Теорема кронекера капелли кратко

Обновлено: 03.07.2024

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Содержание

Доказательство

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (соответственно столбец), которая является линейной комбинацией других строк (соответственно столбцов) следует, что A = \operatorname B" width="" height="" />
.

Достаточность

Пусть A = \operatorname B = r" width="" height="" />
. Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как B = r" width="" height="" />
, то он же и будет базисным минором и матрицы B . Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

Литература

В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Теорема Кронекера — Капелли" в других словарях:

КРОНЕКЕРА - КАПЕЛЛИ ТЕОРЕМА — критерий совместности системы линейных у р а в н е н и н: для совместности системы уравнений необходимо н достаточно, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы получающейся из матрицы Адобавлением… … Математическая энциклопедия

Метод Гаусса — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация). Метод Гаусса[1] классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью… … Википедия

Кронекер, Леопольд — Леопольд Кронекер Леопольд Кронекер Дата рождения: 7 декабря 1823 … Википедия

Кронекер Л. — Леопольд Кронекер Леопольд Кронекер (нем. Leopold Kronecker; 7 декабря 1823, Лигниц, Германия, ныне Легница, Польша 29 декабря 1891, Берлин, Германия) немецкий математик. Брат известного физиолога Гуго Кронекера (1830 1914). Иностранный член… … Википедия

Кронекер Леопольд — Леопольд Кронекер Леопольд Кронекер (нем. Leopold Kronecker; 7 декабря 1823, Лигниц, Германия, ныне Легница, Польша 29 декабря 1891, Берлин, Германия) немецкий математик. Брат известного физиолога Гуго Кронекера (1830 1914). Иностранный член… … Википедия

Решение систем линейных алгебраических уравнений — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример … Википедия

Ранг матрицы — Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие.… … Википедия

Полный ранг — Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если не одна из них не… … Википедия

Линейное уравнение — уравнение, в которое неизвестные входят в 1 й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют … Большая советская энциклопедия

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

~ . RgA = 2.
A* = RgA* = 3.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 не равно 0; RgA = 2;

RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными:

$\begin a_x_ + a_x_ + \ldots + a_x_ = b_ \\ a_x_ + a_x_ + \ldots + a_x_ = b_ \\ . \\ a_x_ + a_x_ + \ldots + a_x_ = b_ \end$

Выпишем основную матрицу этой системы и расширенную матрицу :

$A = \begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end \text< >,\text < >\overline = \begin a_ & a_ & \cdots & a_ & b_\\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_ & a_ & \cdots & a_& b_ \end$

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы :

Причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных .

Ранг матрицы есть наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Правило вычисления ранга матрицы с помощью миноров

При нахождении ранга матрицы необходимо переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом если найден минор -го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуется вычислить лишь миноры -го порядка окаймляющие этот минор -го порядка. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

Примеры решения задач

$\begin 2x_-x_-3x_+x_=1 \\ x_+2x_+4x_-x_=2 \\ 4x_+3x_+5x_-x_=5 \end$

$A = \begin 2 & -1 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \\ 4 & 3 & 5 & -1 \end \text< >,\text < >\overline = \begin 2 & -1 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & 5 & -1 & 5 \end$

Вычислим ранги этих матриц с помощью миноров. Выберем ненулевой минор второго порядка матрицы :

$M_ ^ = \begin 2 & -1 \\ 1 & 2 \end = 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 5 \neq 0$

и вычислим их определители:

$M_ ^ = \begin 2 & -1 & -3\\ 1 & 2 & 4\\ 4 & 3 & 5 \end = 2 \cdot 2 \cdot 5 + (-1) \cdot 4 \cdot 4 + (-3)\cdot 1 \cdot 3 - (-3) \cdot 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \cdot 3 = 0$

$M_<124> ^ = \begin 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 4 & 3 & -1 \end = 2 \cdot 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \cdot 4 + 1 \cdot 1 \cdot 3 -1 \cdot 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \cdot 3= 0$

Таким образом, ранг основной матрицы . Для расширенной матрицы существует еще один окаймляющий минор

$M_<125> ^ = \begin 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 4 & 3 & 1 \end = -20 \neq 0$

Его определитель не равен нулю, таким образом, ранг расширенной матрицы . По теореме Кронекера-Капелли, так как , то заданная система линейных алгебраических уравнений не совместна и решений не имеет.

$\begin x+y+z=2 \\ 2x-2y+z=6 \\ x-y-z=0 \end$

$A = \begin 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end \text< >,\text < >\overline = \begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end$

Вычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу . Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , получим:

$\begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \end \sim \begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & -4 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end$

Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на и переставим вторую и третью строки, получим:

$\begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & -4 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 & -2 \end \sim \begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 2 \end$

Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:

$\begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 2 \end \sim \begin 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end$

Таким образом, матрицы и имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны . По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений

$\begin x+y+z=2 \\ y+z=1 \\ 3z=6 \end$

Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что . Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:

$y+2=1 \text< > \Rightarrow \text < >y=-1$

Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:

$x+(-1)+2=2 \text< > \Rightarrow \text < >x=1$

Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.

Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.

Пример №1 . Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Это соответствует системе:
-3x₂ + 9x₃ = 6
-4x₁ + 5x₂ + 7x₃ - 10x₄ = 0
За базисные переменные примем x₁ и x₂. Тогда свободные x₃,x₄.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №2 .
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

3x₂ -2x₃ – 3x₄ = 10
3x₁ -x₂ -2x₃ = 1
Необходимо переменные x₃,x₄ принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x₁, x₂.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №3 . Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение?
Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ \left \ & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

$$ \Delta A=\left| \begin -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

$$ \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end \right) \begin \phantom\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right) \begin \phantom\\\phantom\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \begin \phantom\\\phantom\\\phantom\\ r_4-r_3\\\phantom\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang=2$.

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ \left( \begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right) \overset> $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right) \begin \phantom\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end \right) \begin \phantom\\ \phantom\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end \right) \begin \phantom\\ \phantom\\\phantom \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang\lt$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Читайте также: