Разложение вектора по направлениям кратко

Обновлено: 07.07.2024

Timeweb - компания, которая размещает проекты клиентов в Интернете, регистрирует адреса сайтов и предоставляет аренду виртуальных и физических серверов. Разместите свой сайт в Сети - расскажите миру о себе!

Виртуальный хостинг

Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.

Производительность и масштабируемые ресурсы для вашего проекта. Персональный сервер по цене виртуального хостинга.

Выделенные серверы

1. Векторы Разложение вектора по направлениям Координаты вектора Скалярное произведение векторов

Вектор (направленный отрезок) отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается
началом, а какая – концом.
Обозначение:
или
Конец вектора
В
Длиной или модулем вектора
называется длина отрезка АВ:
АВ = АВ
А
Начало
вектора
a

Два
ненулевых вектора
называются
коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
c
b
a
b
c
b
c
a
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
b
c
a
b
c
b

Векторы
называются
равными,
сонаправлены и их длины равны.
В
А
С
a
a
если
=
они
b
b
D
Векторы называются противоположными, если они
противонаправлены и их длины равны.
В
А
С
D
a b
a= b

Рассмотрим
ПДСК. Единичным вектором коор-
динатной оси будем называть вектор, направление
которого совпадает с направлением этой оси и длина
которого равна 1.
i – единичный вектор оси абсцисс,
j – единичный вектор ос и ординат,
k – единичный вектор оси аппликат.
z
k
O
j
x
i
y

Любой вектор можно разложить
векторам, т.е. представить в виде:
по
координатным
Нулевой вектор также можно представить в таком виде:
Координаты равных векторов соответственно равны:
Сумма (разность) векторов:
Произведение вектора на число:

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус-вектором
данной точки. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Скалярным произведением двух векторов называется
произведение их длин на косинус угла между ними.
a
b
=
a
b cos( a b)
Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
Если векторы перпендикулярны, то скалярное произведение
этих векторов равно нулю.
0
a b = 90
b
a

a b 90
то
скалярное
то
скалярное
0
a
Если угол между векторами тупой,
произведение этих векторов отрицательно.

a b
=
a
b сos (a b )
Пусть векторы заданы своими координатами a ( x1; y1; z1 )
и b ( x2; y2; z2 ). Тогда скалярное произведение этих векторов
равно
2
a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2
2
a = |a|
cos
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x12 y12 z12 x22 y22 z 22
cos
a b
| a | | b |

Для двух коллинеарных векторов и всегда имеет место соотношение: , где - некоторое ненулевое число.

Если ввести в рассмотрение единичный вектор (или орт) , длина которого равна единице: и который коллинеарен вектору , то последний можно представить в виде:

Произвольный вектор можно представить в виде: , где , - произвольные числа, а тройка векторов , и компланарна (рис. 1).

Представление называется разложением вектора по компонентам и . Если векторы и не коллинеарны, то приведенное представление единственно.

Для трех попарно неколлинеарных векторов , и и произвольного вектора существует единственное разложение:

по ОУДу,04 Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся гр. 101, 103, 106, 108, 112, курс 1,

специальность 40.02.01. ПРАВО И ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

дата проведения 7 мая 2018 г.

преподаватель Л.В. Лазарева

Обучающая : обучение решению задач на разложения вектора по трем некомпланарным направлениям.

Воспитательная: воспитание внимательности, аккуратности.

Развивающая: развитие пространственного воображения, умения самостоятельной работы с учебной литературой, с электронными носителями.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал Webmath.exponenta.ru ( Источник ).
СтудопедиЯ ( Источник ).
Научная библиотека ( Источник ).

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, информатика, естествознание.

Внутридисциплинарные связи: раздел 3, геометрия: параллелограмм, свойства параллелограмма, геометрические преобразования пространства, метод координат.

1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

(по 5-ти бальной шкале)

Справедливы ли утверждения: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б)любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в)любые два равных вектора коллинеарны; г)любые два сонаправленных вектора равны.

Приведите примеры векторов, известных вам из физики.

Обозначьте векторы с началами А и В и концами С и D соответственно.

2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

1.Основные определения по теме векторы.

2.Разложение вектора на плоскости и в пространстве.

3.Решение задач на разложение вектора по трем некомпланарным направлениям.

Вектором называется направленный отрезок. У вектора точка А – начало вектора, точка В – конец.

Для вектора важна не только длина, но и направление.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными и противоположно направленными.

Равными называют коллинеарные сонаправленные векторы, длины которых равны.

Любой вектор можно единственным образом отложить от произвольной точки.

Для сложения векторов применяются правила треугольника, параллелограмма, многоугольника и параллелепипеда.

При умножении вектора на положительное число его длина умножается на это число, а направление остается неизменным. При умножении вектора на отрицательное число его длина умножается на это число, а направление меняется на противоположное.

Новым для векторов в пространстве относительно векторов на плоскости является понятие компланарности.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Источники дополнительной информации по 1 вопросу

Автор и наименование

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

2..И Ф. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3..Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Контрольные задания по вопросу 1.

(по 5-ти бальной шкале)

Выполните рисунок параллелепипеда и выделите цветом равные векторы.

Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам (рис. 1, 2):

Рис. 1. Векторы на плоскости

Рис. 2. Разложение вектора через два неколлинеарных

Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:

Вопрос на понимание компланарности векторов. Если вектор можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то векторы и компланарны.

Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем однозначно разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы и .Тогда любой вектор можно представить в виде суммы: , где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.

Источники дополнительной информации по 2 вопросу

Автор и наименование

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

2. И. Ф. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / И. Ф. Шарыгин – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Контрольные задания по вопросу 2.

(по 5-ти бальной шкале)

Запишите формулу для разложения вектора в пространстве по трем некомпланарным направлениям.

2. №355, стр.95, (Л. С. Атанасян)

3.№359 (а), стр.95, (Л. С. Атанасян)

Задача 1: дан куб с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам и найти его длину.

Решение: построим заданный куб (рис. 3).

Рис. 3. Куб, задача 1

Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов равен m как ребро куба. Катет найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет равен m как ребро куба. Катет равен , так как точка К – середина ребра . Имеем:

Вернемся к первому треугольнику:

Задача 2 : векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы , и ? Компланарны ли векторы ?

Решение: тот факт, что векторы , и компланарны, означает, что, будучи отложенными от одной точки, они расположены в одной плоскости (рисунок 4.а). Это значит, что один из векторов, например, вектор , можно однозначно разложить по двум другим: . Очевидно, что векторы , и тоже компланарны, т. к. умножение вектора на положительное число не меняет его направления, а меняет только длину, и векторы останутся в той же плоскости (рисунок 4.б).

Очевидно, что тройка векторов также компланарна, потому что всякая линейная комбинация компланарных векторов есть вектор, им компланарный. Мы имеем три вектора, компланарных заданным векторам, очевидно, что они компланарны между собой.

Итак, мы вспомнили все основные определения и теоремы касательно векторов в пространстве, подробно остановились на понятии компланарности векторов и рассмотрели типовые задачи на эту тему.

Источники дополнительной информации по 3 вопросу

Автор и наименование

(форма доступа для Интернет-ресурсов)

1.И. Ф. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / И. Ф. Шарыгин – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

2.Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.

Разложение вектора на перпендикулярные составляющие помогает при сложении и вычитании векторов. Эта статья расскажет вам, как разложить вектор на составляющие.

Найдите составляющие вектора по следующим формулам: Составляющая1 = длина * sin (уол) Составляющая2 = длина * cos (угол). Первая формула дает составляющую, противолежащую углу, а вторая – составляющую, прилежащую к углу.

Дополнительные статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Куки помогают сделать WikiHow лучше. Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с нашими куки правилами.

Читайте также: