Синус косинус тангенс угла 9 класс геометрия кратко
Обновлено: 06.07.2024
В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
Из точки О проведём луч m, который пересекает построенную полуокружность в точке М с координатами х; у.
Обозначим угол между лучом m и положительной полуосью абсцисс буквой α.
Если угол α острый, то в прямоугольном треугольнике МОН длина катета ОН равна значению абсциссы точки М, то есть х, длина катета МН равна ординате точки М, то есть у, а длина гипотенузы ОМ равна единице.
В прямоугольном треугольнике МОН синус острого угла α равен отношению противолежащего катета МН к гипотенузе ОМ:
sin α = (МН)/(ОМ/) = y/1 = y
То есть синус острого угла α равен ординате у точки М:
sinα = y
В прямоугольном треугольнике МОН косинус острого угла α равен отношению прилежащего катета ОН к гипотенузе ОМ:
cosα = ОН/ОМ = x/1 = x
То есть косинус острого угла α равен абсциссе х точки М:
cosα = x
Если угол альфа прямой, тупой, развёрнутый или равен нулю, то синус и косинус угла определяется по тем же формулам.
Таким образом, для любого угла α из промежутка от 0 до 180 градусов синусом угла α называется ордината соответствующей точки М единичной полуокружности, а косинусом угла α – абсцисса данной точки:
если 0°≤ α ≤180°, то
sinα = y,
cosα = x,
где (x; y) – координаты соответствующей точки единичной полуокружности.
Так как абсциссы всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от минус единицы до единицы, то справедливо неравенство: –1 ≤ cosα ≤1
Так как ординаты всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от нуля до единицы, то справедливо неравенство: 0 ≤ sinα ≤1
Тангенсом угла альфа называется отношение синуса альфа к косинусу альфа:
tg α = sinα/cosα
Котангенсом угла альфа называется отношение косинуса альфа к синусу альфа:
ctg α = cosα/sinα
Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, равного нулю градусов. Для этого рассмотрим луч ОА. Он пересекает единичную полуокружность в точке А. Ордината точки А равна нулю, значит синус нуля градусов равен нулю: sin0° = 0. Абсцисса точки А равна единице, значит косинус нуля градусов равен одному: cos0° = 1. Чтобы найти значение тангенса угла, равного нулю градусов, разделим значение синуса этого угла на значение косинуса. Тангенс угла, равного нулю градусов, равен нулю: tg 0° = sin 0°/cos0° = 0/1 = 0. Котангенс угла, равного нулю градусов не определён, так как синус угла, равного нулю градусов, равен нулю и в формуле котангенса знаменатель обращается в нуль: ctg α = cos0°/sin0° = 1/0 – значение не определено
Рассмотрев лучи ОВ и ОС, получим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов девяносто градусов и сто восемьдесят градусов:
sin 90° = 1, cos 90° = 0,
tg 90° - не определён
сtg 90° = 0
sin 180° = 0, cos 180° = –1,
tg 180° = 0
сtg 180° - не определён
Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,
Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для 0 ° ; 90 ° ; 180 ° .
sin 0 ° = 0 ; cos 0 ° = 1 ; tg 0 ° = 0 ; sin 90 ° = 1 ; cos 90 ° = 0 ; tg 90 ° не существует ; sin 180 ° = 0 ; cos 180 ° = − 1 ; tg 180 ° = 0 .
Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют 90 ° , то оба выразим через α .
Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем AX 2 + OX 2 = 1 . Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В этом уроке мы покажем связь между синусом, косинусом угла и координатами соответствующих точек единичной полуокружности. Еще раз убедимся в справедливости формулы нахождения тангенса угла через отношение синуса и косинуса этого угла, а также аналогичной формулы для вычисления котангенса угла.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Синус, косинус, тангенс, котангенс"
В курсе геометрии 8 класса, мы с вами уже знакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Давайте вспомним их.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
;
Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Давайте вспомним ее.
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0 до 180º.
Построим в прямоугольной системе координат полуокружность радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат.
Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки О давайте проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность с точке М (0;0). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительным направлением оси Ox, то угол α равен 90º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α= 90º. Если луч h совпадает с отрицательным направлением оси Ox, то угол α= 180º. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМD.
Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM=1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD=y, а ОD=x. Тогда , . Мы получили, что синус острого угла равен ординате точки М, а косинус угла α равен абсциссе точки М. По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.
Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменятся от 0 до 1, значит, и синус угла α может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменятся от -1 до 1, то есть и косинус угла α из промежутка от 0 до 180º может изменятся от -1 до 1.
Задача. Может ли:
а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна ?
б) ордината точки единичной полуокружности быть равна ?
а) Поскольку полуокружность единичная, значит абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна , но не может быть равна 4 и 5.
б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна но не может быть равна .
Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:
Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА. На единичной полуокружности точка А имеет координаты (1;0), значит , а .
Найдем теперь значение sin90 º и cos 90º. Этот угол задается лучом ОB. Координаты точки B равны (0;1), значит, , .
Проводя аналогичные рассуждения, получим , .
Задача. Определить координаты точки , если:
а) ; б) ; в) .
а)
б)
в)
Ответ: ; ; .
Решим теперь обратную задачу.
Задача. Определить , , если:
а) ; б) ; в) .
а)
б)
в)
Тангенсом острого угла мы называли отношение
. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его cos 90º=0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение тангенса.
Тангенсом угла , называется .
Котангенсом острого угла мы называли отношение . Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то sin равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому
, – не существует. Таким образом, мы немного уточнили определение котангенса.
Котангенсом угла , называется .
Задача. Определить , , если:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
а)
б)
в)
г)
д)
Давайте занесем полученные данные в таблицу и составим таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º.
Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы определили, что Для любого угла синусом угла называется ордината точки , а косинусом угла абсцисса точки
Тангенсом угла , называется .
Котангенсом угла , называется .
Также мы дополнили известную нам таблицу значений синуса, косинуса и тангенсов для некоторых углов.
Читайте также: