Среднее значение квадрата скорости молекул кратко

Обновлено: 01.07.2024

В физике выделяют 2 скорости, характеризующие движение молекул: средняя скорость движения молекул и средняя квадратичная скорость.

Средняя скорость движения молекул

Средняя скорость движения молекул называется также скоростью теплового движения молекул.

Формула средней относительной скорости молекул в физике представлена следующим выражением:

υ o t n = 2 8 k T πm 0 = 2 υ .

Средняя квадратичная скорость

Средняя квадратичная скорость движения молекул газа это следующая величина:

υ k υ = 1 N ∑ i = 1 N υ i 2

Формулу средней квадратичной скорости можно переписать так:

υ k υ 2 = ∫ 0 ∞ υ 2 F υ d υ .

Проводя интегрирование, аналогичное интегрированию при получении связи средней скорости с температурой газа, получаем:

υ k υ = 3 k T m 0 = 3 R T μ

Именно средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа входит в состав основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

p = 1 3 n m 0 υ k υ ,

где n = N V – это концентрация частиц вещества, N – это количество частиц вещества, V – это объем.

Необходимо определить, как изменяется средняя скорость движения молекул идеального газа с увеличением давления в процессе, изображенном на графике (рисунок 1 ).

Решение

Запишем выражение для средней скорости движения молекул газа следующим образом:

Из графика видно, что p ~ ρ или p = C ρ , где C – это некоторая константа.

m 0 = ρ n , p = n k T = C ρ → k T = C ρ n

Подставив m 0 = ρ n , p = n k T = C ρ → k T = C ρ n в υ = 8 k T πm 0 , получаем:

υ = 8 k T πm 0 = 8 C ρ π n n ρ = 8 C π

Ответ: В процессе, представленном на графике, с увеличением давления средняя скорость движения молекул не меняется.

Можно ли найти среднюю квадратичную скорость молекулы идеального газа, если известно: давление газа ( p ) , молярная масса газа ( μ ) , а также концентрация молекул газа ( n ) ?

Решение

Применим выражение для υ k υ :

Помимо этого, из уравнения Менделеева-Клайперона и зная, что m μ = N N A :

p V = m μ R T = N N A R T .

Поделим правую и левую части p V = m μ R T = N N A R T на V , и зная N V = n , получаем:

p = n N A R T → R T = p N A n

Подставляем p = n N A R T → R T = p N A n в выражение для среднеквадратичной скорости υ k υ = 3 R T μ , получаем:

υ k υ = 3 p N A μ n

Ответ: По заданным в условии задачи параметрам среднеквадратичная скорость движения молекул газа вычисляется при помощи формулы υ k υ = 3 p N A μ n .

Температура — это уровень внутренней энергии, заключённой в хаотическом движении молекул вещества. Скорость конкретной молекулы может иметь весьма широкий диапазон, однако скорость большинства молекул лежит в достаточно узких пределах, поэтому в молекулярной физике используется среднее значение этой скорости. Как же оно определяется?

Среднее значение физической величины

Большинство физических величин, характеризующих конкретный объект, имеет вполне определённое значение. Однако, если рассматривается несколько объектов, измеренная величина может быть различна для каждого объекта. И для моделирования поведения системы этих объектов требуется учитывать все значения.

С возрастанием числа объектов измерять параметры для каждого объекта становится всё сложнее. Но при этом зачастую оказывается, что все измеряемые значения лежат в некоторых пределах, причём систему можно достаточно точно моделировать, пренебрегая мелкими отличиями параметров каждого объекта.

Когда число объектов очень велико (например, число молекул в теле), этот метод является единственно возможным. Более того, значение, полученное для одного конкретного объекта, практически не играет роли.

В таких случаях используется специальное значение, при котором суммарная ошибка параметра для всех объектов будет наименьшей. Это значение называется средним значением физической величины. Среднее значение может рассчитываться несколькими способами.

Рис. 1. Виды средних значений.

Скорость молекул газа

Газ — это хороший пример системы, которая состоит из большого числа движущихся объектов (молекул), при этом скорость каждой отдельной молекулы не имеет значения, и единственный способ оценки молекулярных движений — использование средней скорости.

Рис. 2. Движение молекул газа.

Простейший способ нахождения среднего значения — это суммирование всех значений и деление суммы на количество значений. Такое среднее называется средним арифметическим.

Для скорости молекул такое среднее не подходит. Скорости молекул имеют самые разные направления, и, какое бы направление мы не взяли, всегда окажется, что по этому направлению и против него движется одинаковое число молекул. Простая сумма скоростей будет равна нулю. Поэтому здесь используется среднее значение квадрата скорости молекул.

Особенности среднеквадратичного значения

Квадрат любого ненулевого числа положителен, поэтому значение в приведённой формуле также всегда будет положительным.

Ещё одно преимущество использования средней квадратичной скорости молекул состоит в том, что кинетическая энергия материальной точки находится по формуле:

Получается, что средняя квадратичная скорость молекул газа удобна для нахождения средней энергии молекулы, а она, в свою очередь, связана с макроскопическими параметрами — с температурой и давлением. Поэтому именно среднеквадратичная скорость используется в большинстве формул молекулярно-кинетической теории.

Рис. 3. Молекулярно-кинетическая теория.

Что мы узнали?

Средняя квадратичная скорость молекул газа — удобный показатель, широко использующийся в молекулярно-кинетической теории для определения макроскопических параметров — температуры и давления.

На этом уроке мы познакомимся с идеализированной моделью газа, которая так и называется – идеальный газ. Также мы рассмотрим опыты, позволяющие определить среднее значение квадрата скорости молекул.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Идеальный газ в молекулярно-кинетической теории. Среднее значение квадрата скорости молекул"

Газов в природе существует великое множество, и все они имеют определенные отличительные свойства. Но для исследований необходимо ввести некую идеализированную модель, которая так и называется: идеальный газ. Впервые ввести модель идеального газа предложил Михаил Ломоносов. Большой вклад в создание такой модели, как идеальный газ, внес Джеймс Джоуль, но все же, основной труд принадлежит Рудольфу Клаузиусу. Именно Клаузиус ввел модель идеального газа в 1857 году.

Итак, идеальный газ — это модель реального газа, взаимодействие между молекулами которого, пренебрежимо мало.

Упоминая об идеальном газе, мы предполагаем следующее:

· Молекулы газа очень малы и представляют собой упругие шарики.

· Молекулы этого газа двигаются беспорядочно.

· Взаимодействия между молекулами газа происходят только при соударениях, а соударения считаются абсолютно упругими.

Конечно, такого газа в природе не существует. Однако данная модель очень хорошо подходит для исследования тех свойств газов, которые мы будем рассматривать в дальнейшем. Надо сказать, что разряжённый водород, практически полностью соответствует модели идеального газа. Впрочем, при привычных нам температурах, таких, как комнатная температура, например, модель идеального газа достаточно хорошо описывает реальные газы, такие, как воздух.

Рассмотрим давление газа на стенки закрытого сосуда. Как вы знаете, давление газа возникает в результате соударений молекул газа со стенками сосуда. Прибор, измеряющий давление, называется манометр.

Конечно, манометр не может улавливать силу удара отдельных молекул. Манометр регистрирует среднюю по времени силу, которая действует на единицу площади поверхности. Если мы построим график зависимости давления от времени, то убедимся, что давление постоянно меняется.

Однако наблюдаются не хаотичные скачки давления, а сравнительно небольшие колебания вокруг какого-то среднего значения. Поэтому, давление оказывается вполне определенной величиной. В одном из предыдущих уроков мы убедились, что газы легко сжимаются, но при этом повышается давление. Теперь мы можем в этом ещё раз убедиться: очевидно, что если газ поместить в меньший объём, то количество соударений в единицу времени увеличится. Это увеличит среднюю силу, а, значит, давление тоже увеличится.

Но, чтобы вычислить среднее давление, необходимо знать среднюю скорость молекул. Точнее, как мы убедимся чуть позже, нам нужно знать значение не самой средней скорости, а квадрата средней скорости. Конечно же, проследить за всеми молекулами газа просто невозможно. Их очень много, все они движутся по хаотичной траектории, преодолевая несколько сотен метров в секунду. Но нас не интересует скорость отдельной молекулы. Нас интересует, к какому результату приводит движение всех молекул газа.

Приведем простой пример. Когда повар готовит ужин для большого количества людей, он не знает, кто сколько съест.

Но повар знает какое-то среднее количество еды, которое может съесть за ужином среднестатистический человек, и, исходя из этого, рассчитывает количество еды, которое необходимо приготовить.

Точно также, нам не надо знать скорости отдельных молекул. Нам необходимо знать какое-то среднее значение скорости, и, исходя из него, производить те или иные расчеты.

Обозначим скорости молекул за 𝑣₁,𝑣₂,…,𝑣_𝑛. Тогда среднее значение квадрата скорости будет вычисляться по формуле:

Напомним, что скорость — это векторная величина, а квадрат любого вектора равен сумме квадратов его проекций. Значит, среднее значение квадрата скорости будет равно сумме квадратов средних значений проекций скорости на координатные оси:

Разумеется, средние значения квадратов проекций на оси можно определить тем же способом:

Конечно, молекулы двигаются абсолютно беспорядочно, поэтому мы можем считать проекции на все три оси равноправными. То есть, мы справедливо можем предположить, что проекция на ось х равна проекциям на оси у и z. Таким образом, мы можем заключить, что среднее значение квадрата проекции скорости на любую ось равно одной третьей среднего значения квадрата самой скорости:

Напомним, что каждое тело, в частности газ, обладает макроскопическими и микроскопическими параметрами. К макроскопическим параметрам относятся давление, температура и объём. Как правило, именно с помощью макроскопических параметров мы характеризуем то или иное тело. Но макроскопические параметры зависят от микроскопических, таких, как масса, размеры и скорости молекул. В ближайшее время мы будем заниматься изучением того, как макроскопические параметры газа зависят от микроскопических.

На быстроту движения молекул в газе оказывают влияние следующие параметры:

Давление (возникает в результате ударов частиц о стенки сосуда).
Концентрация частиц (количество частиц в единице объема).
Температура (с увеличением температуры, частицы начинают двигаться быстрее, с уменьшением — замедляются).
Масса молекул.

Эта взаимозависимость выражается главным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

\(P=\frac13\times m_0\times n\times V^2\)

Где P — давление газа в Паскалях, \(m_0\) — масса молекулы в килограммах, n — концентрация частиц в \(м^3\) , V — скорость движения молекул в м/с.

Расчет по формуле

Для определения средней квадратичной скорости (обозначение — v) всех молекул в газе, нужно вычислить квадратный корень из средней арифметической величины квадратов скоростей каждой частицы.

В виде формулы это выглядит так:

Где \(v_1\) — \(v_n\) — это скорости молекул, N — их число в газе.

Расчет значения по такой формуле очень громоздок и сложен, поэтому для определения значения средней квадратичной скорости используют следующее уравнение:

Где R — универсальная газовая постоянная, равная примерно 8,31 Дж/Кхмоль, T — температура в Кельвинах, M — молярная масса в кг/моль.

Получается такое уравнение путем преобразования основного уравнения кинетической теории газов.

Читайте также: