right ] $; на интервале $\left ( a, b\right ) $.

Тогда существует такая точка $\xi \in \left ( a, b\right ) $, что
$$\frac=’\left ( \xi\right ) .$$

Доказательство теоремы Лагранжа сводится к применению теоремы Ролля. Запишем уравнение прямой $l$, проходящей через точки $\left ( a, f\left ( a\right ) \right ) $ и $\left ( b, f\left ( b\right ) \right ) $:
$$l\left ( x\right ) =f\left ( a\right ) +\frac\left ( x-a\right ) .$$
Рассмотрим функцию $F\left ( x\right ) =f\left ( x\right ) -l\left ( x\right ) $. Покажем, что для функции $F$ выполнены все условия теоремы Ролля. Непрерывность на $\left [a, b\right ] $ и дифференцируемость на $\left ( a, b\right ) $ функции $F$ следует из соответствующих свойств функции $f$, данных по условию, и дифференцируемости линейной функции $l$. Далее, $F\left ( a\right ) =f\left ( a\right ) -l\left ( a\right ) =0, F\left ( b\right ) =f\left ( b\right ) -l\left ( b\right ) =0$ Применяя к $F$ теорему Ролля, найдем такую точку $\xi \in \left ( a, b\right ) $, что $’\left ( \xi\right ) =0$. Но
$$’\left ( \xi\right ) =’\left ( \xi\right ) -’\left ( \xi\right ) =’\left ( \xi\right ) -\frac=0.$$
Отсюда следует утверждение теоремы.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что существует точка $\xi \in \left ( a, b\right ) $, в которой касательная к графику функции $y=f\left ( x\right ) $ параллельна отрезку, соединяющему точки $\left ( a, f\left ( a\right ) \right ) $ и $\left ( b, f\left ( b\right ) \right ) $.

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, в котором $f\left ( a\right ) =f\left ( b\right ) $.

Равенство, полученное в теореме Лагранжа, можно переписать в таком виде:
$$f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) =’\left ( \xi\right ) \left ( b-a\right ) ,$$
или
$$f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) =’\left ( a+\theta\left ( b-a\right ) \right ) \left ( b-a\right ) ,$$
где $0 \lt \theta \lt 1$. Ничего более конкретного о значении $\theta$ сказать нельзя. Два последних равенства принято называть формулами конечных приращений.

Следствие 1. Пусть функция $f$ на интервале $\left ( a, b\right ) $ имеет ограниченную производную. Тогда $f$ равномерно непрерывна на $\left ( a, b\right ) $.

Пусть $\left | ’\left ( \xi\right ) \right | \leqslant M \left ( \xi \in \left ( a, b\right ) \right ) $. Тогда для любых $x_1, x_2 \in \left ( a, b\right ) $, согласно формуле конечных приращений,
$$\begin\label \left | f\left ( x_1\right ) -f\left ( x_2\right ) \right | = \left | ’\left ( \xi\right ) \right | \cdot \left | x_1-x_2 \right | \leqslant M \left | x_1-x_2 \right |,\end$$
где $\xi$ – точка из интервала с концами $x_1$ и $x_2$. Зададим $\varepsilon \gt 0$ и положим $\delta=\displaystyle\frac$. Тогда для любых $x_1, x_2 \in \left ( a, b\right ) $ из неравенства $\left | x_1-x_2 \right | \lt \delta$ и из $\left ( 1\right ) $ следует, что $\left | f\left ( x_1\right ) -f\left ( x_2\right ) \right | \lt \varepsilon$, т. е. функция $f$ равномерно непрерывна на $\left ( a, b\right ) $.

Итак, следствие 1 дает достаточное условие равномерной непрерывности дифференцируемой на $\left ( a, b\right ) $ функции. Оно состоит в ограниченности производной на $\left ( a, b\right ) $. Это условие, однако, не является необходимым, т. е. из равномерной непрерывности не следует ограниченность производной. Например, функция $f\left ( x\right ) =\sqrt x$ равномерно непрерывна на отрезке $\left [0, 1\right ] $ (это сразу следует из ее непрерывности и из теоремы Кантора), а следовательно, эта функция равномерно непрерывна и на интервале $\left ( 0, 1\right ) $. В то же время производная $’\left ( x\right ) =\displaystyle\frac$ не ограничена на $\left ( 0, 1\right ) $.

Рассмотрим еще один важный пример функции
$$f\left ( x\right ) = \left \ < \beginx^ \alpha \sin \displaystyle\frac, & 0 \lt x \leqslant 1, \\ 0, & x=0. \end \right.$$
Эта функция непрерывна в каждой точке полуинтервала $\left ( 0, 1\right ] $ ( при любом $\alpha$). Если $\alpha \leqslant 0$, то $f$ не имеет предела справа в точке $0$ и, следовательно, в точке $0$ имеет разрыв $II$ рода. Если же $\alpha \gt 0$, то $\lim\limits_ x^ \alpha \sin \displaystyle\frac=0$ (произведение бесконечно малой функции $x^ \alpha$ на ограниченную функцию $\sin \displaystyle\frac$). Значит, в силу теоремы Кантора, при $\alpha \gt 0$ функция $f$ равномерно непрерывна на $\left [0, 1\right ] $. Вычислим производную
$$’\left ( x\right ) =\alpha \cdot x^ \sin \frac + x^ \alpha \cos \frac \cdot \left ( — \frac\right ) \ \ \ \ \left ( 0 \lt x \leqslant 1\right ) .$$
При $0 \lt \alpha \lt 2$ производная $’\left ( x\right ) $ неограничена на $\left ( 0, 1\right ] $, хотя $f$ равномерно непрерывна на $\left [0, 1\right ] $. Вычислим
$$’\left ( 0\right ) = \lim\limits_ \frac=\lim\limits_ x^ \sin \frac.$$
Если $\alpha \gt 1$ то, очевидно, $’\left ( 0\right ) =0$. Если же $\alpha \leqslant 1$ то правой производной в нуле функция $f$ не имеет.
Очевидно, что у тождественно постоянной на $\left ( a, b\right ) $ функции производная равна нулю в каждой точке $\xi \in \left ( a, b\right ) $. Формула Лагранжа позволяет легко обратить это утверждение.

Следствие 2. Если дифференцируемая на $\left ( a, b\right ) $ функция $f$ такова, что для любой $\xi \in \left ( a, b\right ) $ производная $’\left ( \xi\right ) =0$, то $f$ тождественно постоянна на $\left ( a, b\right ) $.

Выберем произвольные $x_1, x_2 \in \left ( a, b\right ) \ \ \left ( x_1 \lt x_2\right ) $ и применим к отрезку $\left [x_1, x_2\right ] $ теорему Лагранжа, из которой получим
$$f\left ( x_2\right ) -f\left ( x_1\right ) =’\left ( \xi\right ) \left ( x_2-x_1\right ) ,\ \ где \ \ x_1 \lt \xi \lt x_2.$$
Но из равенства $’\left ( \xi\right ) =0$ следует теперь, что $f\left ( x_1\right ) =f\left ( x_2\right ) $, а так как $x_1, x_2$ – произвольные, то тем самым следствие доказано.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений). Пусть функции $f$ и $g$

$’\left ( x\right ) \neq 0$ для всех $x \in \left ( a, b\right ) $.

Тогда существует такая точка $\xi \in \left ( a, b\right ) $, что справедливо равенство
$$\frac=\frac’\left ( \xi\right ) >’\left ( \xi\right ) >.$$

Из условий теоремы следует, что $g\left ( b\right ) \neq g\left ( a\right ) $. В самом деле, если $g\left ( b\right ) = g\left ( a\right ) $, то, в силу теоремы Ролля, найдется точка $x \in \left ( a, b\right ) $, такая, что $’\left ( x\right ) =0$ а это противоречит условию теоремы.
Доказательство теоремы Коши, как и доказательство теоремы Лагранжа, сводится к применению теоремы Ролля. Рассмотрим функцию
$$\varphi\left ( x\right ) = \left [f\left ( x\right ) -f\left ( a\right ) \right ] — \lambda \left [g\left ( x\right ) -g\left ( a\right ) \right ] ,$$
где параметр $\lambda$ подберем так, чтобы было выполнено равенство $\varphi\left ( a\right ) =\varphi\left ( b\right ) =0$, т. е. положим
$$\lambda=\frac.$$
Тогда функция $\varphi$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, согласно которой существует точка $\xi \in \left ( a, b\right ) $, такая, что $’\left ( \xi\right ) =0$, т. е.
$$’\left ( \xi\right ) =’\left ( \xi\right ) -\frac \cdot ’\left ( \xi\right ) =0,$$
откуда следует утверждение теоремы Коши.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при $g\left ( x\right ) =x$. Однако теорема Коши не есть прямым следствием теоремы Лагранжа. Именно, согласно теореме Лагранжа, найдутся такие точки $\xi_1 \in \left ( a, b\right ) $ и $\xi_2 \in \left ( a, b\right ) $, что $f\left ( b\right ) -f\left ( a\right ) =’\left ( \xi_1\right ) \left ( b-a\right ) $ и $g\left ( b\right ) -g\left ( a\right ) =’\left ( \xi_2\right ) \left ( b-a\right ) $, откуда получим
$$\frac=\frac<’\left ( \xi_1\right ) ><’\left ( \xi_2\right ) >.$$
Но в этом равенстве точки $\xi_1$ и $\xi_2$ вообще говоря, разные, а теорема Коши утверждает, что левая часть равна отношению производных, взятых в одной и той же точке из $\left ( a, b\right ) $.

Определение. Говорят, что функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left [a, b\right ] $, если она дифференцируема на интервале $\left ( a, b\right ) $, а в точках $a$ и $b$ имеет производные справа и слева, соответственно.

Выше мы рассмотрели пример функции $f\left ( x\right ) =x^ \sin \displaystyle\frac, 0 \lt x \leqslant 1, f\left ( 0\right ) =0$, дифференцируемой на $\left [0, 1\right ] $, но производная $’$ у которой при $1 \lt \alpha \leqslant 2$ разрывна. При этом, как мы видели, $’\left ( 0\right ) =0$, но $’$ не имеет предела при $x \to 0+$. Это означает, что точка $0$ является точкой разрыва производной $II$ рода. Зададимся вопросом: может ли производная некоторой функции иметь разрыв первого рода? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема Дарбу. Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left [a, b\right ] $ и $c$ – любое число, заключенное между $’\left ( a\right ) $ и $’\left ( b\right ) $. Тогда существует такая точка $\xi \in \left [a, b\right ] $, что $’\left ( \xi\right ) =c$.

Пусть $’\left ( a\right ) \lt c \lt ’\left ( b\right ) $. Так как $$’\left ( a\right ) = \lim\limits_ \frac,$$ $$’\left ( b\right ) = \lim\limits_ \frac=\lim\limits_ \frac,$$ то найдется такое $h \gt 0$, что
$$\begin\label \frac \lt c \lt \frac.\end$$
Зафиксируем это $h$ и рассмотрим функцию $\varphi\left ( x\right ) =\displaystyle\frac$, определенную на $\left [a, b-h\right ] $. В этих обозначениях неравенство $\left ( 2\right ) $ принимает такой вид: $\varphi\left ( a\right ) \lt c \lt \varphi\left ( b-h\right ) $. Но из непрерывности функции $f$ следует также непрерывность $\varphi$, и поэтому, в силу теоремы Больцано – Коши о промежуточном значении, существует такая точка $\alpha, a \leqslant \alpha \leqslant b-h$, что $c=\varphi\left ( \alpha\right ) =\displaystyle\frac$. На отрезке $\left [\alpha, \alpha+h\right ] $ к функции $f$ применим теорему Лагранжа, согласно которой найдется такая точка $\xi \in \left ( \alpha, \alpha+h\right ) $, что $f\left ( \alpha+h\right ) -f\left ( \alpha\right ) =’\left ( \xi\right ) \cdot h$. Из этого равенства следует, что $c=’\left ( \xi\right ) $.

Замечание. Теорема Дарбу означает, что производная $’$ не может быть произвольной функцией. Свойство производной, которое гарантируется теоремой Дарбу, называется свойством промежуточных значений. Согласно этому свойству, у производной не может быть скачков или устранимых разрывов, т. е. разрывов $I$ рода. Как было показано выше, разрывы $II$ рода у производной могут быть.

Пусть существует число $\delta > 0$ такое, что функция $f(x)$ определена в $\delta$-окрестности точки $x_$, то есть на множестве $U_(x_0)=(x_0-\delta,x_+\delta)$, и пусть для всех $x\in U_(x_0)$ выполняется неравенство
$$
f(x)\geq f(x_).\label
$$
Тогда говорят, что функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный минимум.

Аналогично, если существует число $\delta > 0$ такое, что для всех $x\in U_(x_0)$ выполняется неравенство
$$
f(x)\leq f(x_).\label
$$
то говорят, что функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум.

Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция $y=f(x)$, график которой изображен на рис. 17.1, имеет локальные экстремумы в точках $x_1=1,\ x_2=3,\ x_3=4$, а именно минимумы при $x=1$ и $x=4$ и максимум при $x=3$.

Если функция $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x_0$ и дифференцируема в этой точке, то
$$
f'(x_0)=0\label
$$

$\circ$ Пусть, например, функция $f(x)$ имеет локальный минимум в точке $x_0$. Тогда в силу \eqref для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство
$$
f(x)-f(x_)\geq 0.\label
$$
Если $x\in (x_0-\delta,x_0)$, то \(x-x_0 Рис. 17.2

Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке локального экстремума $(x_0,f(x_0))$ параллельна оси абсцисс (рис. 17.2).

Теорема Ролля о нулях производной.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, принимает в концах этого отрезка равные значения, то есть
$$
f(a)=f(b),\label
$$
и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что
$$
f'(\xi)=0.\label
$$

Если $m=M$, то $f(x)=\operatorname$, и в качестве $\xi$ можно взять любую точку интервала $(a,b)$.

Если $m\neq M$, то $m 0$ такое, что $U_(c_)\subset (a,b)$. Так как для всех $x\in U_(c_)$ выполняется условие $f(x)\geq f(c_)=m$, то по теореме Ферма $f'(c_)=0$, то есть условие \eqref выполняется при $\xi=c_$. Аналогично рассматривается случай, когда $c_\in(a,b).\quad \bullet$

Теорему Ролля можно кратко сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая $f(a)=f(b)=0$ теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы 2 существует значение $\xi\in(a,b)$ такое, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(\xi,f(\xi))$ параллельна оси $Ox$ (рис. 17.3).

Все условия теоремы Ролля существенны. На рис. 17.4—17.6 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале $(-2,2)$, в которой производная была бы равно нулю.

Формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, то в этом интервале найдется хотя бы одна точка $\xi$ такая, что
$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda x,\nonumber
$$
где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi(a)=\varphi(b)$, то есть $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b$. Отсюда находим
$$
\lambda=-\frac.\label
$$
Так как функция $\varphi(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=f'(\xi)+\lambda=0$. Отсюда в силу условия \eqref получаем равенство
$$
f'(\xi)=\frac,\label
$$
равносильное равенству \eqref. $\bullet$

Правая часть, формулы \eqref равна угловому коэффициенту секущей, которая проходит через точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$ графика функции $y=f(x)$, а левая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $(\xi,f(\xi))$. Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение $\xi\in(a,b)$ такое, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке $(\xi,f(\xi))$ параллельна секущей (рис. 17.7), соединяющей точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$.

Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Если $x_\in[a,b]$, а приращение $\Delta x\neq 0$ таково, что точка $x_+\Delta x$ также принадлежит отрезку $[a,b]$, то, применив теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке $l$ с концами $x_0$ и $x_0+\Delta x$ ($\Delta x$ может быть и отрицательным), получим
$$
f(x_+\Delta x)-f(x_)=\Delta xf'(\xi),\label
$$
где $\xi$ — некоторая внутренняя точка отрезка $l$.

Пусть, $\Delta x > 0$; тогда \(0 Пример 1.

$$
\operatorname(1+x) 0,\label
$$
$$
|\operatornamex_2-\operatornamex_1|\leq|x_-x_|,\quad x\in\mathbb,\ x\in\mathbb.\label
$$

$\triangle$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\operatorname(1+x)$ на отрезке $[0,x]$, где $x > 0$, получаем $\operatorname(1+x)=\displaystyle \frac<1+\xi>x$ откуда следует неравенство \eqref, так как \(0

Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и $f'(x)=0$ для всех $x\in (a,b)$, то
$$
f(x)=C=\operatorname,\quad x\in (a,b).\nonumber
$$

$\circ$ Пусть $x_$ — фиксированная точка интервала $(a,b)$, $x$ — любая точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)$ на отрезке с концами $x_0$ и $x$ получаем
$$
f(x)-f(x_0)=(x-x_0)f'(\xi),\nonumber
$$
где $\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0$, откуда $f(x)=f(x_)=C$. $\bullet$

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$ и для всех $x\in (a,b)$ выполняется равенство $f'(x)=k$, где $k$ — постоянная, то
$$
f(x)=kx+B,\quad x\in[a,b],\nonumber
$$
то есть $f$ — линейная функция.

$\circ$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f$ на отрезке $[a,x]$, где $a\leq x\leq b$, получаем $f(x)-f(a)=k(x-a)$, откуда следует, что $f(x)=kx+B$, где $B=f(a)-ka$. $\bullet$

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$, за исключением, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, и непрерывна в точке $x_0$. Тогда если существует конечный или бесконечный
$$
\lim_-0>f'(x)=A,\label
$$
то в точке $x_0$ существует левая производная, причем
$$
f_'(x_)=A.\label
$$

Аналогично, если существует
$$
\lim_+0>f'(x)=B,\label
$$
то
$$
f_'(x_0)=B.\label
$$
$\circ$ Пусть приращение $\Delta x$ таково, что $\Delta x\neq 0$ и точка $x_0+\Delta x$ принадлежит интервалу $(a,b)$. Запишем равенство \eqref в виде
$$
\frac=f'(x_+\theta\Delta x),\quad 0

Найти точки разрыва функции $f'(x)$, если
$$
f(x)=\left\
\displaystyle x^2\sin> & при\ x\neq 0,\\\nonumber
0 & при\ x=0.\nonumber
\end\right.
$$

$\triangle$ Если $x\neq 0$, то $f'(x)=2\displaystyle \sin\frac-\cos\frac$, а если $x=0$, то по определению производной $f'(0)=\displaystyle\lim_\frac<\displaystyle x^2\sin<\frac>>=0$. Следовательно, функция $f'(x)$ определена на $\mathbb$ и непрерывна при $x\neq 0$. В точке $x=0$ эта функция имеет разрыв второго рода, так как не существует предела функции
$$
f'(x)=2x\sin\frac-\cos\frac\quad при \ x\rightarrow 0.\quad \blacktriangle\nonumber
$$

Если функции $\varphi$ и $\psi$ дифференцируемы при $x\geq x_0$ и удовлетворяют условиям $\varphi(x_0)=\psi(x_0)$, $\varphi'(x) > \psi(x)$ при $x > x_0$, то $\varphi(x) > \psi(x)$ при $x > x_$.

$\circ$ Применяя теорему Лагранжа к функции $f(x)=\varphi(x)-\psi(x)$ на отрезке $[x_0,x]$, где $x > x_0$, получаем $f(x)=f'(\xi)(x-x_0)$, так как $f(x_0)=0$. Отсюда, учитывая, что
$$
\xi > х_0,\ f'(\xi)=\varphi'(\xi)-\psi'(\xi) > 0,\nonumber
$$
получаем $f(x) > 0$, то есть $\varphi(x) > \psi(x)$ при $x > x_0$. $\bullet$

$\triangle$ Пусть $\varphi(х)=\operatorname(1+x)$, $\psi(x)=x-\displaystyle \frac>$, тогда $\varphi(0)=\psi(0)$, $\displaystyle \varphi'(x)=\frac$, $\psi'(x)=1-x$, и при $x > 0$ справедливо неравенство $\displaystyle \frac > 1-x$, так как при $x > 0$ это неравенство равносильно очевидному неравенству $1 > 1-x^2$. Применяя следствие 4 к функциям $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, получаем неравенство \eqref. $\blacktriangle$

Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g'(x)\neq 0$ во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка $\xi\in(a,b)$ такая, что
$$
\frac=\frac.\label
$$

$\circ$ Рассмотрим функцию
$$
\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x),\nonumber
$$
где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось равенство $\varphi(a)=\varphi(b)$, которое равносильно следующему:
$$
f(b)-f(a)+\lambda(g(b)-g(a))=0.\label
$$
Заметим, что $g(b)\neq g(a)$, так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка $c\in(a,b)$ такая, что $g'(c)=0$ вопреки условиям теоремы. Итак, $g(b)-g(a)\neq 0$, и из равенства \eqref следует, что
$$
\lambda=-\frac.\label
$$
Так как функция $\varphi$ при любом $\lambda$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$, а при значении $\lambda$ определяемом формулой \eqref, принимает равные значения в точках $a$ и $b$, то по теореме Ролля существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $\varphi'(\xi)=0$ и , то есть $f'(\xi)+\lambda g'(\xi)=0$, откуда $\displaystyle \frac=-\lambda$. Из этого равенства и формулы \eqref следует утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши $(g(x)=x)$.

Теорему Коши нельзя получить, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби, стоящей в левой части равенства \eqref.

Действительно, эту дробь, по теореме Лагранжа можно записать в виде $\displaystyle \frac$, где $\xi_\in (a,b),\ \xi_\in (a,b)$, но, вообще говоря, $\xi_\neq\xi_$.

Если функция, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b) , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

История

Первое строгое доказательство дал Ролль.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Ролля теорема" в других словарях:

Ролля теорема — теорема математического анализа, впервые высказанная М. Роллем (См. Ролль) (1690): если функция f (х) непрерывна на отрезке а ≤ х ≤ b, имеет внутри его определённую производную, а на концах принимает равные значения f (a) = f (b), то её… … Большая советская энциклопедия

РОЛЛЯ ТЕОРЕМА — если действительная функция f непрерывна на нек ром отрезке [а, b], имеет в каждой его внутренней точке конечную или определенного знака бесконечную производную, а на его концах принимает равные значения, то на интервале ( а, b). существует по… … Математическая энциклопедия

Теорема Ролля — (теорема о нуле производной) утверждает, что Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой… … Википедия

Теорема Декарта — или правило знаков Декарта, теорема, утверждающая, что число положительных корней многочлена с вещественными коэффициентами равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов или на чётное число меньше этого числа (корни считаются с учётом … Википедия

Теорема Коши о среднем значении — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши. Теорема Коши о среднем значении. Пусть даны две функции и такие, что: и определены и непрерывны на отрезке ; производные … Википедия

Лемма Ферма — утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Содержание 1 Предыстория 2 Формулировка 3 Доказательство … Википедия

Дифференциальное исчисление — раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия

Ролль, Мишель — Мишель Ролль (фр. Michel Rolle, 21 апреля 1652, Амбер (Франция) 8 ноября 1719, Париж) французский математик. Содержание 1 Биография 2 Научная деятельность … Википедия

Мишель Ролль — (фр. Michel Rolle, 21 апреля 1652, Амбер (Франция) 8 ноября 1719, Париж) французский математик. Содержание 1 Биография 2 Научная деятельность 3 С … Википедия

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем . Тогда существует точка такая, что .

Теорема Ролля, является частным случаем теоремы Лагранжа (теоремы о среднем значении в дифференциальном исчислении).

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если крайние ординаты кривой равны, то есть , то на кривой найдется точка, касательная в которой будет параллельна оси .

Примеры решения задач

Задание	Показать, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке и найти точку , в которой .
Решение	Функция дифференцируема на промежутке и на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда, по теореме Ролля, существует точка , в которой .

Найдем производную заданной функции . Найдем значение производной в точке и приравняем полученное значение к нулю:

$\[ f$

Задание	Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции $f(x) = \sqrt[3]<x^<2>>$ на отрезке .
Решение	Заданная функция является непрерывной на промежутке и значения функции на концах этого отрезка совпадают:

Найдем производную заданной функции:

$f(x) = \sqrt[3]<x^<2></p> <p>Производная на интервале в нуль не обращается, потому что в точке производной не существует (она обращается в бесконечность). Таким образом, для функции >$
на отрезке теорема Ролля не выполняется, так как данная функции не дифференцируема во всех точках .

Читайте также: