Расчет параметров ренты кратко
Обновлено: 02.07.2024
Поток платежей –это последовательность платежей в разные моменты времени по операциям, связанным с начислением процентов.
Например, потоком являются поступления (положительные платежи) и выплаты (отрицательные платежи) по вкладам до востребования.
Финансовая рента (аннуитет) – это поток положительных периодических платежей.
Например, рентой являются: взносы в пенсионный и страховой фонды, погасительные платежи потребительского кредита, выплата процентов по облигациям.
Параметры финансовой ренты:
- член ренты - размер платежа;
- период ренты – интервал времени между соседними платежами;
- срок ренты – интервал времени от начала первого до конца последнего периода;
- ставка ренты – ставка, по которой начисляются проценты.
Виды финансовой ренты:
- постоянная рента, если платежи одинаковы, и переменная рента, если платежи различны;
- обычная рента(постнумерандо), если платеж делается в конце периода, и рента
пренумерандо, если платежи делаются в начале периода;
- годовая рента, если один платеж в год, и срочная рента, если несколько платежей за год;
- конечная рента, если ее срок ограничен, и вечная рента, если ее срок не ограничен.
5.2 Обычная рента и ее обобщающие показатели
Обобщающие характеристики финансовой ренты:
- наращенная сумма ренты – это сумма всех платежей вместе с процентами, начисленными на конец ренты.
- современная величина ренты – это сумма всех платежей, дисконтированных на начало ренты.
Наращенная сумма ренты определяется, когда необходимо узнать общий результат накопления в будущем. Современная величина определяется, когда необходимо узнать первоначальную или текущую задолженность на данный момент времени.
Наиболее распространенной является обычная рента:
Если рента является постоянной, т.е. , то данные формулы представляют собой суммы членов геометрических прогрессий:
- коэффициент наращения ренты, показывает во сколько раз наращенная сумма S больше платежа R;
-коэффициент приведения ренты, показывает, во сколько раз современная величина Р больше платежа R.
Из формул наращенной суммы S и современной величины P выводят формулы для расчета платежа ренты:
5.3 Финансовые ренты пренумерандо
Если сравнить эти формулы с обычной рентой, то можно увидеть следующую взаимосвязь:
наращенная сумма ренты пренумерандо,
- наращенная сумма обычной ренты,
-современная величина ренты пренумерандо,
Р -современная величина обычной ренты.
5.4 Вечные финансовые ренты
Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т.к. не задан срок, на который будут начислены проценты.
Современная величина вечной ренты определяется как предел современной величины постоянной обычной ренты при бесконечно большом сроке:
, где Р∞ - современная величина вечной ренты,
R - платеж ренты,
i - ставка ренты.
Из формулы современной величины выводят формулы для параметров вечной ренты:
- платеж вечной ренты:
- ставка вечной ренты:
Тема 6 Планирование погашения долга.
6.1 Способы погашения долга
Долг погашается либо единовременным платежом, либо в рассрочку, т.е. несколькими платежами.
При единовременном погашении планирование погашения долга – это расчет наращенной суммы и суммы процентов.
При погашении в рассрочку планирование погашения долга - это расчет следующих показателей:
- срочные уплаты -это периодические расходы, связанные с погашением долга, они возникают, т.к. необходимо периодически погашать очередную часть долга и выплачивать проценты по остатку задолженности;
- обслуживание долга –это общие расходы, связанные с погашением долга (аналог наращенной суммы)
- стоимость долга - это разница между общими расходами и основным долгом (аналог суммы процентов)
Эти показатели рассчитываются по-разному в зависимости от способа погашения:
1)погашение долга единовременным платежом, когда первоначальная сумма долга погашается одним платежом в конце срока, при этом проценты начисляются на сумму основного долга и выплачиваются либо периодически, либо одним платежом вместе с долгом;
2) погашение долга равными долями (равными суммами основного долга), когда первоначальная сумма долга делится на равные доли по количеству выплат. При этом проценты начисляются на остаток задолженности, и выплачивается периодически вместе с долями.
3) погашение долга равными срочными уплатами, когда основной долг с учетом начисленных процентов погашается постоянной обычной рентой.
При планировании погашения долга составляется план погашения в виде следующей таблице:
| Период погашения | Остаток задолженности | Проценты | Погашение долга | Срочные уплаты |
| … | ||||
| n | ||||
| Итого: |
Если платежи по погашению основного долга известны ( ), то
6.2 Погашение долга равными долями.
В этом случае срочные уплаты – это доля долга, плюс проценты, начисленные на остаток задолженности, т.к. остаток задолженности постоянно уменьшается, то соответственно проценты тоже уменьшаются, а значит, уменьшаются и срочные уплаты:
, где - срочные уплаты в период k (k=1,2,3….n),
Р – первоначальная сумма долга,
n - срок долга.
Обслуживание и стоимость долга находят по формулам:
, где S - обслуживание долга,
I - стоимость долга.
6.3 Погашение долга равными срочными уплатами.
В этом случае срочные уплаты рассчитываются по формуле платежа постоянной обычной ренты:
Обслуживание и стоимость долга находят по формулам:
6.4 Потребительский кредит
Существует другой подход к погашению долга равными срочными уплатами, называемый потребительский кредит, когда сразу в момент выдачи кредита определяется его стоимость, т.е. сумма процентов, которая находится, исходя из суммы первоначального долга:
Зная стоимость, рассчитывают общие расходы:
Затем общую сумму расходов делят по количеству выплат и находят срочные уплаты:
Этот способ является самым несправедливым, т.к. кредит погашается в рассрочку, но при этом проценты начисляются не на остаток задолженности, а на всю сумму долга, то есть получается, что заемщик платит проценты за кредит, которым не пользуется.
Так как ставка, указываемая при потребительском кредите, не отражает реальной доходности операции, то для расчета процентов за текущий период используется правило78, согласно, которому для кредита сроком 1 год с ежемесячным погашением проценты за каждый месяц определяется по схеме:
В общем случае эта схема записывается в виде:
Если погашение долга осуществляется несколько раз в год, то во всех формулах делается следующая корректировка срока и ставки: , , где m - количество выплат за год.
Цель и задачи изучения темы — ознакомить студентов с методами расчета характеристик постоянных финансовых рент, научить их рассчитывать приведенную стоимость финансового потока к тому или иному моменту времени, понимать связь результатов приведения к разным моментам. Студенты должны освоить вывод базовых формул постоянных финансовых рент, уметь применять такие формулы, грамотно организовывать и проводить расчеты, связанные с постоянными финансовыми рентами, уметь учитывать в расчетах особенности начисления платежей и процентов в таких рентах.
Оглавление
4.1. Характеристики потоков платежей
4.1.1. Основные понятия
Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.
Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока.
Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.
Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.
В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.
В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами.
Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей
Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)
Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)
Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.
К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:
- член ренты — размер отдельного платежа;
- период ренты — длина интервала времени между соседними платежами;
- срок ренты — длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;
- процентная ставка — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.
При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.
Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте.
Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо.
4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей
Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.
Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.
Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке) потока, во втором — о наращенной стоимости (наращенной сумме) потока.
Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.
4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока
Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.
Пусть поток состоит из членов R k , приуроченных к моментам времени t k . Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t.
Рассмотрим произвольный член потока R k . Если соответствующий ему момент времени t k наступает раньше момента приведения t,
t k k на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный . Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина R k по сложной процентной ставке i за время (t — t k ), отделяющее момент t k от момента t.
Другими словами, если бы денежную сумму R k положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — t k ) величина R k выросла бы до величины R k . Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина R k при умножении увеличивается.
Если же момент времени t k наступает позже момента t,
t k > t,
то при пересчете оценки величины R k на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. . Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина R k при умножении на такой коэффициент уменьшается.
Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и t k , при приведении члена потока R k к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное .
В одной ситуации это приводит к увеличению R k , в другой — к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины R k , к ее приведению на момент времени t.
Приведенная стоимость всего потока S t , приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, т. е. формулой
Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.
4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени
Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.
Пусть t — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t получим величину:
Величины S t и S t связаны соотношением
Рассмотрим отношение приведенных оценок:
Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если
t> t ,
откуда следует, что
S t > S t .
Отношение приведенных оценок S t / S t выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.
Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.
Действительно, пусть и — стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а и — стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t. Тогда отношения этих оценок равны:
Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.
4.2. Характеристики постоянной финансовой ренты
4.2.1. Расчет характеристик постоянной ренты
Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков — постоянной финансовой ренты — мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.
Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R (рис. 4.4). Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год (такая рента называется аннуитетом). Пусть это рента постнумерандо.
Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний — в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.
Рис. 4.4. Постоянная финансовая рента
Определим наращенную конечную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец ее срока (конечную стоимость обозначают иногда также посредством FV — Future Value).
Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.
Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.
Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).
Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в .
Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в .
В частности, первый член преобразуется в .
Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i), приходим к формуле
Это и есть формула конечной наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.
Обратимся к формуле начальной, современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV — Present Value ). Эту формулу можно получить двумя способами.
Один — провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой — провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, т. е. воспользоваться равенством
Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу
По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, т. е. в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:
4.2.2. Вечная рента
В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, т. е. имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.
Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами.
Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т. к. такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.
Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:
Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.
4.2.3. Связь параметров ренты
Полученные формулы позволяют рассчитать параметры ренты R и n через ее итоговые приведенные характеристики S и A. Простые преобразования приводят к формулам для члена ренты R:
Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид
Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид
В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).
4.2.4. Ренты пренумерандо и постнумерандо
Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид
Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:
Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:
Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+ i) раз.
Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид
Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид
Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+ i) раз.
В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.
4.3. Платежи и проценты
4.3.1. Учет особенностей начисления процентов
Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.
Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.
1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле
В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид
В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.
2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле
j = i/4
или, в случае разделения года на m периодов, по формуле
j = i/m.
В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине
При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:
Для современной стоимости потока получаем формулу
4.3.2. Учет особенностей поступления платежей
Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.
Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.
На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.
Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть
Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой
Современная стоимость ренты определяется формулой
4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей
Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.
Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.
Выводы
Финансовая рента — это последовательность платежей, возникающих через равные промежутки времени. Если размеры платежей финансовой ренты одинаковы, то рента называется постоянной финансовой рентой.
Различают ренты постнумерандо (платежи поступают в конце промежутков времени) и ренты пренумерандо (платежи поступают в начале промежутков времени).
Конечная стоимость ренты S и начальная стоимость ренты A определяются путем приведения всех платежей к конечному или начальному моменту времени по сложной процентной ставке. Итоговые формулы получаются на основе суммирования геометрической прогрессии. Для ренты постнумерандо формулы имеют вид
Формула начальной стоимости ренты применима и для вечной ренты, содержащей бесконечное множество платежей:
Сущность финансовой ренты, описание её основных параметров. Определение ставки финансовой ренты, её классификация и признаки. Отличительные черты немедленного и отложенного аннуитета. Виды рент по вероятности выплат и по количеству начислений процентов.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.06.2015 |
| Размер файла | 15,7 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
НОУ ВПО "ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ,
БИЗНЕСА И ПРАВА"
По дисциплине: "Инвестиционный анализ"
Выполнил: Романова Валерия Игоревна
Проверил: Коханова Виктория Сергеевна
План работы
Финансовая рента или аннуитет и ее основные параметры
Финансовая рента или аннуитет и ее основные параметры
Финансовая рента (аннуитет) - это поток платежей, все члены которого положитель-ные величины, а временные интервалы между платежами постоянны. Например, рентой являются последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Во всех приведенных случаях выплаты или получения денег производятся через равные промежутки времени. Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, существенно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений ряда необходимых для расчетов коэффициентов и быстро выполнять расчеты на калькуляторах.
Рента характеризуется следующими параметрами:
- член ренты (R)- размер каждого отдельного платежа;
- период ренты (t)- временной интервал между двумя последовательными платежами;
- срок ренты (n)- время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;
- процентная ставка (i)- ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.
Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой ренты, вместе с тем этот параметр крайне необходим для ее анализа.
При характеристике отдельных видов рент необходимы дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и частота начислений процентов.
В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации могут быть положены различные признаки. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.
1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые(выплата раз в году) и р-срочные(р-количество выплат в году). В анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными.В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.
2. По количеству начислений процентов на протяжении года различают: рента финансовый процент аннуитет
- ренты с ежегодным начислением;
- с начислением mраз в году;
- с непрерывным начислением.
Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты. Однако, как будет показано, расчеты заметно упрощаются, если два указанных момента совпадают.
3. По величине своих членов ренты делятся на:
ь постоянные -с одинаковыми платежами;
ь переменные- члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, либо несистематично (задаются таблицей).
4. По вероятности выплат ренты делятся на:
- верные- подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно;
- условные - выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты- обобщающее понятие для всех видов страхования ренты и пенсии, означающее, что страхователь единовременно или в рассрочку вносит страховому учреждению оговоренную сумму денег, а затем в течение нескольких лет или пожизненно получает регулярный доход. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.
5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т.е. ограниченные по срокамренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, иливечные,ренты. С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по облигационным займам с неограниченными сроками.
6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленныеи отложенные, или отсроченные.
Немедленный аннуитет - аннуитет, который приобретается на основе единовременного платежа и выплаты по которому начинаются сразу же после вступления договора в силу.
Отложенный аннуитет - аннуитет, начало выплат у которого сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени, приобретаемый единичным платежом или периодическими взносами. Выплаты по отложенному аннуитету начинаются в будущем. До этого срока страховая компания вкладывает взносы и накапливает проценты с этих вложений.
Отсроченный аннуитет - аннуитет, при котором первая выплата осуществляется в определенный день в конце первого года после заключения договора.
7. По моменту выплат платежей в пределах периода ренты делятся на:
- постнумерандо (обыкновенные), если платежи по ренте осуществляются в конце периодов;
- пренумерандо,если платежи по ренте производятся в начале периодов.
Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.
Выплата долга в 40 млн руб. осуществляется двумя суммами 1 апреля- 20 млн., 1 сентября - 20 млн.. Порядок выплат изменен: 1 июня - 15 млн, а оставшуюся часть погасить 1 декабря.. Найти оставшуюся часть долга при простой процентной ставке 15 % и точное число дней ссуды. Принять за базовую дату приведения момент выплаты первых 20 млн. руб.. Временная база 365 дней.
61 день -первый период
183 дня-второй период
Ответ. Точное число дней ссуды 244 дня, менее года.
Первые два года начисляются сложные проценты по ставке 20 %, вторые три год - 25 %. Следующий год - 30 %. Рассчитать среднегодовую процентную ставку.
(1+0,2) 2 *(1+0,25) 3 *(1+0,3)=1,44*1,953*1,3=3,65
Множитель за 6 лет - 3,65
Ответ. Среднегодовая процентная ставка составляет 0,6 %.
Список литературы
1. Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М.: Экономистъ, 1009. - 185с.
2. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М.: Гардарики, 2010. - 624с.
3. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 2008. - 304с.
Подобные документы
Основные виды аннуитетов: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам. Расчет будущей стоимости постоянного аннуитета. Вычичсление параметров финансовой ренты постнумерандо и пренумерандо.
презентация [136,7 K], добавлен 25.03.2014
Современная величина обычной ренты. Определение процентной ставки финансовой ренты. Математическое и банковское дисконтирование. Эквивалентность процентных ставок и средних ставок. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Консолидация платежей.
контрольная работа [80,7 K], добавлен 28.11.2013
В чем заключается принцип неравноценности денег. Случаи использования простых процентов. Описание использования при математическом дисконтировании сложных процентных ставок. Определение наращенной суммы ренты пренумерандо, ее отличие от обычной ренты.
контрольная работа [61,2 K], добавлен 22.12.2010
Формула определения современной ценности срочной финансовой ренты с начислением процентов. Методики начисления процентов по вкладам: декурсивный метод простых и сложных процентов, английская, немецкая и французская практики, их сравнительный анализ.
контрольная работа [29,4 K], добавлен 05.03.2009
Особенности определения размера выданной ссуды и величины начисленных процентов по кредиту. Вычисление размера первоначального взноса в случае формирования резервного фонда с постоянным абсолютным приростом платежей. Расчет схемы финансовой ренты.
При определении величины годовой выплаты ренты используются полученные выше формулы для расчета наращенной суммы и современной стоимости различных рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты кроме годовой выплаты. Для р – срочной ренты с начислением процентов m – раз в году величина годовой выплаты определяется по формулам (3.9) и (3.11).
; , (3.30)
где S и A наращенная сумма и современная стоимость ренты соответственно, и – коэффициенты наращения и приведения ренты соответственно, p – количество выплат в году, m – количество начислений процентов в году, j – номинальная процентная ставка, n – срок ренты в годах.
Пример 3.12. В фонд ежегодно в конце периода поступают средства в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращенная сумма к концу срока составит 100 тыс. руб. Определить коэффициент наращения ренты и годовую выплату.
Решение. Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов ежемесячно находится по формуле (3.10).
=
Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов раз в году (m=1) определяется формулой
Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно составят
руб.
Годовые выплаты при начислении процентов раз в году
руб.
Для других типов рент величина годовой выплаты определяется аналогично.
В практической деятельности возникают задачи определения срока ренты при прочих известных параметрах. Срок ренты определяется из формул для наращенной суммы и современной стоимости ренты, которые получены нами раньше. Наиболее общим случаем постоянной ренты является рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма определяется по формуле
Представим эту формулу в виде
Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получим
Решив это уравнение относительно n, окончательно получим
(3.31)
При расчете по этой формуле срок получается, как правило, дробным. Поэтому количество периодов np округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле
(3.32)
Пример 3.17. В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата – 10 тыс. руб. Определить срок ренты.
Решение. Срок ренты находится по формуле (3.36).
=
лет.
Количество кварталов в полученном сроке составит np=6,197*4=24,788. Округляем полученное число до 25, то есть количество лет ренты принимается равным 6,25. Подставив это число в формулу (3.37), получим величину ежеквартальной выплаты.
руб.
Аналогично находят формулу для срока ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году по ее современной стоимости. Эта формула имеет вид
(3.33)
Формула для уточнения значения разового платежа
(3.34)
Пример 3.13. Долг в размере 50 тыс. руб. погашается равными частями в конце каждого квартала по 2,5 тыс. руб. На взносы начисляются проценты раз в году по ставке 15% годовых. Определить время погашения долга.
Решение. Срок ренты находится по формуле (3.33), которая для условий примера принимает вид
=
8,886 лет.
Количество кварталов в полученном сроке составит np=8,886*4=35,5. Округляем полученное число до 35, то есть количество лет ренты принимается равным 8,75. Подставив это число в формулу (3.34), уточним величину ежеквартальной выплаты.
руб.
Для других типов ренты срок находится аналогично.
Важной проблемой при анализе потоков платежей является задача расчета процентной ставки ренты. Если известны все параметры ренты кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции. Процентная ставка определяется из соотношений для расчета наращенной суммы и современной стоимости по формулам, полученным выше, для различных типов рент. В отличие от определения годовой выплаты ренты или ее срока, выражение для расчета процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим один из способов, называемый методом Ньютона-Рафсона.
В общем случае метод Ньютона-Рафсона состоит в последовательном приближении к решению нелинейного уравнения . Геометрический смысл метода поясняется на рис. 3.6.
Предполагается, что функция в исследуемой области является гладкой, непрерывной, монотонно возрастающей или монотонно убывающей. Вблизи решения выбирается произвольная точка . Через точку ( , ) проводится касательная к функции , которая пересекается с осью 0 в точке . Как следует из рис. 3.6, эта точка лежит ближе к решению по сравнению с точкой . Координата точки определяется из геометрии рис. 3.6. Из прямоугольного треугольника следует, что
(3.35)
Рис. 3.6.
Так как tga является производной f'(x1) функции f(x) в точке x1, то решение (3.35) относительно x2 можно записать в виде
Аналогично находится координата точки x3 еще ближе лежащей к решению x0. В общем случае рекуррентное соотношение можно представить в виде
, (3.36)
где t – номер итерации.
Для годовой ренты наращенная сумма определяется формулой (3.4), которую перепишем в виде
(3.37)
При решении этого уравнения его приводят к виду, удобному для дальнейших расчетов. Прежде всего введем замену
(3.38)
и перенесем левую часть вправо. В результате получим
Так как на ноль делить нельзя, то .
Умножив левую и правую части этого уравнения на , найдем
В качестве искомой функции принимаем
(3.39)
Производная этой функции вычисляется по формуле
(3.40)
Пример 3.14. В накопительный фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 тыс. руб. в течении 7 лет, причем на конец срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определить доходность инвестиций.
Решение. Для решения используются формулы (3.36),(3.39) и (3.40). . Положим =1,15.
Первая итерация. ;
;
.
Вторая итерация. ; ;
Третья итерация. ;
.
Поскольку результаты во второй и в третьей итерациях слабо отличаются друг от друга, то вычисления можно прекратить и принять в соответствии с (3.43) или 11,71235%. Другим методом, подтверждающим окончание вычислений, является проверка. Для этого в правую часть уравнения (3.37) подставляют полученное значение ставки. Если результат совпадает с левой частью или слабо отличается от нее, то вычисления прекращаются. Для рассматриваемого примера
Рента пренумерандо: платежи производятся в начале периода.
Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (l+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
Spre = S·(1+i)
где S - наращенная сумма ренты постнумерандо.
Современные величины рент пренумерандо рассчитываются аналогично, т.е.:
Apre = A·(1+i)
Если проценты начисляются по номинальной процентной ставке j , а выплаты производятся р раз в году, современная и наращённая стоимость ренты пренумерандо будет равна:
A p r e = A · ( 1 + j m ) m p
S p r e = S · ( 1 + j m ) m p
Если платежи ренты производятся в середине периода:
A p r e = A · ( 1 + j m ) m 2p
S p r e = S · ( 1 + j m ) m 2p
Примеры задач по схеме пренумерандо
Вечная рента (бессрочный аннуитет)
A = R j
Для общего случая ренты, когда число рентных платежей р>1, современная стоимость: A = R p · 1 ( 1 + j m ) m p − 1
Примеры задач по схеме вечной ренты
- Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением R = 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен j = 10% годовых.
Решить аналогичную
Текущая стоимость аннуитета составит: A = R/j = 400/0,1 = 4000 руб. - Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере R = 20 руб. дважды в год в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла j = 5% годовых. Определить сумму,подлежащую выплате на каждую облигацию.
Решить аналогичную
Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа: A = 4 0 2 · 1 ( 1 + 0 , 0 5 ) 1 2 − 1 = 809,88 руб.
Отложенная рента
Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:
A t = A · 1 ( 1 + i ) t
где А — современная величина немедленной ренты.
Примеры задач по схеме отложенной рента
- Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 25 тыс.руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.
Решить аналогичную
Современная стоимость немедленной ренты: R · 1 − ( 1 + j ) − n j
A = 25 · 1 − ( 1 + 0,1 ) − 3 0,1 = 62,171 тыс.руб.
Современная стоимость отложенной ренты: A t = A · 1 ( 1 + i ) t
A 2 = 62,171 · 1 ( 1 + 0,1 ) 2 = 51,381 тыс.руб.
Список источников
- Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
- Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. - 5-е перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2010. - 144 с.
Ввод данных
Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2021
Этот сайт использует cookie для сбора статистики по посещаемости. Отключить их можно, изменив настройки используемого Вами браузера. Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Читайте также: