Сложение параллельных сил теоретическая механика кратко

Обновлено: 04.07.2024

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются системой параллельных сил.
При этом силы, линии действия которых параллельны, но векторы направлены в противоположные стороны, называют антипараллельными.

Из физики известно, что две параллельные силы, направленные в одну сторону, эквивалентны равнодействующей, которая равна сумме этих сил, параллельна им и направлена в ту же сторону; линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения данных сил на части, обратно пропорциональные модулям этих сил:

Применяя производную пропорцию, можно записать:

Разложение данной силы на две параллельные составляющие производится с помощью формул сложения двух параллельных сил.
Разложение силы на две параллельные составляющие есть задача неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений. Для того чтобы задача имела определенное решение, необходимо иметь два дополнительных условия, например модуль одной составляющей и длину одного плеча, длины двух плеч и т. п.

Сложение двух неравных антипараллельных сил

Рассмотрим случай сложения двух не равных по модулю антипараллельных сил (случай, когда такие силы равны по модулю особый, мы его рассмотрим на следующей странице) .

Теорема

Две неравные антипараллельные силы эквивалентны равнодействующей, которая равна разности данных сил, параллельна им и направлена в сторону большей силы; линия действия равнодействующей делит отрезок, соединяющий точки приложения сил на части, обратно пропорциональные величине этих сил.

Рассмотрим две антипараллельные силы F₁ и F₂ , причем F₁ > F₂ .
Разложим силу F₁ на две параллельные составляющие F_Σ и F₂' так, чтобы составляющая F₂' была приложена в точке В и равнялась по модулю силе F₂ . Тогда на основании теоремы о сложении двух параллельных сил, направленных в одну сторону, получим:

Из этих равенств найдем модуль составляющей F_Σ и расстояние АС до точки ее приложения (известно, что F₂' = F₂ ). Данная система сил ( F₁ и F₂ ) заменена системой трех сил:

Отбросив на основании аксиомы IV две взаимно уравновешивающие силы F₂ и F₂' , получим, что данная система эквивалентна одной силе, т. е. равнодействующей F_Σ . Модуль и точка приложения равнодействующей определяются по формулам:

На основании можно сделать вывод, что равнодействующая двух параллельных сил равна их алгебраической сумме.
Если на тело действует n параллельных сил, то производя последовательное сложение сначала двух сил, затем их равнодействующей с третьей силой и т. д., найдем модуль и линию действия равнодействующей всей системы параллельных сил.
Очевидно, что равнодействующая системы параллельных сил определится в результате, как алгебраическая сумма всех сил данной системы.
Таким образом, равнодействующая системы параллельных сил равна их алгебраической сумме:

Найдем равнодействующую двух действующих на твердое тело параллельных сил в двух случаях:

1. Силы направлены в одну сторону.

Равнодействующая двух действующих на абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в туже сторону. Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения слагаемых сил на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных этим силам.

, . (1.15)

2. Силы направлены в разные стороны.

Равнодействующая двух действующих на абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в разные стороны, равна по модулю разности модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит вне отрезка, соединяющего точки приложения слагаемых сил, на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных силам.

, . (1.16)

С помощью приведенных формул можно решать задачи и о разложении силы на две ей параллельные.

Пара сил

Пара сил - это система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил.

Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.

Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары.

Пара сил не имеет равнодействующей. Действие пары на тело сводится к некоторому вращательному эффекту, численно характеризуемому моментом пары сил.

Моментом пары сил называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из силы пары на ее плечо

. (1.17)

Свойства пары сил

1. Действие пары сил на тело не изменится, если у нее произвольным образом изменить силы и плечо при неизменном моменте пары.

2. Не изменяя действия пары сил, ее можно переносить произвольным образом в плоскости ее действия.

3. Пару сил можно повернуть в плоскости ее действия на любой угол.

4. Действие нескольких пар сил, приложенных в одной плоскости, можно заменить одной парой сил, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных пар сил.

Условие равновесия плоской системы сил

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на оси координат и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки равнялись нулю

. (1.18)

Теорема о параллельном переносе силы

Теорема: Силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Приведение плоской системы сил к заданному центру

Пользуясь теоремой о параллельном переносе, систему сил, действующую на твердое тело, можно перенести в одну точку. Эту точку будем называть центром приведения.

При этом сила ,равная геометрической сумме всех сил системы, называетсяглавным вектором системы, а величина , равная сумме моментов всех сил системы относительно центра приведенияO, называется главным моментом системы относительно центра O.

Теорема: Всякая плоская система сил, при приведении к произвольному центру O заменяется одной силой R, равной главному вектору системы, и приложенной в центре приведения, и одной парой с моментом M_O, равным главному моменту системы относительно центра O.

Разложение данной силы на две параллельные составляющие производится с помощью формул сложения двух параллельных сил.

Разложение силы на две параллельные составляющие есть задача неопределенная, имеющая бесчисленное множество решений. Для того чтобы задача имела определенное решение, необходимо иметь два дополнительных условия, например модуль одной составляющей и длину одного плеча, длины двух плеч и т. п.

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. 4.1).

Несмотря на то, что векторная сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнет вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары

Кратчайшее расстояние между параллельными линиями действия сил называется плечом пары.

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент ее считается положительным (см. рис. 4.1), если по часовой стрелке — отрицательным.

Для того чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 4.2).

Нетрудно доказать, что вектор момента пары есть вектор векторного произведения (см. рис. 4.2). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки , точки приложения второй силы .

О точке приложения вектора будет сказано ниже. Пока приложим его к точке .

Свойства пар

Покажем радиусы-векторы точек и и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повернута в своей плоскости, действие ее на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары .

Поэтому можно сформулировать еще два свойства.

Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.
Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь величиной момента, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах и плече момент пары . Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо . При этом момент останется прежним 20 Нм и действие пары на тело не изменится.

Все эти свойства можно объединить и сделать вывод, что пары с одинаковыми векторами момента и неважно где расположенные на теле оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Поэтому на расчётных схемах пару можно изображать в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом написать величину момента . Или, если это пространственная конструкция, показывать только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит, вектор момента пары — свободный вектор.

И еще одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из сил ее относительно точки приложения второй силы, то по аналогии с III, §3 момент пары сил относительно какой-либо оси есть проекция вектора момента пары на эту ось:

где — угол между вектором и направлением оси .

Сложение пар

Пусть даны две пары с моментами и , расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. 4.4).

Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными . Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны

а образующих вторую пару:

Эти пары показаны на рис. 4.4, где

И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой на линии пересечения плоскостей.

Сложив силы, приложенные к точкам и , построением параллелограммов получим их равнодействующие

Так как то эти силы и будут образовывать пару с моментом , где — радиус-вектор точки , совпадающий с .

Так как , то момент полученной пары

Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, получится пара сил. Момент ее будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.

При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоскостях, получим пару с моментом

Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоскости, перпендикулярной вектору .

Равенство нулю момента результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие равновесия пар

Если пары расположены в одной плоскости, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно определить как алгебраическую сумму моментов пар.

Например, пары, показанные на рис.4.5, расположены в одной плоскости и моменты их

Пары уравновешиваются, потому что алгебраическая сумма их моментов равна нулю

Эта теория взята со страницы помощи с решением заданий по теоретической механики, там найдёте другие лекции и примеры решения задач или сможете заказать онлайн помощь:

Кстати возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: