Ряды фурье кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Содержание

Определение

Классическое определение.

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида

или, более сжато

Постоянные числа \!>" width="" height="" />
, \!>" width="" height="" />
и \!>" width="" height="" />
(" width="" height="" />
) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция " width="" height="" />
с периодом " width="" height="" />
, так как " width="" height="" />
и " width="" height="" />
являются периодическими функциями с периодом " width="" height="" />
.

Общее определение

Пусть в Гильбертовом пространстве " width="" height="" />
даны ортогональная система ,\varphi _. \varphi _. \>>" width="" height="" />
и " width="" height="" />
— произвольный элемент из " width="" height="" />
. Последовательность чисел

$<\displaystyle c_<k> =)><||\varphi _<k>||^>>>$

$<\displaystyle f> называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента$
по системе \>>" width="" height="" />
, а ряд

$<\displaystyle \sum _ c_\varphi _>$

$<\displaystyle f> называется рядом Фурье элемента$
по ортогональной системе \>>" width="" height="" />
.

Справедливо т. н. неравенство Бесселя:

$<\displaystyle \sum _<k=1> ^<\infty >c_^\leq ||f||^>$

Если выполнено равенство Парсеваля

$<\displaystyle \sum _<k=1> ^<\infty >c_^=||f||^>$
,

$<\displaystyle \<\varphi _<k> то нормированная система \>>$
называется замкнутой.

$<\displaystyle R> Справедливо утверждение: в сепарабельном евклидовом пространстве$
всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой и наоборот.

Сходимость ряда Фурье

Теорема: Шаблон:Начало цитаты Если периодическая функция " width="" height="" />
с периодом " width="" height="" />
— кусочно-монотонная [1] и ограниченная на отрезке " width="" height="" />
, то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда " width="" height="" />
равна значению функции " width="" height="" />
в точках ее непрерывности. В точках разрыва " width="" height="" />
сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции " width="" height="" />
справа и слева. Шаблон:Конец цитаты

Из этой теоремы следует, что тригонометрические ряды Фурье применимы к достаточно широкому классу функций.

Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье. Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна. Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые.

(с) xkcd

FT, DTF, DTFT — в чем отличия и как совершенно разные казалось бы формулы дают столь концептуально похожие результаты?
Как правильно интерпретировать результаты быстрого преобразования Фурье (FFT)
Что делать если дан сигнал из 179 сэмплов а БПФ требует на вход последовательность по длине равную степени двойки
Почему при попытке получить с помощью Фурье спектр синусоиды вместо ожидаемой одиночной “палки” на графике вылезает странная загогулина и что с этим можно сделать
Зачем перед АЦП и после ЦАП ставят аналоговые фильтры
Можно ли оцифровать АЦП сигнал с частотой выше половины частоты дискретизации (школьный ответ неверен, правильный ответ — можно)
Как по цифровой последовательности восстанавливают исходный сигнал

Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл, комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций, плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака. Не знаете — не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение”

Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье — это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w):

Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье — такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика:

График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля — “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ).

Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим :). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе.

Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся — списком из семи пунктов справа:

Первое из этих свойств — линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2:

Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике — это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины.

Второе свойство преобразования Фурье — это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр.

Третье свойство — растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности.

Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот — поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно.

Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi. pi) — нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра — для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является).

Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии — остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является).

Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”:

Гребенка Дирака — это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T

Ряд Фурье — представление, к которому может быть приведена произвольная периодическая функция.

Обычно, говоря о рядах Фурье, имеют в виду его тригонометрическую или показательную форму.

Содержание

Вещественный ряд Фурье

В ряд Фурье может быть разложена любая периодическая вещественная функция вида s ( x ) = s ( x + T x ) )\,\!> , где T x \,\!> — период функции, если она удовлетворяет условиям Дирихле ( | s ( x ) | ∞ тригонометрический ряд Фурье.

Таким образом, дискретные спектры можно разделить на дискретные вещественные пространственно-частотные спектры (ПЧС) и дискретные вещественные частотно-временные спектры (ЧВС).

Пространственно-частотное представление входного двумерного сигнала в виде ряда смещенных по фазе косинусоидальных гармоник ( 1.2 ) (1.2)\,\!> имеет физический смысл.

Тригонометрический ряд обычно используют для разложения периодических оптических, радио- и электрических сигналов, описываемых четными или нечетными функциями.

Комплексный ряд Фурье

При анализе оптических, радио- и электрических сигналов на практике удобно пользоваться рядом Фурье, заданным не в тригонометрической, а в комплексной экспоненциальной форме. Переход от тригонометрических рядов ( 1.1 ) (1.1)\,\!> и ( 1.2 ) (1.2)\,\!> к комплексному осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Они показывают, что при освещении косинусоидального или синусоидального транспаранта (дифракционной решетки) плоской нормально падающей волной с единичной амплитудой на его выходе формируются (дифрагируют) две плоские волны, распространяющиеся в плоскости xOz симметрично относительно оптической оси Oz (см. рис. 2.1).

Общее выражение для комплексного ряда Фурье имеет вид:

Многомерные ряды Фурье

Для многомерных сигналов также существует разложение в ряд Фурье как функций от нескольких аргументов. Для упрощения математических выкладок многомерные ряды Фурье записываются в комплексной форме.

Двумерный комплексный ряд Фурье периодической функции s ( x , y ) = s ( x + T x , y + T y ) ,y+T_)\,\!> имеет вид:

Аналогично для трехмерного комплексного ряда Фурье функции s ( x , y , t ) = s ( x + T x , y + T y , t + T ) ,y+T_,t+T)\,\!> получим:

Пусть задана функция периода и известно, что ее можно разложить в тригонометрический ряд:

т. е. она уже есть сумма некоторого тригонометрического ряда (вида (1)) для всех (или, быть может, для всех за исключением отдельных значений Спрашивается, как определить по функции коэффициенты

Этот вопрос принципиально был решен математиками и физиками в начале прошлого столетия.

Существенный вклад в его решение внес Ж. Фурье. Он показал, что коэффициенты тригонометрического ряда, представляющего периодическую периода функцию вычисляются по формулам

Числа и вычисляемые по этим формулам, называют коэффициентами Фурье функции а тригонометрический ряд (1), в который вместо подставлены соответствующие коэффициенты Фурье, называют рядом Фурье функции

В некоторых случаях (для более узких классов функций) формулы (2) были известны еще Эйлеру. Поэтому их называют еще формулами Эйлера-Фурье. В § 4.6 будет дан вывод формул (2) в предположении, что уже известно, что периодическая периода функция разлагается в тригонометрический ряд, равномерно сходящийся к ней.

Физики считают, что сложное периодическое движение точки (сложная вибрация), является ли это механическим или электромагнитным колебанием точки струны, в которой она звонит, или вибрацией, связанной с распространением звука, является гармонической вибрацией. Надо долго говорить, что мы разделились на сложные периодические движения, то есть мы должны думать о ней как о сумме (конечной или бесконечной) простых гармонических колебаний того же периода.

Выделение из сложного периодического движения, составляющего его гармонического колебания, соответствующего данной частоте имеет большое практическое значение. Физики такое выделение из реального движения получают при помощи специальных приборов - резонаторов. Математик, если ему данное движение задано при помощи периодической функции получает такое выделение при помощи вычислений. Он просто вычисляет коэффициенты Фурье этой функции, и тогда соответствующая гармоника будет иметь вид

Отметим, что если функция имеет период и интегрируема на отрезке или, как говорят, на периоде, то для нее справедливо равенство

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Свойство (3), в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции периода можно записать в виде

где произвольное действительное число, потому что функции и периода а произведение функций периода в свою очередь функции периода

Отметим еще, что если функция четная на отрезке то (см. § 6.4, пример 6 той же книги)

Если же функция нечетная на отрезке то (см. пример 7 § 6.4 той же книги)

Функция четная, a нечетная. Кроме того, произведение двух четных и двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция. Поэтому для четной периода функции

Читайте также: