Раскрытие скобок кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

Мы получили выражение без скобок 8−9+3 . Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.

Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1) . Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1 .

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.

Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

Получили выражение 3a + (−4b) . В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b .

Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2

Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.

На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3 . Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3 .

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4) , нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)

Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, раскроем скобки в следующем выражении

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3 . Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Механизм раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.

Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3 × (4 + 5) общий множитель это 3 . А в примере a(b + c) общий множитель это переменная a .

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1 , в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1 . Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1 .

К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b − 1) . Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:

Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b + 1 . Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

Но не мешает знать, как эти правила работают.

В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

1) Раскрываем скобки:

2) Приводим подобные слагаемые:

В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:

Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

1) Раскроем скобки:

2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть

Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m , можно вынести в нём общий множитель m за скобки:

2) Находим значение выражения m(8 + 3) при m = −4 . Для этого в выражение m(8 + 3) вместо переменной m подставляем число −4

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · ( 3 + 4 ) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + ( − 3 ) − ( − 7 ) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида ( a + b ) · ( c + d ) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a - x + sin ( b ) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin ( b ) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − ( 5 − 7 ) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − ( 5 − 7 ) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − ( 3 − 2 + 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − 3 + ( 2 − 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, ( − 4 ) и 3 + ( − 4 ) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а , + ( а ) на + а , - ( а ) на – а . Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число ( 5 ) запишется как 5 , выражение 3 + ( 5 ) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + ( 5 ) заменяется на + 5 , а выражение 3 + ( − 5 ) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + ( − 5 ) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + ( − a ) мы заменяем на − a , − ( − a ) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа ( − a ) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо ( − a ) остается − a .

Приведем примеры: ( − 5 ) можно записать как − 5 , ( − 3 ) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + ( − 3 ) превращается в 4 − 3 , а − ( − 4 ) − ( − 3 ) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − ( − 4 ) и − ( − 3 ) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · ( − 5 ) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + ( − b ) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств ( a + ( − b ) ) + b = a + ( ( − b ) + b ) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + ( − b ) - это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − ( − a ) = a , a − ( − b ) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = − ( − ( ( − 5 ) ) ) = − ( − ( − 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = ( ( − ( 5 ) ) ) = ( − ( 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 .

К примеру, после раскрытия скобок выражение − ( − 2 · x ) − ( x 2 ) + ( − 1 x ) − ( 2 · x · y 2 : z ) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − ( − 2 · x ) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − ( x 2 ) = − x 2 , + ( − 1 x ) = − 1 x и − ( 2 · x · y 2 : z ) = − 2 · x · y 2 : z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида ( − a ) · ( − b ) мы можем заменить на ( a · b ) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида ( − a ) · b и a · ( − b ) заменить на ( − a · b ) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел - 4 3 5 и - 2 , вида ( - 2 ) · - 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел ( − 4 ) : ( − 2 ) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4 : 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении - 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: - 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) = - 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение ( − 3 ) · 2 можно преобразовать в выражение ( − 3 · 2 ) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: ( − 5 ) : 2 = ( − 5 : 2 ) = − 5 : 2 и 2 3 4 : ( - 3 , 5 ) = - 2 3 4 : 3 , 5 = - 2 3 4 : 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

- 1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3

sin ( x ) · ( - x 2 ) = ( - sin ( x ) · x 2 ) = - sin ( x ) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5 · ( − 3 ) · ( − 2 ) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как ( 5 · 3 · 2 ) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) пять чисел являются отрицательными. поэтому ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) = ( − 2 , 5 · 3 : 2 · 4 : 1 , 25 : 1 ) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и - 1 или - 1 заменяем на ( − 1 ) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении - 2 3 : ( - 2 ) · 4 : - 6 7 выглядела бы следующим образом:

- 2 3 : ( - 2 ) · 4 : - 6 7 = - 2 3 · - 1 2 · 4 · - 7 6 = = ( - 1 ) · 2 3 · ( - 1 ) · 1 2 · 4 · ( - 1 ) · 7 6 = = ( - 1 ) · ( - 1 ) · ( - 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = ( - 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · ( - x ) : ( - 1 x ) · x - 3 : 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x : 1 x · x - 3 : 2 .

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение ( 12 − 3 , 5 ) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид ( 12 − 3 , 5 ) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 + ( - 1 + x - x 2 ) = = 2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 - 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

- - 1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - ( - x 2 ) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

- - x + x 3 - 3 - - 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 ,

получаем x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) · b = ( a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b ) или b · ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) = ( b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n ) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении ( 3 − 7 ) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: ( 3 − 7 ) · 2 = ( 3 · 2 − 7 · 2 ) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 - x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 - 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение ( b 1 + b 2 ) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) · b = ( a 1 · b + a 2 · b ) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на ( b 1 + b 2 ) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · ( b 1 + b 2 ) + a 2 · ( b 1 + b 2 ) = = ( a 1 · b 1 + a 1 · b 2 ) + ( a 2 · b 1 + a 2 · b 2 ) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

( a 1 + a 2 + . . . + a m ) · ( b 1 + b 2 + . . . + b n ) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) = = ( 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6 ) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение ( 1 − x ) · ( 3 · x · y − 2 · x · y 3 ) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) . Теперь мы можем применить правило: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) = = ( 1 · 3 · x · y + 1 · ( − 2 · x · y 3 ) + ( − x ) · 3 · x · y + ( − x ) · ( − 2 · x · y 3 ) )

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) .

В выражении содержится сразу три множителя ( 2 + 4 ) , 3 и ( 5 + 7 · 8 ) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) = ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

Умножаем скобку на скобку: ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения ( a + b + c ) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок ( a + b + c ) · ( a + b + c ) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, ( x 2 - x ) : 4 = x 2 : 4 - x : 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении ( x + 2 ) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число ( x + 2 ) : 2 3 = ( x + 2 ) · 2 3 . Умножим скобку на число ( x + 2 ) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

1 x + x + 1 : ( x + 2 ) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) . Намнем преобразование с выражений 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) и 6 · ( − 7 ) , которые должны принять вид ( 3 · 2 : 4 ) и ( − 6 · 7 ) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) = ( − 5 ) + ( 3 · 2 : 4 ) − ( − 6 · 7 ) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Раскрытие скобок — это избавление выражений от скобок и изменение порядка вычислений.

Существует 4 правила раскрытия скобок при:

• сложении;
• вычитании;
• умножении;
• делении.

Правило раскрытия скобок при сложении.

При раскрытии скобок в выражении используется сочетательное свойство сложения, которое гласит:

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

a + (b +c) = a + b + c

Применяя это свойство, следует придерживаться следующего правила раскрытия скобок:

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

Это же правило применяется, когда в выражении встречается две или более скобки.

a + (b – c) + d + (-f) = a + b - c + d – f

Правило раскрытия скобок при вычитании

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

Когда в скобках перед первым слагаемым знак отсутствует, то это означает, что оно положительное и при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение подобных примеров состоит из действий:

• раскрываются скобки;
• меняется знак каждого слагаемого на противоположный.

x – (y + z) = x – y – z;

m – (-n – p) = m + n + p;

Случаи, когда в выражении присутствуют сложение и вычитание скобок.

10a + (19b – 34c) – 50 – (m + n)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

• к первой скобке применяется правило сложения;
• вторая скобка раскрывается правилом вычитания.

10a + 19b – 34 c – 50 – m – n

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Сложное выражение — это выражение, в котором используются скобки и знаки деление/умножение.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении строятся на основании работы распределительного или сочетательного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия внутри скобок. Если это сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении применяется сочетательное свойство.

1. Раскрытие скобок, согласно распределительному свойству.

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

a ∙ (b + c) = ab + ac

(a + b) ∙ c = ac + bc

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac − bc

В математике для сокращения записей знак умножения перед числом и скобкой не ставится.

Если общий множитель является отрицательной величиной, то все значения в скобках умножаются на (–1) и меняют свои знаки на противоположные:

2. Раскрытие скобок, согласно сочетательному свойству:

Произведение трех и более множителей не изменится, если эту группу множителей заменить их произведением.

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c ∙ d) ∙ a = b ∙ c ∙ d ∙ a

В случае, когда в скобках выполняется умножение, раскрытие происходит как при сложении — просто раскрываются скобки и все значения перемножаются:

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ a

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков.

При делении внутри скобок, раскрытие происходит следующим образом:

Когда общий множитель находится перед скобками, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

a ⋅ (b : с) = a ⋅ b : с;

• или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

a ⋅ (b : с) = a : c ⋅ b.

Когда общий множитель находится после скобок, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(a : b) ⋅c = с ⋅ a : b;

• общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(a : b) ⋅ c =с : b ⋅ a.

Скобка на скобку

Когда требуется перемножить несколько скобок друг на друга, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c – d) = a ⋅ (c – d) + b ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd

Алгоритм действий при раскрытии скобки на скобку:

1. Первая скобка раскрывается, каждое ее слагаемое умножается на вторую скобку.
2. Выполняется умножение числа на скобку, приводятся подобные слагаемые.

( 5 х + 7 ) ⋅ ( 10 x – 2 ) =

5 х ( 10 x – 2 ) + 7 ( 10 x – 2 ) =

50 х ² – 10 х + 70 х – 14 =

Скобка в скобке

В математике могут встречаться примеры, когда скобки входят в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примеров:

1. Последовательно раскрывается каждая скобка, начиная с внутренней.
2. Скобки раскрываются согласно принятым правилам раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
3. Приводятся подобные слагаемые для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 – (2x – y)) = 8x + y(4 – 2x + y) = 8x + 4y – 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

1. Случаи, когда в скобках выполняется сложение или вычитание.

Если знак деления стоит после скобок — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок:

(a + b) : c = a : c + b : c;

(a – b) : c = a: c – b : c.

Если знак деления стоит перед скобками, то делимое делится на каждое число в скобках:

c : (a + b) = c : a + c : b;

c : (a – b) = c : a – c : b.

1. В случае, когда в скобках выполняется умножение, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

• делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

a : (b ⋅ c) = a : b : c;

• или делимое делится на второе число в скобках, а потом делится на первое:

a : (b ⋅ c) = a : c : b.

Если знак деления стоит после скобки:

• первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(b ⋅ c) : a = (b : a) ⋅ c ;

• или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(b ⋅ c) : a = (c : a) ⋅ b .

Если внутри скобок выполняется деление:

• делимое делится на первое число внутри скобки и умножается на второе:

a : (b : c) = a : b ⋅ c;

• первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(b : с) : a = b : c : a.

Не забываем, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков, описанное выше:

Примеры решения задач

Сложение.

Формулы раскрытия скобок:

a + (b +c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

120 + (350 + 270) = 120 + 350 + 270

25 + (37a – 10b) = 25 + 37a – 10b

1000 + (-420 + 4) = 1000 – 420 + 4

268 + (-150 – 79) = 268 – 150 – 79

956 + (67 – 96 + 48) – 832 = 956 + 67 – 96 + 48 – 832

780 + (1348 + 290) + (420 – 100) = 780 + 1348 + 290 + 420 – 100

Вычитание.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

45 – (-7 + 14) = 45 + 7 - 14

10 – (2 + 3) = 10 – 2 - 3

255 – (177 + 58 – 200) = 255 – 177 – 58 + 200

1375 – (-219a – 35b) + 27 = 1375 + 219a + 35b

390 + (734 – 220) – 79 – (100 + 657) = 390 + 734 – 220 – 79 – 100 – 657

Умножение.

Умножение, когда в скобках сложение.

(a + b) ∙ c = ac + bc

8 ∙ (2 + 3) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 3

(4 + 5) ∙ 7 = 4 ∙ 7 + 4 ∙ 7

Умножение, когда в скобках вычитание.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac - bc

7 ∙ (8 – 6) = 7 ∙ 8 – 7 ∙ 6

(12 – 3) ∙ 5 = 12 ∙ 5 – 3 ∙ 5

-9 ∙ (2 + 3) = -9 ∙ 2 – 9 ∙ 3

-4 ∙ (10 – 5) = -4 ∙ 10 + 4 ∙ 5

Умножение за скобками и внутри скобок.

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ а

2 ∙ (5 ∙ 7) = 2 ∙ 5 ∙ 7

(3 ∙ 4) ∙ 8 = 3 ∙ 4 ∙ 8

Умножение, когда внутри скобок деление.

a ∙ (b : с) = a ∙ b : с

a ∙ (b : с) = a : c ∙ b

(a : b) ∙ c = c ∙ a : b

(a : b) ∙ c = c : b ∙ a

6 ⋅ (9 : 3) = 6 ⋅ 9 : 3

6 ⋅ (9 : 3) = 6 : 3 ⋅ 9

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 ⋅ 9 : 3

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 : 3 ⋅ 9

Умножение скобки на скобку.

(a + b) ⋅ (c - d) = a ⋅ (c - d) + b ⋅ (c - d) = ac – ad + bc - bd

(7x + 3) ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ (8x – 5) + 3 ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ 8x – 7x ⋅ 5 + 3 ⋅ 8x – 3 ⋅ 5 = 56 x² – 35x + 24x – 15 =

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые :

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые .

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.

Упрощаем получившееся выражение…

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.

Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.

Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.

И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Хочу задать вопрос

Перед (5-x) не стоит ни знак плюс, ни знак минус - значит имеют в виду знак плюс (математики так договорились, чтоб короче записывать выражения). Плюс перед скобкой не меняет знаков в скобке. Таким образом, имеем:
(5-x)-10=5-x-10=-x-5
P.S. Посмотрите первый абзац в разделе "Правила раскрытия скобок" и первый пример в нем же.

Здравствуйте вопрос такой: есть правило Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть c(a−b)=ca−cb
но к примеру есть 4×(-2,5x) будет -10x или - 10×4x как правильно и почему ?

Здравствуйте, Александр.
Спасибо за хороший вопрос.
Чтоб на него ответить, нужно вспомнить в чем смысл скобок. Зачем они нужны?
Ответ: скобки меняют порядок действий при вычислениях. Если, например, мы в выражение 5×2 + 1 добавим скобки, вот так: 5×(2 + 1), то значение выражения уже будет не 11, а 15 (т.к. действие 2+1 будет вычисляться первым). Это понятно.
Теперь давайте разберем ситуацию произведения трех сомножителей, то есть а×b×c. Добавим скобки сюда, вот так: а×(b×c). Измениться ли что-нибудь?
Ответ: нет, не измениться, потому что от перемены мест множителей произведение не меняется. Например, 2×3×4 всегда равно 24, хоть сначала умножь 2 на 3, а потом результат на 4, хоть сначала 3 на 4, а потом результат на 2. Действительно
2×3×4 = 6×4 = 24
2×(3×4) = 2×12 = 24
То есть, а×b×c = а×(b×c). Иными словами, наличие скобок в цепочке последовательных умножений не играет никакой роли.
Теперь, понимая всё это разбираем ваш пример. 4×(-2,5х) – это по сути произведение 4×(-2,5×х). А с учетом вышесказанного, оно равно 4×(-2,5)×х. Зная, что четыре умножить на -2,5 дает -10, получаем ответ:
4×(-2,5х) = 4×(-2,5)×х = -10×х = -10х
P.S. Если что-то осталось неясным - задавайте еще вопросы.
С уважением.

Здравствуйте!
если перед множителем скобки стоит знак деления, на пример 4:2(1+1), то каков порядок выполнения действий и по каким правилам.
Нас учили (школу окончил 50 лет назад), что опущенный знак умножения дает приоритет при решении и выполняется после действия в скобках, а затем выполняется деление, т.е. 4:2*2=4:4=1. Другими словами скобка и множитель перед ней единое число. Внучка (учится в 4 классе) говорит что вначале выполняется действие в скобках, затем деление, затем частное умножается на результат скобок. И ответ, естественно получается другой.
Кто из нас прав?
Да замечу, что в примере внучки знак умножения стоит, т.е. 4:2*(1+1)

Здравствуйте, Сергей.
Общие правила вычисления значений числовых выражений таковы:
1) сначала выполняются действия в скобках
2) затем вычисляются степени, корни, логарифмы, синусы и т.д. (если они есть)
3) затем умножение и деление в порядке слева направо
4) затем сложение и вычитание в порядке слева направо.
Причем внутри скобок также действуют правила 2, 3 и 4.
Таким образом, ваша внучка права – в данном вами примере будет следующий порядок вычислений:4:2(1+1) = 4:2*2 = 2*2 = 4
Отмечу, что наличие или отсутствие знака умножения между числом и скобкой на порядок вычисления никак не влияет – знак умножения опускают просто для сокращения записи. Суть при этом не меняется совсем.

Читайте также:

  
• Основания расторжения брака в древнем вавилоне кратко
  
• Беларусь кратко о стране
  
• Бюрократическое реформаторство николая i кратко
  
• Каково значение спор в жизни хвоща кратко
  
• Разгром армии деникина кратко