Скатывание тел с наклонной плоскости теория кратко

Обновлено: 05.07.2024

Цель работы: приобрести некоторые навыки самостоятельного исследования физических явлений и обработки полученных результатов.

Оборудование и принадлежности: наклонная плоскость (трибометр), линейка масштабная, набор тел, весы, секундомер.

Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.

Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.

При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.

Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.

Краткая теория

Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести , сила трения , и сила реакции со стороны плоскости . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.

Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)

или в скалярном виде в проекциях:

Уравнение моментов относительно оси

При отсутствии проскальзывания

Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела

где - масса шара (цилиндра), - скорость поступательного движения центра масс, - момент инерции шара, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.

Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения и реакции, плоскости равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения ( ). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести

или проинтегрировав выражение (2) в пределах от до , получим,

где - кинетическая энергия тела в конце наклонной плоскости, - начальная энергия (кинетическая) тела, ; - длина наклонной плоскости, тогда энергия тела

Поступательное движение тела по наклонной плоскости происходит равноускоренно, поэтому можно записать

где - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости, - начальная скорость, она равна нулю, поэтому

Выражение (4) с учетом (6) и (7) может быть записано

где – ускорение поступательного движения тела при скатывании по наклонной плоскости.

Так как это равноускоренное движение с начальной скоростью , то можно записать или , подставляя значение а в (8) окончательно получим

где - время скатывания тела по наклонной плоскости, - радиус шара (цилиндра), - масса шара (цилиндра), - угол наклона плоскости к горизонту, - длина наклонной плоскости.

Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.

Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.

№ п/п

Форма скатывающегося тела

Масса , кг

Радиус , м

Длина наклонной плоскости (м)

Время скатывания, с

Момент инерции , кг·м 2

Определить для каждого случая погрешность при определении .

Определите значение момента инерции для каждого тела теоретически. Сравните значение момента инерции тел определенных теоретически и из эксперимента и в случае их несовпадения объясните причину.

1. Дать определение момента сил. Записать в векторной форме. Как направлен момент сил относительно силы? Что такое радиус-вектор действия силы? Нарисовать и показать на рисунке.

2.Какое направление имеют угловое ускорение, угловая скорость?

3. Дать определение момента инерции материальной точки и абсолютно твердого тела. Физический смысл инерции.

4. Вывести момент инерции шара и цилиндра.

5. Доказать теорему Штейнера.

6. Сформулировать закон сохранения энергии при вращательном движении.

7. Вывести формулу дня расчета кинетической энергии с учетом вращения тела.

8. Вывести закон сохранения момента импульса системы тел.

9. Дать определение центра масс системы теп.

10.Сформулировать условие, при которых тело скатывается без проскальзывания и вывести формулы, используемые в расчете.

11.Сформулировать законы динамики для вращательного движения и вывести их для .материальной точки и для абсолютно твердого тела.

12.Объясните, как рассчитывали погрешность измерений в работе.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1) Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006.

2) Александров И.В. и др. Современная физика [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов всех форм обучения, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям - Уфа: УГАТУ, 2008.

3) Гринкруг М.С., Вакулюк А.А. Лабораторный практикум по физике [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2012.

4) Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

В ГОРОДЕ СТЕРЛИТАМАКЕ

Методические указания

к лабораторной работе по курсу общей физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

Определение коэффициента
внутреннего трения жидкостей

Цель работы: определить коэффициент внутреннего трения неизвестной жидкости по методу Стокса.

Приборы и оборудование: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, секундомер, шарики разного диаметра, микрометр.

Краткая теория

На всякое тело, двигающееся в вязкой жидкости, действует сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т.д.

Сила внутреннего трения, возникающая при макроскопических движениях в жидкости, прямо пропорциональна градиенту скорости. Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента внутреннего трения, или просто вязкости жидкости. Вязкость (или динамическая вязкость) численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев жидкости, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины, т.е.~ при .

Закон (1) был получен Ньютоном из анализа экспериментальных данных и явился основой при изучении движения вязкой жидкости и газа.

Рассмотрим для примера равномерное движение маленького шарика радиуса вжидкости.

Обозначим скорость шарика относительно жидкости через .

Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рисунке 1. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии от поверхности. Очевидно, что чем больше радиус шара, тем больше масса жидкости вовлекается им в движение, и должно быть пропорционально

Величина коэффициента пропорциональности в (2), вообще говоря, несколько различна для передней и задней частей движущегося тела, и под мы будем понимать среднее значение этого коэффициента. Тогда среднее значение градиента скорости по поверхности шара равно:

Поверхность шара и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

Интегрирование уравнений движения вязкой жидкости, проведенное Стоксом, дало для шара значение . Следовательно, сила сопротивления, испытываемая шаром, движущимся в вязкой жидкости, прямо пропорциональна вязкости , радиусу шара , скорости его движения :

Формула (5) носит название закона Стокса.

Формула Стокса применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости, и сила сопротивления возрастает пропорционально квадрату скорости, а не первой его степени.

Роль трения характеризуется безразмерной величиной, называемой числом Рейнольдса :

где - линейные размеры, характерные для рассматриваемого течения жидкости. В случае течения жидкости по трубе - радиус трубы, - средняя скорость. Отношение называется кинематическим коэффициентом вязкости.

Для того, чтобы пояснить роль числа Рейнольдса, рассмотрим элемент объема жидкости с длиной ребра . Кинетическая энергия этого объема равна:

Сила трения, действующая на элемент объема жидкости, пропорциональна его поверхности , коэффициенту вязкости и градиенту скорости. Полагая, что скорость падает до нуля на расстоянии равном по порядку величины (в случае течения по трубе – в радиальном направлении), получим, что градиент скорости равен . Таким образом, сила трения

Работа этой силы на пути равна

Роль трения при течении жидкости мала, если работа мала по сравнению с кинетической энергией объема жидкости , то есть если выполняется неравенство

Но - Re есть число Рейнольдса.

Таким образом, роль сил трения при течении жидкости мала при больших числах Рейнольдса.

Рассмотрим свободное падение шарика в вязкой жидкости.На шарик действует 3 силы: сила тяжести, архимедова сила, сила сопротивления, зависящая от скорости. Найдем уравнение движения шарика в жидкости.По второму закону Ньютона

Проецируя силы на ось , получим:

где - объем шарика; - его плотность; - плотность жидкости; - ускорение силы тяжести.

Решая это уравнение, найдем

В формуле (7) приняты обозначения: – скорость шарика в момент начала его движения в жидкости, т.к. у нас скорость установившаяся, то ускорение шарика равно нулю, и из уравнения (6) следует:

Как видно из (7), скорость шарика экспоненциально приближается к установившейся скорости . Установление скорости определяется величиной , имеющей размерность времени и называющейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, процесс установления скорости можно считать закончившимся.

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шарика и величины , можно определить коэффициент внутреннего трения жидкости по формуле

Указание: шарики с разными радиусами движутся в жидкости с равными скоростями и с разными временами релаксации. Если во всем диапазоне встречающихся скоростей и времен релаксации вычисленные по формуле (10) значения оказываются одинаковыми то формула (5) правильно передает зависимость сил от радиуса шарика. Зависимость или независимость от служит чувствительным индикатором правильности теории и надежности эксперимента. Результаты опыта имеет смысл обрабатывать лишь в том случае, если значение не обнаруживает систематической зависимости от . Если такая зависимость наблюдается, то чаще всего это связано с влиянием стенок сосуда.

В этом случае следует использовать более точную формулу:

где – радиус сосуда.

Задание 1. Вычисление плотности шариков.

1. С помощью микрометра определить диаметр шарика.

2. Произвести измерения не менее трех раз для каждого шарика.

3. Вычислить средние значения диаметров шариков.

4. С помощью весов определить массы шариков.

6. Вычислить плотность по формуле: .

7. Результат занести в таблицу 1.

, м	, м	, м	, м	, м	, м 3	, кг	, кг/м 3	, кг/м 3
1.
2.
3.

Задание 2. Вычисление коэффициента вязкости.

1. С помощью электронного секундомера измерить время падения шарика от верхней метки до нижней.

2. Провести измерения не менее трех раз.

3. Вычислить среднее значение времени падения шарика.

4. Вычислить среднее значение по формуле: , где - расстояние от верхней до нижней меток.

6. Вычислить среднее значение по формуле (10).

7. Результаты занести в таблицу 2.

, с	, с	, с	, с	, м/с	, Па·с	, Па·с
1.
2.
3.

Контрольные вопросы

1. Вывести уравнение Бернулли, Пуазейля, Стокса.

2. Что такое коэффициент внутреннего трения? Динамическая и кинематическая вязкости и их связь между собой.

3. Что характеризует собой число Рейнольдса?

4. Ламинарное и турбулентное течение и их связь с числом Рейнольдса.

5. Каковы границы применимости закона Стокса?

6. Какие методы определения силы трения существуют?

7. Как объяснить механизм явления вязкого трения?

8. От каких физических величин зависит трение?

9. Какие преобразования энергии происходят при движении тел с учетом силы трения?

10. Чему равна величина силы трения покоя, скольжения?

11. Расскажите о трении скольжения, покоя, вязкого трения и трения качения.

12. Почему трение скольжения больше трения качения?

13. Почему вязкое трение меньше трения скольжения?

14. Как трение проявляется в природе? Когда оно играет положительную, отрицательную роль? Как избавиться от трения?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1) Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006.

3) Гринкруг М.С., Вакулюк А.А. Лабораторный практикум по физике [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2012.

4) Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.

Динамика и кинематика - это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Основная формула динамики

Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:

Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.

В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:

Здесь M и I - моменты силы и инерции, соответственно, α - угловое ускорение.

Формулы кинематики

Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:

Здесь v₀ - значение начальной скорости тела, S - пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак "+" следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак "-". Это важный момент.

Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:

Здесь α и ω - угловые ускорение и скорость, соответственно, θ - угол поворота вращающегося тела за время t.

Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:

Здесь r - радиус вращения.

Движение по наклонной плоскости: силы

Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.

Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:

тяжести;
реакции опоры; и/или скольжения;
натяжение нити;
сила внешней тяги.

Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.

Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.

Методика решения

Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна силе реакции опоры. Все эти показатели могут иметь различные параметры.

Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:

Где N - реакция опоры, µ - коэффициент трения, не имеющий размерности.

Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:

Здесь φ - это угол наклона плоскости к горизонту.

Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.

В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:

Где F_r - сила трения качения. Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F_r создает следующий момент:

Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.

Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.

Задача на движение бруска по наклонной плоскости

Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.

Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:

Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:

Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.

Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром

Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.

Запишем соответствующие уравнения:

Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:

Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F_r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:

Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.

Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:

Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:

Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.

Применение закона сохранения энергии
при скатывании тел с наклонной плоскости

При скатывании тел (например, обруча, сплошного цилиндра, шара)
с наклонной плоскости считаем, что скатывающееся тело обладает сим-
метрией вращения относительно геометрической оси и при движении не
возникает скольжения (рис. 1.7.12).

Пусть с наклонной плоскости высотой h без скольжения скатыва-
ются: обруч; сплошной цилиндр; шар. Определим скорости, которые бу-
дут иметь тела у основания наклонной плоскости. Радиусы тел равны R.

При скатывании тела с наклонной плоскости согласно закону сохра-
нения энергии потенциальная энергия тела переходит в кинетическую

энергию поступательного движения со скоростью  центра масс и кинети-
ческую энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс:

Галилей использовал наклонную плоскость с гладкой канавкой посередине, по которой скатывались латунные шары. По водным часам он засекал определённый интервал времени и фиксировал расстояния, которые за это время преодолевали шары. Галилей выяснил, что если время увеличить в два раза, то шары прокатятся в четыре раза дальше (т.е. зависимость квадратичная). Это опровергало мнение Аристотеля, что скорость шаров будет постоянной.

2. Скатывание с наклонной плоскости шаров, цилиндров и труб.

Ускорение тела, скатывающегося с наклонной плоскости без проскальзывания, равно a= g·sinα / (1+I/mR²), где I - момент инерции, R - внешний радиус, m - масса тела. Время скатывания T = √ 2L/a ~ a -1/2 , где L - длина наклонной плоскости.

I_шар = 2mR²/5 = 0,40·mR² (сплошной шар)
I_{цилиндр} = mR²/2 = 0,50·mR² (сплошной цилиндр)
I_сфера = 2mR²/3 = 0,67·mR² (сфера с тонкими стенками)
I_труба = mR² = 1,0·mR² (труба с тонкими стенками)

Рассмотрим два сплошных цилиндра, движущихся вниз по наклонной плоскости: один цилиндр скатывается без проскальзывания, а другой соскальзывает без трения. В случае соскальзывания вращения нет и a= g·sinα. Поэтому соскальзывающий цилиндр достигнет конца наклонной плоскости первым. T_{скатывания}/T_{соскальзывания} = (1+I/mR²) 1/2 = 1.22

Если два цилиндрических тела скатываются вниз по наклонной плоскости без проскальзывания, то тело с меньшим моментом инерции достигнет конца наклонной плоскости первым. Таким образом, в паре полый цилиндр (труба) и сплошной цилиндр последний достигнет конца наклонной плоскости раньше трубы. T_т/T_ц = (2.0/1.5) 1/2 = 1.15

Далее заменим трубу сплошным шаром такого же радиуса. В этом случае отставание цилиндра от шара мало, так как их моменты инерции близки: I_шара = 0.40·mR², I_{цилиндра} = 0.50·mR² Найдём отношение времени скатывания цилиндра ко времени скатывания шара. T_ц/T_ш = (1.5/1.4) 1/2 = 1.035. Шар скатывается на 3.5% быстрее.

Читайте также: