Сложное движение точки кратко

Обновлено: 05.07.2024

Сложным движением считают движение, которое можно разложить на несколько простых. Простыми движениями считают поступательное и вращательное.

Для рассмотрения сложного движения точки выбирают две системы отсчета: подвижную и неподвижную.

Движение точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета называют сложным, или абсолютным.

Подвижную систему отсчета обычно связывают с движущимся телом. Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной называют переносным.

Движение материальной точки (тела) по отношению к подвижной системе называют относительным.

Примером может служить движение человека по эскалатору метро. Движение эскалатора — переносное движение, движение человека вниз или вверх по эскалатору — относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам станции — сложное (абсолютное) движение.

При решении задач используют теорему о сложении скоростей:

При сложном движении точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометрической сумме переносной () и относительной () скоростей:

— угол между векторами и .

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Сложным называют движение точки по отношению к двум или нескольким системам отсчета.

Законы Ньютона сформулированы для движения точки по отношению к инерциальным системам отсчета. Для определения кинематических параметров точки при движении относительно произвольно движущейся системы отсчета вводится теория сложного движения.

На рисунке 3.1 показаны:

условно принимаемая за неподвижную система отсчета O₁x₁y₁z₁;
движущаяся относительно неподвижной система отсчета Oxyz;
точка M, перемещающаяся по отношению к подвижной системе отсчета.

Движение точки M в данном случае является сложным. Её движение по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением.

Движение той точки подвижной системы отсчета, в которой в данный момент находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе отсчета называют переносным движением. Движение точки M по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением.

По аналогии с этими определениями будут называться относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорения точки. Для их обозначения в относительном движении часто всего используется индекс r (relative – относительный) — V_r , a_r; в переносном движении индекс e (entrained — увлекать за собой) — V_e , a_e.

Ниже приведен пример сложного движения точки — M.

На рисунке 3.2,а показан квадрат, вращающийся в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки. По стороне квадрата движется точка M. Она участвует в двух движениях, поэтому можно ввести две системы отсчета: неподвижную, например, O₁x₁y₁z₁ — по отношению к которой вращается квадрат и подвижную Oxyz, скрепленную с квадратом, по оси Oy которой движется точка M (рисунок 3.2,б).

Движение точки M по стороне квадрата (по оси Oy скрепленной с квадратом подвижной системы) является относительным — скорость в этом движении V_r.

Вращение точки M вместе с квадратом — переносное движение, скорость в этом движении — V_e. Абсолютное движение является результатом сложения переносного и относительного движений.

Определение сложного (составного) движения точки. Определение абсолютного, относительного и переносного движения, скорости и ускорения. Доказательство теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Кориолисово (поворотное) ускорение.

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где – кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи”.

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным.

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении – это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении – это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Пусть Oxyz – неподвижная система координат, O_n x_o y_o z_o – подвижная система координат, жестко связанная с телом. Пусть – единичные векторы (орты), направленные вдоль осей x_o , y_o , z_o подвижной системы координат. Тогда радиус-вектор точки M в неподвижной системе определяется по формуле:
(1) ,
где – радиус-вектор точки O_n – начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты x_o , y_o , z_o точки относительно тела. А векторы являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения:
(2) ;
(3) .

Относительная скорость точки при сложном движении – это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы , определяющие положение тела. Относительные координаты точки x_o , y_o , z_o являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая x_o , y_o , z_o постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения:
(4) ;
(5) .

Переносная скорость точки при сложном движении – это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от – это скорость и ускорение начала подвижной системы координат O_n : ; .

Найдем формулы для производных по времени от векторов . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Их скорости связаны соотношением:

(см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела”). Рассмотрим вектор , проведенный из точки A в точку B . Тогда
.
Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:
.
Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:
.
Поскольку векторы жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле:
(6) , , .

Подставляем в (4):

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5), получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где – угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки x_o , y_o , z_o .

Абсолютная скорость точки при сложном движении – это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении – это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Дифференцируем (1) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (2) и (4).
(1) ;
(7)
.

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

Доказательство

Дифференцируем (7) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (3) и (5).
(7) .

.

Движение точки по отношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную, называется абсолютным движением.

В ряде случаев движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета бывает удобно рассматривать как движение сложное, состоящее из двух одновременных движений: движения точки по отношению к некоторой подвижной системе отсчета и движения точки вместе с подвижной системой отсчета по отношению к неподвижной.

Так, например, движение какой-либо точки М колеса автомобиля (рис. 1.10.1.), совершающееся по отношению к Земле по кривой, называемой циклоидой, можно считать состоящим из двух простых движений: движения точки по окружности по отношению к корпусу автомобиля и движения этой точки вместе с поступательно движущимся корпусом автомобиля.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным движением.

Движение подвижной системы отсчета и всех неизменно связанных с ней точек по отношению к неподвижной системе отсчета называется переносным движением.

Чтобы определить переносное движение какой-либо точки в данный момент времени, надо мысленно прекратить относительное движение данной точки и определить ее движение вместе с подвижной системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета. Аналогичным приемом бывает иногда удобно пользоваться и для выяснения относительного движения точки. Чтобы его определить, надо мысленно прекратить переносное движение точки.

В приведенном выше примере круговое движение точки М по отношению к движущемуся корпусу автомобиля есть, очевидно, относительное движение. Если эту точку мысленно неизменно связать с корпусом автомобиля, то ее движение вместе с ним будет переносным движением. Движение же точки М (по циклоиде) по отношению к Земле—абсолютное движение.

Приведем для пояснения еще один пример. Движение человека по палубе движущегося по реке парохода есть движение относительное. Движение точки палубы парохода, в которой в данный момент находится человек, относительно берега реки—переносное движение, а движение человека относительно берега — абсолютное движение.

Условимся обозначать абсолютную скорость точки принятым ранее символом , а относительную и переносную скорости тем же символом, но с соответствующими подстрочными индексами: отн — для относительного движения ( ) и пер—для переносного движения ( ).

Абсолютной скоростью данной точки называется ее скорость по отношению к неподвижной системе отсчета.

Относительной скоростью данной точки называется ее скорость по отношению к подвижной системе отсчета.

Переносной скоростью какой-либо точки М называется абсолютная скорость той неизменно связанной с подвижной системой точки, с которой совпадает в этот момент данная точка М.

Так. как только при поступательном движении подвижной системы отсчета скорости всех связанных с ней точек одинаковы, то лишь в этом случае переносная скорость движущейся точки не зависит от ее положения относительно подвижной системы отсчета и под ней в этом случае можно понимать скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

1.10.2. Теорема сложения скоростей.Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей:

Так как при геометрическом сложении двух скоростей точки ее результирующая скорость изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих скоростях как на сторонах, то данную теорему называют часто правилом параллелограмма.

Если модули переносной и относительной скоростей точки и угол между их направлениями известны, то модуль абсолютной скорости находится на основании теоремы косинусов (совершенно так же, как и при сложении двух сил, приложенных к одной точке):

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение абсолютного, относительного и переносного движения точки.

2. Что называется абсолютной, относительной, переносной скоростью точки?

3. Сформулируйте теорему о скорости точки в сложном движении.

1.10.1. Абсолютное, относительное и переносное движение точки.

1.10.1. Теорема сложения скоростей.

Движение точки по отношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную, называется абсолютным движением.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным движением.

Абсолютной скоростью данной точки называется ее скорость по отношению к неподвижной системе отсчета.

Относительной скоростью данной точки называется ее скорость по отношению к подвижной системе отсчета.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение абсолютного, относительного и переносного движения точки.

В физике, при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО) возникает понятие сложного движения — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух системах отсчета (далее СО).

Содержание

Геометрия задачи

абсолютное движение — это движение точки/тела в базовой СО.
относительное движение — это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
переносное движение — это движение подвижной системы отсчета относительно базовой системы отсчета.

[2] Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений. Например, переносная скорость — это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

С точки зрения только чистой кинематики (задачи пересчета кинематических величин — координат, скоростей, ускорений — от одной системы отсчета к другой), являющейся в сущности предметом просто математического анализа, не имеет значения, является ли какая-то из систем отсчета инерциальной или нет; это никак не сказывается на формулах преобразования кинематических величин при переходе от одной системы отсчета к другой (то есть эти формулы можно применять и для перехода от одной произвольной неинерциальной вращающейся системы отсчета к другой).

Однако для динамики инерциальные системы отсчета (или, для практики, системы отсчета, которые можно в достаточно хорошем приближении считать инерциальными) имеют выделенное значение: в них динамические уравнения имеют гораздо более простую запись и обычно (именно поэтому) формулируются изначально именно для инерциальных систем отсчета. Поэтому особенно важны случаи перехода от инерциальной системы отсчета к другой инерциальной, а также от инерциальной к неинерциальной и обратно; последнее позволяет кроме прочего получить при желании и динамические уравнения в виде, верном для неинерциальной системы отсчета, исходя из их простой (изначальной) формулировки, сделанной для инерциальных систем отсчета.

В дальнейшем изложении, по умолчанию, для тех случаев, когда это существенно, базовая СО предполагается инерциальной, а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Кинематика сложного движения точки

Представлен изменением радиуса вектора, рассматриваемого в виде суммы векторов переносного и относительного движений

$\vec r = \vec R + \vec <r$

(1)

Скорость

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть:

$\vec V_r = \vec V_R + \vec V _<r^ \prime> $

$\frac<d\vec r> = \frac<d(\vec R + \vec <r$
.

Ускорение

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.

Положение материального тела в условно неподвижной и инерциальной системе задаётся здесь вектором , а в неинерциальной системе — вектором . Положение начала координат второй системы отсчета в первой системе отсчета определяется вектором . Угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной задаётся вектором . Линейная относительная скорость тела по отношению к неинерциальной (вращающейся) системе отсчета ( считая ее при этом неподвижной ) задаётся вектором _r" width="" height="" />
.

$\vec a_r = \frac<d^2 \vec <R> > \ \ + \ \ \frac\times \vec <ul> <li>Здесь первый член — переносное поступательное ускорение второй системы относительно первой,</li> </ul><ul> <li>второй член — переносное вращательное ускорение второй системы, возникающее из-за неравномерности ее вращения.</li> </ul><ul> <li>третий член представляет собой вектор, противоположно направленный осестремительной составляющей$
вектора " width="" height="" />
, перпендикулярной (что можно получить, рассматривая это двойное векторное произведение - оно равно \omega^2 " width="" height="" />
) и потому представляет собой осестремительное ускорение (оно совпадает с нормальным переносным ускорением той точки вращающейся системы , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, не путать с нормальным ускорением движущейся точки , направленным по нормали к ее траектории ).

сумма первых трех членов называется переносным ускорением .

четвертый член есть Кориолисово ускорение, порождаемое взаимным влиянием переносного вращательного движения второй системы отсчета и относительного поступательного движения точки относительно ее.

последний член — ускорение точки относительно второй системы отсчета ( считая ее неподвижной ).

Кинематика сложного движения тела

Рис.2 Траектории одного и того же движения в разных системах отсчёта. Вверху в инерциальной системе дырявое ведро с краской несут на колосниках по прямой над поворачивающейся театральной сценой. Внизу в неинерциальной (след от краски для стоящего на сцене наблюдателя)

Кинематика движения, основанная на анализе траектории движущегося тела в общем случае не даёт полной информации для классификации этих движений. Так, движение по прямой в неинерциальной системе отсчёта может быть криволинейным (и, следовательно, обусловленным действующими на тело силами) в инерциальной СО. И, наоборот, прямолинейное в инерциальной СО может быть криволинейным (См. Рис.2) в не инерциальной, и, следовательно, провоцировать представление о якобы действующих на тело силах.

Согласно Первому закону Ньютона все виды движений при их рассмотрении в инерциальной системе координат могут быть отнесены к одной из двух категорий. А именно — к категории прямолинейных и равномерных (то есть имеющих постоянную скорость) движений, возможных исключительно при отсутствии нескомпенсированных сил, действующих на тело.

К другой категории относятся все остальные виды движений.

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными, абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. В общем случае движение будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела. Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

Рис.4 Реальное ослабление напряжённости гравитационного поля земли под действием фиктивной силы инерции (центробежной силы), создающей ускорение . Чертёж относится к неинерциальной СО, связанной с поверхностью вращающейся Земли. (Picture by [3] , [4] )

Концепция Ньютона о пропорциональности получаемого телом ускорения под действием любой силы выполняется всегда. Альтернатив этой концепции в классическом разделе материалистической физики нет. Однако при рассмотрении движений в неинерциальной системе отсчёта, наряду с силами, происхождение которых можно проследить как результата взаимодействия с другими телами и полями, невозможно не учитывать и силы инерции, имеющие место в системе отсчёта вследствие её неинерциальности. Нередко эти силы называют фиктивными, но не по причине их отсутствия в действительности, а по причине их происхождения. [5]

Однако по Ньютону все силы проявляют себя одинаково (механически) и их происхождение в формулировке законов никак не отражено. [6]

Примером вполне реальной фиктивной силы инерции является широтный эффект ослабления силы тяжести по мере приближения к экватору, который отражается, например, на замедлении хода маятниковых часов.(Рис.4)

Сила Кориолиса, вызывающая неодинаковость размыва берегов рек, текущих в меридиональном направлении, также есть фиктивная сила инерции [7]

Релятивистская механика

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:

$\vec u$

в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Однако вводится величина — быстрота — которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.

Неинерциальные СО

Связь скоростей и ускорений в системах отсчёта, движущихся друг относительно друга ускоренно, является значительно более сложной и определяется локальными свойствами пространства в рассматриваемых точках (зависит от производной тензора Римана).

Читайте также: