Свойства средней арифметической в статистике кратко

Обновлено: 03.05.2024

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
Средняя арифметическая (взвешенная)–вариантыповторяютсяразличное число раз , при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

гдех_i – вариант,аn – количество единиц совокупности.
Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.

Средняя величина – обобщающая характеристика однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Определить среднюю можно через исходное соотношение средней или ее логическую формулу:

Для изучения и анализа социально-экономических явлений применяются различные средние величины: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая, а также структурные средние – мода, медиана, квартили, децили.

Средние могут рассчитываться в двух вариантах: взвешенные и невзвешенные.

При расчете взвешенных средних величин веса, могут быть представлены как абсолютными величинами, так и относительными (в % или долях единицы).

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

По данной формуле вычисляются средние величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то расчет проводят по средней арифметической взвешенной

В качестве весов здесь выступают численность единиц совокупности в группе.

Пример. Имеются данные о средней заработной плате сотрудников двух предприятий за январь.

Средняя заработная плата, руб.

Численность работников, человек

Вычислить среднюю заработную плату сотрудников по двум предприятиям.

Фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность работников. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

где x_i – i –тый вариант осредняемого признака;

f_i – вес i –ого варианта.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств знака и совокупности.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х (); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Напр., имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Месячная з/п (варианта - х), руб.	Число рабочих, n	xn
х = 1100	n = 2
х = 1300	n = 6
х = 1600	n = 16
х = 1900	n = 12
х = 2200	n = 14
ИТОГО

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры. Если рассмотреть формулу средней арифметической взвешенной в следующем виде

то видно что каждая варианта взвешивается через ее удельный вес .

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

В данном ряду варианты осредняемого признака представлены не одним числом, а в виде интервала "от - до". Если каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы, то исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала.

В рядах с открытыми интервалами условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

Основные свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна нулю:

Напр., имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Месячная з/п (варианта - х), руб.	Число рабочих, n	xn
х = 1100	n = 2
х = 1300	n = 6
х = 1600	n = 16
х = 1900	n = 12
х = 2200	n = 14
ИТОГО

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

то видно что каждая варианта взвешивается через ее удельный вес .

Основные свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна нулю:

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная).Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная.При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

При расчете средней по интервальному вариационномуряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С.

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину.

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз.

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Другие виды средних величин

Средняя гармоническая взвешенная:

где

Средняя гармоническая невзвешенная.

Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в автохозяйстве эксплуатируются два электромобиля разных моделей, работающих на однотипных подзаряжаемых за ночь аккумуляторных батареях. Первый электромобиль расходует на 1 км пути 1,0 кВт ч электроэнергии, второй - 0,6 кВт- ч. Каков средний расход электроэнергии на 1 пройденный километр?

На первый взгляд решение этой задачи заключается в осреднении индивидуальных значений потребления электроэнергии по двум электромобилям, т.е. (1,0 + 0,6) : 2 = 0,8 кВт ч. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного дня работы машин, в течение которого они расходуют один заряд аккумулятора, предположим, 60,0 кВт ч (как будет показано ниже, конкретная цифра значения не имеет). За этот день первая машинам пройдет 60 км (60,0/1,0), пробег отарой составит 100 км (60,0/0,6), т.е. в сумме- 160 км. Если же заменить индивидуальные значения признака их предполагаемым средним значением, то общий пробег, выступающий в данном случае в качестве определяющего показателя, сократится до 150 км (60,0/0,8 + 60,0/0,8). Следовательно, полученная средняя рассчитана неверно.

Средняя геометрическая.

Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

- незвешенная;

- взвешенная.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая.

Воснове вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

- невзвешенная;

- взвешенная.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Структурные средние(мода и медиана).

В отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.

Модой ( ) называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду).

Медианой ( ) называется значение признака, которое лежитв середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равныепо численности части.

Ранжированный ряд — ряд, расположенный в порядкевозрастания или убывания значений признака.

Для определения медианы сначала определяют ее местов ряду, используя формулу:

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану условно принимают среднюю арифметическую из двух срединных значений.

Мода применяется при экспертных оценках, при определении наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при планировании их производства. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях; при изучении распределения семей по величине дохода и др. Мода и медиана имеют преимущество перед средней арифметической для ряда распределения с открытыми интервалами.

Средняя арифметическая (простая) используется в тех случаях, когда данные не сгруппированы.

Средняя арифметическая (взвешенная). При расчете отдельные значения признака могут встречаться несколько раз. Расчет производится по сгруппированным данным или вариационным рядам.

Свойства средней арифметической:

2. Сумма отклонений индивидуального значения признака от средней равно 0.

3. Если все осредняемые варианты увеличить или уменьшить на постоянное число А, то значение средней также увеличится или уменьшится на число А.

4. Если все варианты значений признака увеличить или уменьшить в А раз, то значение средней увеличится или уменьшится соответственно в А раз.

5. Если все частоты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя не изменится.

6. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С.

Средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая величины.

1. Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Если в смысловой формуле ( не известен знаменатель, то в расчетах используется средняя гармоническая. Средняя гармоническая простая:

Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит отдельных частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение:

2. Средняя квадратическая применяется тогда, когда вместо отдельных значений признака представлены квадраты исходных величин.

3. Средняя геометрическая применяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней по относительным показателям.

Структурные средние величины.

Характеристиками структуры совокупности являются мода и медиана.

1. Мода (М0) – величина признака, наиболее часто встречающегося в совокупности, т е имеющая наибольшую численность в ряду распределения.

А) В дискретном ряду мода определяется визуально.

Б) В интервальном ряду визуально можно определить интервал, в котором находится мода (модальный интервал).

где х_Мо – нижняя граница модального интервала;

i _Мо – величина модального интервала;

f _Мо – частота модального интервала;

f _Мо-1 – частота, предшествующая модальному интервалу;

f _Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

2. Медиана (Ме) – значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда, т е делящее ряд распределения на две равные части.

А) В дискретном ряду определяется номер медианы по формуле:

Номер медианы показывает то значение показателя, которое является медианой.

Б) В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:

где х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i _Ме – величина медианного интервала;

f _Ме – частота медианного интервала;

S_Ме-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

å f_i /2 – полусумма частот ряда.

Показатели вариации.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются: размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значением признака.

Среднее линейное отклонение – это средний модуль отклонений значений признака от средней величины.

Дисперсия – средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.

простая взвешенная

Среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Эти четыре показателя позволяют получить абсолютное значение вариации, т е оценивают вариацию в единицах измерения исследуемой совокупности.

Коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении, относительно среднего уровня.

Если коэффициент рассматриваемой совокупности не превышает 33%, то ее можно считать однородной по рассматриваемому признаку.

Показатели вариации используются для:

1) анализа изменчивости изучаемого признака

2) оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого

При проведении такого анализа совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.004)

Читайте также: