Смысл натурального числа кратко

Таблица разрядов и классов чисел.

1-й класс единицы

1-й разряд единицы

2-й разряд десятки

3-й разряд сотни

2-й класс тысячи

1-й разряд единицы тысяч

2-й разряд десятки тысяч

3-й разряд сотни тысяч

3-й класс миллионы

1-й разряд единицы миллионов

2-й разряд десятки миллионов

3-й разряд сотни миллионов

4-й класс миллиарды

1-й разряд единицы миллиардов

2-й разряд десятки миллиардов

3-й разряд сотни миллиардов

Основные свойства натуральных чисел.

• Коммутативность сложения. a + b = b + a
• Коммутативность умножения. ab = ba
• Ассоциативность сложения. (a + b) + c = a + (b + c)
• Ассоциативность умножения.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Действия над натуральными числами.

1. Сложение натуральных чисел результат: сумма натуральных чисел.

Формулы для сложения:

(а + b) + с = а + (b + с)

2. Вычитание натуральных чисел – операция, обратная сложению: разница натуральных чисел.

Если в + с = а, то

Если а = в, то а - b = а – а = 0

Формулы для вычитания:

(а + b) – с = (а - с) + b

а – (b + с) = (а - b) – с

а + (b – с) = (а + b) – с

а – (b - с) = а – b + с

3. Умножение натуральных чисел : произведение натуральных чисел.

Формулы для умножения:

а ∙ b ∙ с = а ∙ (b ∙ с)

(а + b) ∙ с= а ∙ с + b ∙ с

(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с

4. Деление натуральных чисел – операция, обратная операции умножения.

Если b ∙ с = а, то

Формулы для деления:

(a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)

Числовые выражения и числовые равенства.

Запись, где числа соединяются знаками действий, является числовым выражением.

Записи, где знаком равенства объединены 2 числовых выражения, является числовыми равенствами. У равенства есть левая и правая части.

Порядок выполнения арифметических действий.

Сложение и вычитание чисел – это действия первой степени, а умножение и деление - это действия второй степени.

Когда числовое выражение состоит из действий только одной степени, то их выполняют последовательно слева направо.

Когда выражения состоят из действия только первой и второй степени, то сначала выполняют действия второй степени, а потом - действия первой степени.

Изучение математики начинается с натуральных чисел и действий с ними. Но интуитивно мы уже многое знаем с малых лет. В этой статье познакомимся с теорией и научимся правильно записывать и произносить сложные числа.

О чем эта статья:

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

• Наименьшее натуральное число: единица (1).
• Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен.
• У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д.
• Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Какие операции возможны над натуральными числами

• сложение:
  слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение:
  множитель × множитель = произведение;
• вычитание:
  уменьшаемое − вычитаемое = разность.

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Сколько всего натуральных чисел?

Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

1. Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком N_а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что N_а =

Например, отрезок N₇ - это множество натуральных чисел, не пре­восходящих числа 7, т. е. N₇ = .

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок N_а содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка N_а.

2) Если число х содержится в отрезке N_а и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в N_а.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника - конечное множество, так как оно равномощно отрезку N₃ = , т.е. А ~ N₃.

Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А - множество вершин треугольника, то n (А) = 3. Из данного определения и теоремы получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = n(А) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощностиконечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Содержание

Определение

Аксиомы Пеано

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. [1] , а также краткое доказательство [2] ), что если и ,\tilde 1, \tilde S)" width="" height="" />
— две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция " width="" height="" />
такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел, например, ту, что описана ниже.

Теоретико-множественное определение (Определение Фреге-Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Ноль как натуральное число

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют на . В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел " width="" height="" />
, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как _0" width="" height="" />
. Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как " width="" height="" />
, а без нуля как ^*" width="" height="" />
.

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество " width="" height="" />
обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают . Множество " width="" height="" />
зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают " width="" height="" />
.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
• Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
• Возведение в степень, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

где — дизъюнктное объединение множеств, — прямое произведение, — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответственно.

Читайте также:

  
• Плутарх о реформах солона кратко
  
• Порядок расторжения коллективного договора кратко
  
• Первичная обработка рыбы кратко
  
• Создание связей между таблицами в access кратко
  
• Опера это в музыке кратко для детей