Теорема геделя о боге кратко

Обновлено: 05.07.2024

Я уже говорил в своих заметках о невозможности познания мира изнутри, для меня это очевидно, исходя из того, что мир создаётся из вне, и причины большинства явлений не принадлежат этому миру. Для тех же, кто верует в примитивный материализм, это доказал в 1931 году математик Курт Гёдель в своей знаменитой теореме, в общем виде она звучит так - Любая достаточно сложная логическая система либо внутренне противоречива, либо не полна. То есть, другими словами, вы не можете создать научную теорию описывающую наш мир, не выходя за его пределы.

1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

— Можно как-то популярно объяснить теоремы о неполноте Геделя? Брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Бреет ли себя брадобрей? Этот знаменитый парадокс имеет к ним отношение?

Прежде всего это указывает на ограниченность претензий человеческого разума в познании реальности. То есть мы не можем говорить о том, что мы построим какую-то всеобъемлющую теорию мироздания, которая все объяснит, — такая теория не может быть научной.

— Как математики сейчас относится к теоремам Геделя? Никто не пытается их опровергнуть, как-то обойти?

— Это все равно что пытаться опровергнуть теорему Пифагора. Теоремы имеют строгое логическое доказательство. В то же время предпринимаются попытки найти ограничения применимости теорем Геделя. Но главным образом споры идут вокруг философских следствий теорем Геделя.

— Насколько проработано геделево доказательство существования Бога? Оно закончено?

Разумеется, логическая безупречность выводов Геделя не принуждает человека становиться верующим под давлением силы доказательств. Не следует быть наивными и полагать, что мы можем убедить любого разумно мыслящего человека уверовать в Бога с помощью онтологического аргумента или других доказательств. Вера рождается тогда, когда человек становится лицом к лицу перед очевидным присутствием высшей трансцендентной Реальности Бога. Но можно назвать по крайней мере одного человека, которого онтологическое доказательство привело к религиозной вере, — это писатель Клайв Стейплз Льюис, он сам признавался в этом.

Отдаленное будущее — это отдаленное прошлое

— Как относились к Геделю современники? Он дружил с кем-то из больших ученых?

— Как Гедель оказался в Америке? Бежал от нацистов?

— Не использовали ли Гедель и Эйнштейн идей друг друга в научной работе?

Вера и интуиция

— Вы можете дать исторические примеры: каким путем разные ученые приходят к вере в Бога? Вот генетика Фрэнсиса Коллинза, по его признаниям, к вере в Бога привело исследование структуры ДНК…

Вопрос о приходе человека к вере — это всегда вопрос, который выходит за рамки просто логического рассуждения. Как объяснить, что тебя привело к вере? Человек отвечает: я ходил в храм, размышлял, читал то-то, увидел гармонию мироздания; но самый главный, самый исключительный момент, в который человек вдруг познает, что он столкнулся с присутствием Бога, не может быть выражен. Это всегда тайна.

— Можно обозначить проблемы, которые не в силах разрешить современная наука?

— Все-таки наука — достаточно уверенное, самостоятельное и хорошо идущее предприятие, чтобы так резко высказываться. Она является хорошим и весьма полезным инструментом в руках человека. Со времени Фрэнсиса Бэкона знание действительно стало силой, изменившей мир. Наука развивается в соответствии со своими внутренними закономерностями: ученый стремится постичь законы мироздания, и можно не сомневаться в том, что этот поиск приведет к успеху. Но в то же время необходимо осознавать и границы науки. Не следует смешивать науку и те мировоззренческие вопросы, которые могут быть поставлены в связи с наукой. Ключевые проблемы сегодня связаны не столько с научным методом, сколько с ценностными ориентациями. Наука в течение долгого ХХ века воспринималась людьми как абсолютное благо, которое способствует прогрессу человечества; а мы видим, что ХХ век стал самым жестоким по человеческим жертвам. И тут возникает вопрос о ценностях научного прогресса, вообще познания. Этические ценности не следуют из самой науки. Гениальный ученый может изобрести оружие для уничтожения всего человечества, и здесь возникает вопрос о нравственной ответственности ученого, на который наука не может ответить. Наука не может указать человеку смысл и предназначение его существования. Наука никогда не сможет ответить на вопрос, почему мы здесь? Почему существует Вселенная? Эти вопросы решаются на другом уровне познания, таком, как философия и религия.

— Кроме теорем Геделя, есть ли еще доказательства того, что научный метод имеет свои пределы? Сами ученые это признают?

Красота и гармония мироздания предполагает возможность его познания научными методами. Вместе с тем христиане всегда понимали и непостижимость тайны, стоящей за этой материальной вселенной. Вселенная не имеет основания в самой себе и указывает на совершенный источник бытия — Бога.

А началось все с того, что в десять лет я случайно наткнулся на научно-фантастический роман про межпланетные путешествия, прочел залпом — и увлекся астрономией. Начал читать популярную, а затем и более серьезную литературу, делал простейшие астрономические приборы, наблюдал за звездным небом.Но астрономия неотделима от математики и физики — и я стал изучать их по книгам, в каких-то областях оставив далеко позади школьную программу. К старшим классам я уже проникся внутренней красотой математики. И когда решил связать свою судьбу с педагогикой, с учительством — колебаний у меня не было. Преподавать буду именно математику!

Так я в 1983 году оказался на математическом факультете МГПИ имени В. И. Ленина. Надо сказать, что преподавание высшей математики там отвечало самым высоким требованиям. Я до сих пор с благодарностью вспоминаю своих преподавателей, которые не просто обучали своему предмету, но раскрывали его внутреннюю гармонию.

Впрочем, ближе к делу. В советское время среди прочих атеистических штампов очень популярна была идея о том, что религия — это торжество абсурда, что она никак не совместима с логическим мышлением, а логическое мышление — это основа основ, в мире есть только то, что описывается логикой. И вот я изучаю математическую логику, изучаю теорию числовых систем. Что же оказывается? Наши обыденные представления о логике поверхностны! Эта привычная нам логика неплохо работает на бытовом уровне, но если копнуть глубже — возникают неразрешимые парадоксы.

И более того: оказалось, что с помощью логики невозможно доказать истинность самой логики! Об этом говорит знаменитая теорема Гёделя о неполноте формальных систем. Цепочка логических доказательств может тянуться сколь угодно далеко, но у нее все равно есть начало, все равно есть некие исходные посылки, доказать которые невозможно. Невозможно в принципе!

Так можно ли требовать от верующих доказательств существования Бога и, не получив таковые, утверждать, будто Бога нет? Сейчас мне все это кажется банальностью, но лет в двадцать было настоящим открытием!

Математика не заставила меня уверовать в Бога, она всего лишь сняла те умственные барьеры, которые дало атеистическое воспитание, она расчистила дорогу к вере. Уверовал я позднее, пройдя через сомнения и шатания. Но это уже совсем другая история.

Теоремы о неполноте Геделя: Дырка в математике

Главный тезис логического доказательства существования Бога, выдвинутый Куртом Геделем: "Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать". На фото: автор теоремы о неполноте Курт Гедель со своим другом, автором теории относительности Альбертом Эйнштейном. Пристон. Америка. 1950

— Как математики сейчас относится к теоремам Геделя? Никто не пытается их опровергнуть, как-то обойти?

— Насколько проработано геделево доказательство существования Бога? Оно закончено?

Отдаленное будущее — это отдаленное прошлое

— Как относились к Геделю современники? Он дружил с кем-то из больших ученых?

— Как Гедель оказался в Америке? Бежал от нацистов?

— Не использовали ли Гедель и Эйнштейн идей друг друга в научной работе?

Вера и интуиция

— Можно обозначить проблемы, которые не в силах разрешить современная наука?

Математик Курт Гёдель предоставил формальные аргументы существования Бога. Его аргументы были опубликованы намного позже, после его смерти. Он привел аргументы, основанные на модальной логике; он использовал концепцию свойств, которые в итоге приводят к существованию Бога.

Эта теорема не доказывает существование Бога, а только возможность того, что исходя из модальной логики всемогущее существо может существовать.

Для справки:

Онтологический аргумент или Онтологическое доказательство бытия Бога — это одна из категорий аргументов, относящихся к вопросу существования Бога, появившаяся в христианской теологии. Не существует точных критериев для классификации онтологических аргументов, но аргументы типично начинаются с определения Бога, а заканчиваются подведением итогов о необходимости его существования, используя главным образом причины априори и эмпирические наблюдения.

Почему возникла эта теория? Ещё со времени написания "Начал" Евклида математика (геометрия) строилась как дедуктивная теория: вначале приводятся некие утверждения (аксиомы), на основе которых, последовательно вводятся теоремы, являющиеся логическими выводами из предыдущих утверждений. Так продолжается логическая цепочка доказательств. В 1889 году итальянский математик Джузеппе Пеано впервые сформулировал аксиомы арифметики. Немецкий математик Готлиб Фреге предложил формализовать, кодифицировать сами методы рассуждений, что позволяло записать любое математическое рассуждение по определенным правилам в виде цепочки символов. Однако ему не удалось избежать парадоксов теории, которые в дальнейшем преодолел Бертран Рассел, который свои результаты опубликовал в книге Principia Mathematica. Но дальнейшее развитие математики продемонстрировало новые парадоксы, которые надо было как то разрешать. По этому поводу высказывался выдающийся математик Гильберт: "Перед лицом этих парадоксов надо признать, что положение, в котором мы пребываем сейчас, на длительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце надежности и истинности — понятия и умозаключения, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?"
Гильберт наметил программу исследований, направленную на преодоление возникших противоречий. Его программа звучала так:

1. Математика является полной, т.е. любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины.
2. Математика является непротиворечивой, т.е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение, не нарушая принятых правил рассуждения.
3. Математика является разрешимой, т.е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо.

Гёдель своей теорией доказал, что математика неполна, неразрешима, и ее непротиворечивость нельзя доказать (в рамках той самой системы, непротиворечивость которой доказывается). Следствием его теории обычно называют три положения:

1. В любой последовательной системе постулатов арифметических действий возможны формулы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
2. Истина и доказуемость — не одно и то же.
3. Никакой компьютер не в состоянии воспроизвести человеческий разум.

Известно, что Эйнштейн, будучи другом Гёделя был очарован сочетанием изящества и точности в рассуждениях Курта. Гёдель, со своей стороны интересовался теорией относительности Эйнштейна. Гедель предложил оригинальное решение выведенных Эйнштейном уравнений общей теории поля. Согласно его концепции существовало такое решение уравнений Эйнштейна, которые допускали возможность путешествия, как в будущее, так и в прошлое. Впрочем, его взгляд о сущности времени бы таким: "Время - это отнюдь не специфическая характеристика бытия… Я не верю в объективность времени… Время - субъективно, по крайней мере, когда оно принимается в смысле нашей его интуитивной концепции: это может быть прояснено путем наблюдения работы ума… Наша естественная склонность мыслить физический мир как пространственно-временной - результат нашей привычки ассоциировать причинность с временем и изменением".

Задумывался Гёдель и о Боге. "В религии – но не в церковных догматах – куда больше разумного, чем принято думать, но мы сызмальства настроены к этому враждебно, воспитанные школой, дурным преподаванием религии, книгами и впечатлениями…" Известно, что доказательство существования Бога Гёдель не решался опубликовать вплоть до своей смерти. Боялся он непонимание коллег. Гедель в качестве основы доказательства берёт аргумент, предложенный Ансельмом Кентерберийским. Доказательство звучит так: "Бог, по определению, является Тем, больше Кого нельзя ничего помыслить. Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать". Доказательство в виде модальной логики занимает несколько страниц.

Читайте также: