Сформулируйте и докажите утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике кратко

Обновлено: 30.06.2024

Теорема . Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С, CD — высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ. Докажем, что ΔABC ΔACD, ΔABC ΔCBD, ΔACD ΔCBD. Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (ÐA — общий, ÐACB = ÐADC = 90°). Точно так же подобны треугольники ABC и CBD (ÐB — общий и ÐACB = ÐBDC = 90°), поэтому ÐA = ÐBCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и ÐA = ÐBCD), что и требовалось доказать.

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

Из теоремы имеются следующие утверждения:

1°. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. ,

Запись на доске .

Дано: ΔАВС - прямоугольный, CD AB

Доказать: ΔABC ΔACD, ΔABC ΔCBD, ΔACD ΔCBD.

Доказательство. ΔABC ΔACD по 1 признаку подобия (ÐA — общий, ÐACB = ÐADC = 90°).

ΔABC ΔCBD по 1 признаку подобия (ÐB — общий и ÐACB = ÐBDC = 90°), ?> ÐA = ÐBCD.

ΔACD ΔCBD по 1 признаку подобия (ÐADС = ÐBСD = 90°, ÐA = ÐBCD).

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

Из теоремы имеются следующие утверждения:

Запись на доске .

Дано: ΔАВС - прямоугольный, CD AB

Доказать: ΔABC ΔACD, ΔABC ΔCBD, ΔACD ΔCBD.

Доказательство. ΔABC ΔACD по 1 признаку подобия (ÐA — общий, ÐACB = ÐADC = 90°).

ΔABC ΔCBD по 1 признаку подобия (ÐB — общий и ÐACB = ÐBDC = 90°), ?> ÐA = ÐBCD.

ΔACD ΔCBD по 1 признаку подобия (ÐADС = ÐBСD = 90°, ÐA = ÐBCD).

Признак подобия треугольников с прямым углом является частным случаем первого признака подобия треугольников, который предполагает следующее: при соответствии двух углов одного треугольника двум углам другого такие треугольники являются подобными.

Формулировка для треугольников с углами в 90°: подобие прямоугольных треугольников имеет место, когда острый угол одного треугольника является равным острому углу другого.

Рассмотрим наглядно на схеме:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — отношение

Средним пропорциональным двух величин a и b называется число c при условии, что квадрат c равен произведению a и b, то есть c 2 =ab.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и проведенной к ней высоте h. Высота делит гипотенузу на два отрезка: a_c и b_c, именуемые проекциями катетов на гипотенузу.

Среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией на нее – это каждый катет прямоугольного треугольника, то есть:

Доказательство

Пусть в ΔABC ∠C=90°, ∠A=α, CH – высота.

1. Сначала докажем, подобие ΔABC и ΔCBH.

Поскольку CH – высота, то ∠CHB равен 90°.

∠B=90°−α – это общий угол рассматриваемых треугольников ABC и CBH.

Следовательно, в ΔABC и ΔCBH:

∠B – общий и равен 90°−α

Отсюда следует, что ΔABC∼ΔCBH.

2. Теперь докажем, что ΔABC∼ΔACH.

∠ACB=∠AHC=90°, т.к. СН – высота ΔABC.

∠A – общий и равен α.

∠ACH=90−α, а значит, равен ∠AВC.

3. Сделаем на схеме дополнительные обозначения проекций катетов:

4. Применим доказанное подобие ΔABC и ΔCBH и запишем пропорции сторон:

В переводе с математического языка это означает следующее: отношение противолежащих прямому углу сторон, ровняется отношению сторон, расположенных напротив угла α. Из данного соотношения получается:

5. Воспользуемся тем, что ΔABC∼ΔACH. Запишем пропорции сторон:

Это значит, что отношение сторон, противолежащих прямому углу равно отношению сторон, лежащих напротив α. Выведем из пропорции следующее уравнение:

Полученные равенства (1) и (2) доказывают теорему.

Средним пропорциональным между проекциями катетов является высота, опущенная на гипотенузу из вершины угла в 90°, то есть при умножении отрезков ac и bc получается величина, равная квадрату высоты:

Доказательство:

Поскольку ранее мы доказали подобия треугольников ΔABC∼ΔCBH и ΔABC∼ΔACH, то ΔCBH∼ΔACH. Используем этот факт для доказательства второй теоремы. Запишем пропорцию:

Она значит, что отношение сторон, противолежащих углу (90°−α), равно соотношению сторон, противолежащих углу α.

Выведем отсюда значение h:

Гипотенуза разделена высотой на отрезки, соотношение которых равно отношению квадратов катетов. В виде формулы это свойство выглядит так:

Альтернативное доказательство теоремы Пифагора

Сформулированные и доказанные теоремы позволяют привести альтернативу традиционному доказательству пифагоровой теоремы:

\(\left.\beginb^2=b_c\times c\\a^2=a_c\times c\end\right\>\Rightarrow a^2+b^2=a_c\times c+b_c\times c=c\left(a_c+b_c\right)=c\times c=c^2\)

Примеры решения задач на использование пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

Задача 1

В ΔABC: ∠С=90°, СН – высота, отрезок АН=9 см, отрезок АН=16 см. Вычислите длину катетов и высоты треугольника ABC.

Определим длину гипотенузы: AB=9+16=25 см.
Применим доказанные теоремы:

Ответ: сторона ВС=20 см, сторона АС=15 см, высота СН=12 см.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC сторона АС равна 8 см, сторона AB равна 10 см. Вычислить длину высоты CD.

Решение

1. Так как треугольники АВС и АСD подобны, можно составить пропорции сторон:

2. Найдем длину катета ВС:

3. Далее подставим полученную величину в соотношение, записанное в первом пункте:

На этом уроке мы рассмотрим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Соотношения между элементами прямоугольных треугольников позволяют легко вычислять неизвестные элементы прямоугольного треугольника. Мы сформулируем и докажем три теоремы, связывающие элементы прямоугольного треугольника, а также решим задачу на их применение.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Запомнить соотношения, связывающие пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике, помогает цветовая ассоциация.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Свойства прямоугольного треугольника:

1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Например, в треугольнике ABC AF — высота, проведенная к гипотенузе BC, BF — проекция катета AB на гипотенузу, FC — проекция катета AC на гипотенузу.

Если выделить каждую пару — катет и его проекция на гипотенузу — одним цветом, запомнить пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно быстро и легко.

Как бы ни был расположен на чертеже прямоугольный треугольник, цветовая ассоциация поможет найти пропорциональные отрезки и правильно составить связывающие их соотношения:

Выделить пропорциональные отрезки цветами можно на черновике. При решении задачи, в которой прямоугольный треугольник — только один из элементов чертежа, достаточно для нахождения связи между пропорциональными отрезками на черновике изобразить отдельный фрагмент с этим треугольником.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Разделы: Математика

Цели урока:

ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План:

Оргмомент.
Актуализация знаний.
Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:
– подготовительный этап;
– введение;
– усвоение.
Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
Доказательство следствий:
– высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;
– катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Решение задач.
Подведение итогов.
Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. ОРГМОМЕНТ

– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)

– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника)

– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)

III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА

а) подготовительный этап

– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – и . и – высоты и соответственно. .

Задание 1. а) Определите, подобны ли и .

– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A₁)

– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников

Задание 1. б) Определите, подобны ли и .

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A₁)

– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).

В результате беседы слайд 1 выглядит так:

б) открытие теоремы

Задание 2.

– Определите, подобны ли и , и . В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.

– На рисунке было указано, что . Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали)

– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)

– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.

В результате беседы выстраивается запись:

– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Т.о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.

Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:

– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)

– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы

– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.

в) усвоение теоремы

– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

Ученикам предлагается следующее задание:

IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– А теперь мы изучим с вами новое понятие.

Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD, если

(записывают в тетрадь).

V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– Теперь обратимся к следующему слайду.

Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.

– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см)

– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков)

– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?

(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)

Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см

– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)

– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)

– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)

VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ

– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников и . Что из этого следует? (По определению подобия стороны пропорциональны сходственным сторонам )

– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? ()

– Выразите СD и сделайте вывод (;.

Вывод: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Доказывают самостоятельно, потом проверяем на слайде

VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

– Прочитайте задачу. Что в задаче дано? (Дан прямоугольный )

– Что в задаче нужно найти? (Найти )

– Чем будет являться по отношению к и ? (Это среднее пропорциональное по следствию из доказанной теоремы)

– Как теперь найти ? (найдем из по теореме Пифагора: )

– Как найдем ? ( найдем из по теореме Пифагора: )

– Запишите ответ. (Ответ: )

VIII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального двух отрезков.)

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное м/у…(-… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(-…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)

– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)

IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

д/з: №571, №572 (а,д), самостоятельная работа в тетради, теория.

Читайте также: