Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами кратко
Обновлено: 05.07.2024
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме равны 180 градусам.
Первый случай. Вот наши углы: известно, что ЭТИ стороны параллельны и ЭТИ стороны параллельны. Продолжим стороны до пересечения и получим, что углы 2 и 3 равны как соответственные . И углы 1 и 3 равны как соответственные. Значит, углы 1 и 2 равны. ЧТД.
Второй случай. Вот наши углы. ЭТИ стороны параллельны, и ВОТ ЭТИ стороны параллельны. Также продолжим стороны до пересечения, и получится, что углы 1 и 3 равны как соответственные, и углы 2 и 4 равны как соответственные. А сумма углов 3 и 4 равна 180 градусов, т.к. они смежные . Значит, сумма углов 1 и 2 тоже равна 180 градусов. ЧТД.
Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами
В том случае, когда стороны первого угла, острого или тупого, расположены параллельно по отношению к сторонам второго угла, данные углы равны друг другу, или их сумма равна 180 ° .
Доказательство теоремы
Запишем исходные данные:
∠ А О В , ∠ А 1 О 1 В 1 ,
О А ∥ О А 1 , О В ∥ О 1 В 1
Требуется доказать справедливость следующих равенств:
∠ А О В = ∠ А 1 О 1 В 1 или
∠ А О В + ∠ А 1 О 1 В 1 = 180 °
Рассмотрим ∠ А О В в пространстве, размер которого обычно указывают в градусах. Данный угол является развернутым. Исходя из этого, можно сделать вывод о принадлежности лучей ОА и ОВ одной прямой. Согласно условию:
О А ∥ О А 1 , О В ∥ О 1 В 1
В связи с этим, О 1 А 1 и О 1 В 1 аналогично расположены на общей прямой. Таким образом, ∠ А 1 О 1 В 1 является развернутым. В таком случае:
∠ А О В = ∠ А 1 О 1 В 1
Полученные результаты перенесем на рисунок:
Предположим, что ∠ А О В не является развернутым. При этом условии ∠ А О В + ∠ А 1 О 1 В 1 могут быть расположены двумя способами.
Рассмотрим первый случай:
Заметим пересечение прямой О 1 В 1 и прямой О 1 А 1 . Тогда О 1 В 1 также имеет точку пересечения с прямой ОА, которая является параллельной О 1 А 1 . Обозначим точку пересечения за М.
Заметим пересечение прямых ОВ и О 1 В 1 , которые являются параллельными, с секущей ОМ. В связи с этим:
Данное равенство справедливо согласно теореме о накрест лежащих углах. Из пересечения параллельных прямых ОА и О 1 А 1 с секущей О 1 M вытекает следующее:
∠ 1 = ∠ А 1 О 1 В 1
Запишем полученные равенства:
∠ 1 = ∠ А 1 О 1 В 1
∠ А О В = ∠ А 1 О 1 В 1
Рассмотрим второй случай:
Заметим пересечение прямой О 1 В 1 и прямой О 1 А 1 . Таким образом, прямая О 1 В 1 пересекает прямую ОА, которая параллельна прямой О 1 А 1 . Обозначим точку пересечения за М.
Заметим пересечение обоих прямых ОВ и О 1 В 1 с секущей ОМ. Вычислим сумму углов:
∠ 1 + ∠ А 1 О 1 В 1 = 180 °
Данное соотношение подтверждено теоремой об односторонних углах. Прямые ОА и О 1 А 1 являются параллельными. Данные прямые пересекает секущая О 1 М . Таким образом:
∠ 1 = ∠ А 1 О 1 В 1
Запишем полученные равенства:
∠ 1 + ∠ А 1 О 1 В 1 = 180 °
∠ А О В + ∠ А 1 О 1 В 1 = 180 °
В итоге теорема доказана.
Примеры решения задач
На рисунке изображены прямые а, р, с. Данные прямые пересекает прямая k. В результате образованы углы:
Требуется определить, какие из перечисленных прямых являются параллельными.
Перенесем условия задачи на рисунок:
Запишем их соотношения:
В результате можно сделать вывод о параллельности прямых а и р. Вместе с тем прямые а и с не являются параллельными, так же как и прямые р и с — исходя из свойства параллельных прямых.
На рисунке изображены две параллельные прямые а и b, а также два угла М и Е. Биссектрисы этих углов МО и ЕО обладают общей точкой пересечения, которая обозначена, как О. В треугольнике углы в сумме дают 180 ° . Требуется определить, чему равен угол МОЕ.
В этом уроке докажем две теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами и рассмотрим задачу на их применение.
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.
Дано: неразвернутые углы АОВ и МNК, и ОА||NМ, ОВ||NК.
Доказать: либо углы АОВ и МNК равны, либо сумма углов АОВ и МNК равна 180º.
Рассмотрим случаи расположения углов АОВ и МNК (см. рисунок).
Доказательство для первого расположения углов.
Прямая NК пересекает прямую ОА в некоторой точке С.
Параллельные прямые ОВ и NК пересечены секущей ОС, поэтому угол 1 равен углу АОВ – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОВ и NК и секущей ОС.
Параллельные прямые ОА и NМ пересечены секущей NС, поэтому угол 1 равен углу МNК – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОА и NМ и секущей NС.
Из двух равенств получаем, что ∠АОВ = ∠МNК.
При втором расположении углов:
параллельные прямые ОВ и NК пересечены секущей ОС, поэтому угол 1 равен углу АОВ – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОВ и NК и секущей ОС.
Параллельные прямые ОА и NМ пересечены секущей NС, поэтому сумма угла 1 и угла МNК = 180º, как сумма односторонних углов при параллельных прямых ОА и NМ и секущей NС.
Из двух равенств получаем, что ∠ АОВ + ∠МNК = 180º.
Рассмотрим следующее утверждение.
Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.
неразвернутые углы АОВ и A1O1B1, луч ОА перпендикулярен лучу O1A1, луч ОВ перпендикулярен лучу O1B1.
либо углы АОВ и A1O1B1 равны, либо сумма углов АОВ и A1O1B1 равна 180º.
здесь необходимо рассмотреть несколько случаев.
Если угол АОВ прямой, то и угол A1O1B1 тоже прямой, поэтому эти углы равны и в сумме составляют 180º.
Остаются варианты, когда угол АОВ меньше 90º и когда угол АОВ больше 90º.
Рассмотрим подробнее первый случай.
Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА.
Теперь проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА.
Так как угол АОВ равен 90º минус угол АОD и угол СОD равен 90º минус угол АОD по построению, то из двух этих равенств следует, что угол АОВ равен углу СОD.
Используя утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, можно прийти к выводу, что стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла A1O1B1, поэтому либо ∠СОD = ∠A1O1B1, либо сумма углов ∠СОD и ∠ A1O1B1= 180º.
Следовательно, либо ∠АОВ = ∠A1O1B1, либо сумма углов ∠АОВ и ∠A1O1B1= 180º.
Второй случай, когда угол АОВ больше 90º, докажите самостоятельно.
§ 3 Задача на применение теорем об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами
Прямые, содержащие высоты АA1 и ВB1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В – тупой, угол С = 20º.
Так как треугольник тупоугольный, угол В тупой, то высоты АA1 и ВB1 треугольника АВС пересекутся в точке Н за пределами треугольника (см. рисунок).
Рассмотрим углы АНB1 и АСA1.
Стороны угла АНB1 соответственно перпендикулярны сторонам угла АСA1, а по ранее доказанной теореме такие углы равны.
Значит, угол АНВ = 20º.
Итак, в этом уроке мы доказали две теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами и решили задачу по теме урока.
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
Эти две теоремы изучаются одновременно.
Удачи
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Читайте также: