Теорема о пропорциональных отрезках 8 класс кратко
Обновлено: 06.07.2024
§ 12. Подобные треугольники. Лемма о подобных треугольниках.
§ 13. Первый признак подобия треугольника. Свойство пересекающихся хорд. Свойство касательной и секущей.
Теорема Менелая.
Теорема Птолемея.
§ 14. Второй и третий признак подобия треугольника.
Прямая Эйлера.
1 Комментарий
Спасибо! Очень было необходимо!
Добавить комментарий Отменить ответ
Конспекты по геометрии:
7 класс
8 класс
9 класс
Найти конспект:
О проекте
Возрастная категория: 12+
(с) 2021 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!
Рассмотрим два отрезка \(AB\) и \(VN\), где отрезок \(AB\) в \(2\) раза больше второго отрезка.
Можно также сказать, что отношение отрезков \(VN\) и \(AB\) равно \(1 : 2\):
В этом примере отрезок \(AR\) равен трём единицам, а \(VZ\) равен двум единицам.
Если отношение отрезков \(a\) и \(b\) равно отношению отрезков \(c\) и \(d\), т. е. a b = c d ,
то эти отрезки называются пропорциональными .
Сравниваем данные ранее отрезки, они не пропорциональны, т. к. AB VN ≠ AR VZ .
Сравним отношения отрезков AB VN и AH VT . AB VN = 2 1 и AH VT = 4 2 2 1 = 2 1 .
Значит, AB VN = AH VT — эти пары отрезков пропорциональны.
Чтобы записать отношение отрезков, необходимы два отрезка. Чтобы найти пропорциональные отрезки, необходимы две пары отрезков.
Математика
Одна из основополагающих теорем (теорема Фалеса) в геометрии говорит о том, что проведенные через концы одинаковых отрезков прямой параллельные линии отсекают на другой прямой тоже одинаковые по длине отрезки. Причем происходит это независимо от угла между прямыми. Это достаточно произвольная формулировка теоремы Фалеса, но достаточно емко описывающая ее суть. Разные учебники приводят разные формулировки, но суть остается неизменной.
Ключевые слова в теореме (при любой формулировке) — прямые, отрезки, равные, пропорциональные, параллельные. Это говорит о том, что теорема Фалеса касается только планиметрии, то есть изображения линий на плоскости. Она очень важна для картографии и навигации, широко используется в архитектуре и живописи, строительстве и проектировании.
Классической формулировки, единой в своем роде нет. Например, формулировку можно услышать в такой редакции:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
А можно и в такой:
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Если внимательно присмотреться, то можно увидеть, что одно утверждение не противоречит другому, а рисунки практически идентичны. Если продолжить прямые на первом рисунке по получим тот же угол.
Кроме прямых, которые проходят под углом, такая же картина происходит при пересечении параллельных прямых. Разница состоит в том, что на пересекающихся прямых отрезки АВ и А1В1 могут быть как одинаковыми, так и пропорциональными, в зависимости от угла наклона секущих. А для случая параллельных — только одинаковыми. Если обобщить два случая, то обобщенная теорема Фалеса звучит так: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
Для иллюстрации можно воспользоваться рисунком 1.
Теорема Фалеса это не только теоретическое утверждение, доказанное методами математики, но и практический инструмент для построения различных фигур. Простейшая задача — разделить на равные части произвольный отрезок ВА. Пусть этих частей будет 7.
Для решения задачи нарисуем отрезок ВС, образующий с данным ВА угол. Как видим, отрезок ВС проходит вдоль клеток на бумаге, что позволяет выбрать на нем равные отрезки. В нашем случае, это:
BD=DE=EF=FG=GH=HJ=JC.
Начиная от крайних точек А и С проведем параллельные линии, пересекающие отрезок ВА. На нем тоже получиться семь равных отрезков: BR=RP=PN=NM=ML=LK=KA.
С таким же успехом мы можем разделить отрезок на 5, 6, 4 или любое другое количество равных частей. Суть метода состоит в том, что длину отрезка ВС мы заведомо выбираем такой, чтобы его можно было легко разделить на заданное количество частей. Например, длина отрезка ВА 37 см, а его нужно разделить на 5 частей. Выбираем длину отрезка ВС в 25 см, отмечаем точки и выполняем построение по теореме Фалеса.
Не менее широко используется и теорема, названная обратной. То есть, доказательства требует не равность или пропорциональность отрезков, а параллельность прямых. Формулируется обратная теорема Фалеса так:
Если две или более прямых (a, b, c) отсекают от двух других прямых (d, f) равные или пропорциональные отрезки, то они параллельные.
Утверждение справедливо, независимо от того, параллельные d, f или пересекаются.
Теорема Фалеса с доказательством приведена в большинстве учебников. В отличие от теоремы Пифагора, доказательств у нее меньше, но все они четкие, понятные и аргументированные. Покажем одно из них.
Не будем повторять формулировок, продемонстрируем только ход мыслей и выполним необходимые построения:
Выберем точку В2 и проведем прямую, параллельную стороне угла ОС. При этом отмечаем, что А1А3 || EF. Рассматривая четырехугольник
А1FЕА3 замечаем, что А1F и ЕА3 параллельны по определению, а А1А3 и FВ3 параллельны по построению. Отсюда вытекает, что А1 FЕА 3 — параллелограм и А1А3 = EF.
Аналогичным образом доказываем равенство других сторон и получаем, что по равенству вертикальных и внутренних углов ∠B1B2F=∠B3B2E и ∠B2FB1=∠B2EB3 треугольники B2B1F и B2B3E равны, откуда вытекает, что B1B2=B2B3.
Именно это и требовалось доказать.
По легенде, впервые на практике использовал теорему греческий философ Фалес Милетский. Он применил ее для измерения высоты пирамиды Хеопса, пользуясь падающей на песок тенью. Для сравнения длины отрезков использовалась воткнутая рядом палка.
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
Обобщённая теорема Фалеса
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):
Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Обратная теорема Фалеса
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).
Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.
Примеры решения задач
Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.
Решение. Пусть $AB$ - заданный отрезок (рис. 3), который необходимо разделить на четыре равные части.
Через точку $A$ проведем произвольную полупрямую $a$ и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка $AC, CD, DE, EK$ .
Соединим точки $B$ и $K$ отрезком и проведем через оставшиеся точки $C$, $D$ и $E$ прямые, параллельные прямой $BK$ так, чтобы они пересекли отрезок $AB$ .
Согласно теореме Фалеса отрезок $AB$ разделится на четыре равные части.
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$. Отрезок $CK$ пересекает медиану $AM$ треугольника в точке $P$, причем $AK = AP$. Найти отношение $BK : PM$ .
Решение. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CK$, которая пересечет $AB$ в точке $D$ (рис. 4).
По теореме Фалеса $BD = KD$ .
По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что
$$P M=K D=\frac \Rightarrow B K: P M=2: 1$$
Ответ. $B K: P M=2: 1$
Историческая справка
Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.
Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.
Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.
Читайте также: