Способы вычисления определителя матрицы кратко

Обновлено: 04.07.2024

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Начнем с двух простых способов

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определителем матрицы n × n будет число:

det(A) =	Σ	(-1) N( α ₁, α ₂. α_n ) · a _{α ₁1}· a _{α ₂2}·. · a _{α_nn}
( α ₁, α ₂. α_n )

где ( α ₁, α ₂. α_n ) - перестановка чисел от 1 до n , N( α ₁, α ₂. α_n ) - число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .

Свойства определителя матрицы

det(A -1 ) = det(A) -1

Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

Если квадратная матрица n -того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n -той степени:

B = k ·A => det(B) = k n ·det(A)

где A матрица n × n , k - число.

Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

$A=<<\left\| a_<ij> Определителем или детерминантом квадратной матрицы \right\|>_>$
называется число, которое ставится в соответствие этой матрицы.

Определитель матрицы обозначается вертикальными черточками или греческой буквой или

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное

$\left| \begin a_ & a_ \\ a_ & a_ \\ \end \right|=a_\cdot a_-a_ \cdot a_$

$\Delta =\left| \begin 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end \right|$

$\Delta =\left| \begin 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end \right|=1\cdot 3-2\cdot \left( -1 \right)=3+2=5$

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить, используя правило треугольника или правило Саррюса.

Правило треугольника. Определителем матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

$\begin \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ \end \right|=a_\cdot a_\cdot a_+a_\cdot a_\cdot a_+a_\cdot a_\cdot a_- \\ -a_\cdot a_\cdot a_-a_\cdot a_\cdot a_-a_\cdot a_\cdot a_. \\ \end$

Схематически это правило можно изобразить следующим образом

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|=1\cdot 3\cdot 2+3\cdot 2\cdot 1+2\cdot \left( -4 \right)\cdot \left( -1 \right)-3\cdot 3\cdot \left( -4 \right)-2\cdot 2\cdot 2-1\cdot 1\cdot \left( -1 \right)=49$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|$

$\begin \Delta =\left| \begin 1 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end \right|\quad \begin 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end\quad \begin 2 \\ 3 \\ -1 \\ \end= \\ =1\cdot 3\cdot 2+2\cdot 1\cdot 3+\left( -4 \right)\cdot 2\cdot \left( -1 \right)-3\cdot 3\cdot \left( -4 \right)-\left( -1 \right)\cdot 1\cdot 1-2\cdot 2\cdot 2=49 \\ \end$

Вычисление определителей высших порядков

Для вычисления определителей высших порядков, используется способ разложения определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. При этом вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.

$\det A=a_ A_+a_A_+\ldots +a_A_$

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения.

$\det A=a_ A_+a_A_+\ldots +a_A_$

а) разложив по 1-ой строке;

б) разложив по 1-му столбцу

$\Delta =\left| \begin 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ \end \right|$

$\Delta =a_ A_+a_A_+a_A_+a_A_$

Учитывая формулу для вычисления алгебраических дополнений =<\left( -1 \right)>^> ." width="149" height="24" />
Здесь " width="29" height="18" />
– минор элемента ," width="26" height="14" />
равный определителю, полученному из данного определителя вычеркиванием -той строки и -того столбца. Тогда

$\begin \Delta =2\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+1\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 3 \\ \end \right|+0\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ \end \right| +$

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

$\begin \Delta =2\cdot \left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-\left| \begin 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 3 \\ \end \right|-2\cdot \left| \begin 3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end \right|= \\ =2\left( 6+6+0-0-0-6 \right)-\left( 9-3+0-0+3-9 \right)-2\left( 0-2-2-0+2-6 \right) =$

$=12-0+16=28 \\ \end<matrix> $

б) По теореме о разложении определителя по элементам столбца, данный определитель разлагается по первому столбцу следующим образом

$\begin \Delta =a_A_+a_A_+a_A_+a_A_= \\ =2\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+3\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+\left( -1 \right)\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+ \\ +\left( -1 \right)\cdot <<\left( -1 \right)>^>\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end \right|=2\cdot \left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-3\cdot \left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end \right| \\ \end$

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника

$\begin \Delta =2\cdot \left| \begin 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-3\cdot \left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|-\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end \right|+\left| \begin 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end \right|=2\cdot \left( 6+6+0-0-0-6 \right)- \\ -3\cdot \left( 3+0+0-4-0-3 \right)-\left( 3+0+4-4-0-0 \right)+\left( 3+0+4-0-0-0 \right)=28 \\ \end$

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

определитель не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;
при перестановке строк или столбцов знак определителя меняется на противоположный;
определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на диагонали. Например, для верхнетреугольной матрицы

$A=\left( \begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ 0 & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & a_ \\ \end \right)$

$\det A=a_<11> определитель равен \cdot a_\cdot \ldots \cdot a_ .$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & 5 & 6 \\ -3 & -5 & 1 & 7 \\ -4 & -6 & -7 & 1 \\ \end \right|$

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & 5 & 6 \\ -3 & -5 & 1 & 7 \\ -4 & -6 & -7 & 1 \\ \end \right|=\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|$

Поменяем вторую и третью строку местами, при этом знак определителя изменится на противоположный

$\Delta =\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|=-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|$

Далее к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–5), а к четвертой, прибавим вторую, умноженную на (–2). Получим

$\Delta =-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|=-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 0 & -39 & -81 \\ 0 & 0 & -15 & -21 \\ \end \right|$

$\left( \frac<-15> К последней строке прибавим третью, умноженную на \right)$

$\Delta =-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \\ \end \right|=-\left| \begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 0 & -39 & -81 \\ 0 & 0 & 0 & \frac \\ \end \right|$

Теперь определитель равен произведению элементов на главной диагонали

$\Delta =-\left( 1\cdot 1\cdot \left( -39 \right)\cdot \frac<396> \right)=396$

В линейной алгебре важным понятием является определитель матрицы. Он используется для записи систем уравнений. Практически это таблица, заполненная числами. Так как математика строится на грамотной и последовательной системе определений, то для успешного решения задач нужно не только знать определители, но и разбираться в их характеристиках.

Понятие и термины

Кроме математики, матрицы нашли широкое применение в физике и других прикладных науках. Используются они и в программировании, где их называют массивами. Большинство экономических моделей также описывается достаточно простой и компактной матричной формой.

Матрица состоит из столбцов (n) и строк (m). Характеризуется она порядком и размерностью. Обычно говорят, что некий массив В имеет размер m на n. Записывают это как В = . Существует и другой вариант записи: В = (аij), где i и j – индексы, при этом 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. В учебниках же просто указывается разрядность в виде 2х2, 3х3 и так далее. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно величине столбцов.

Строки и столбцы начинают нумеровать сверху и с левой стороны. Если элементы массива равны нулю, то матрицу называют нулевой. Существует понятие главной диагонали. Располагается она сверху вниз слева. Расположенные на ней элементы называют диагональными. Когда они равны одному, а все остальные члены нулю, массив считается единичным.

Главной характеристикой массива является определитель, или детерминант. Им называют число, соответствующее алгебраической сумме всех возможных произведений столбцов на строки. Другими словами, чтобы найти значение детерминанта, нужно сумму элементов матрицы n умножить на её размерность m. При перемножении знак произведения определяется по числу инверсий. Их чётное количество соответствует положительному знаку, а нечётное – отрицательному.

Определитель — это число, которое определяет степень матрицы. Характеризуется он порядком. Так, определителем первого порядка называют значение, определяемое единственным элементом массива. Записывают его в виде выражения: A = , detA = |A| = a.

С матрицами можно выполнять любые арифметические действия и даже возводить в степень. Определитель вычисляется только в квадратной матрице, то есть в той, у которой число строк равно числу столбцов. Расчёт проводится с использованием специальных операций. Нахождение определителя построено на использовании ряда аксиом, дающих возможность вычислить характеристику матрицы любого порядка.

Параметры определителя

Использование свойств определителей даёт возможность сделать процедуру их вычисления проще. Если взять множество натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, K = , то с ними можно выполнить две операции: перестановку и транспозицию.

Читайте также: