Пятый постулат евклида кратко

Обновлено: 05.07.2024

Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида) . Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей.

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера) :

Постулат Прокла:
В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

5й постулат Евклида - основа классической планиметрии, то есть геометрии на плоскости

Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т. е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°).

Эта статья посвящена пятому постулату Евклида и его истории.

Как появилась геометрия

С тех пор как земельные наделы стали предметом купли-продажи и сдачи в аренду, их размеры и площадь нужно было измерять, в том числе путем вычислений. Кроме того, подобные расчеты стали необходимы при строительстве масштабных сооружений, а также при измерении объема различных предметов. Все это стало предпосылками возникновения 3-4 тысячелетия назад в Египте и Вавилоне искусства землемерия. Оно было эмпирическим и представляло собой собрание примеров решения нескольких сотен конкретных задач, без каких-либо доказательств.

Кем был Евклид

Древняя Греция дала миру многих величайших философов и ученых. Одним из них является Евклид, ставший основоположником Александрийской математической школы. О самом ученом практически ничего не известно. Некоторые источники указывают, что в молодости будущий Отец современной геометрии учился в известной школе Платона в Афинах, а затем вернулся в Александрию, где продолжил заниматься математикой и оптикой, а также писал музыку. В родном городе он основал школу, где вместе с учениками и создал свой знаменитый труд, который на протяжении более чем двух тысячелетий является базой для любого учебника по планиметрии и стереометрии.

Главный и первый наиболее систематизированный труд по геометрии состоит из 13 томов. Первые четыре и шестая книги касаются планиметрии, а 11, 12 и 13-я — стереометрии. Что касается остальных томов, то они посвящены арифметике, которая приводится с точки зрения геометрических постулатов.

Роль главного труда Евклида в последующем развитии математических наук трудно переоценить. До нас дошло несколько папирусных списков с оригинала, а также византийских манускриптов.

Некоторые особенности

Элементарным геометрическим объектом, по мнению Евклида, является точка. Второе важное понятие — бесконечность пространства, которая характеризуется тремя первыми постулатами. Четвертый касается равенства прямых углов. Что касается пятого постулата Евклида, то именно он определяет свойства и геометрию евклидова пространства.

Аксиомы и первые 4 постулата Евклида

Кроме того, Евклид приводит 5 постулатов. Первые четыре гласят:

от любой точки до всякой другой можно провести прямую;
из любого центра всяким радиусом возможно описать окружность;
ограниченная прямая может непрерывно продолжаться по прямой;
все прямые углы равны.

Пятый постулат Евклида

На протяжении более двух тысячелетий это утверждение неоднократно становилось объектом пристального внимания математиков. Однако сначала познакомимся с содержанием пятого постулата Евклида. Итак, в современной формулировке он звучит так: если на плоскости при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних внутренних углов меньше 180°, то эти прямые при продолжении рано или поздно пересекутся с той стороны, с которой эта величина (сумма) меньше 180°.

Пятый постулат Евклида, формулировка которого в разных источниках приводится по-разному, с самого начала вызвала спорт и желание перевести его в разряд теорем путем построения обоснованного доказательства. Кстати, нередко его подменяют другим выражением, на самом деле придуманным Проклом и известным также, как аксиома Плейфера. Оно гласит: на плоскости через точку, не принадлежащей данной прямой, возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Формулировки

Как уже было сказано, многие ученые пытались по-другому высказать идею 5-го постулата Евклида. Многие формулировки достаточно очевидны. Например:

сближающиеся прямые пересекаются;
существует хотя бы один прямоугольник, то есть 4-угольник с четырьмя прямыми углами;
каждая фигура может быть пропорционально увеличена;
существует треугольник, имеющий любую, сколь угодно большую площадь.

Недостатки

Геометрия Евклида стала величайшим математическим трудом античности и вплоть до 19 века она безраздельно царила в математике. Несмотря на это, некоторые ее недостатки были отмечены еще современниками автора и древнегреческими учеными, жившими несколько позже. В частности, Архимед добавил новую аксиому, названную его именем. Она гласит: для любых отрезков AB и CD существует такое натуральное число n, что n·[AB]>[CD].

Кроме того, ученые стремились минимизировать систему евклидовых постулатов и аксиом. Для этого они вывели некоторые из них из остальных.

История 5 постулата в древности и в раннем Средневековье

Классическая формулировка этого утверждения геометрии Евклида кажется гораздо менее очевидной, чем четырех других. Именно это обстоятельство не давало покоя математикам.

Камнем преткновения для пятого постулата Евклида явилось само определение параллельности двух прямых a и b, гласящее, что сумма двух односторонних углов, которые образованы пересечением a и b с третьей прямой c, равна 180 градусам.

Первая попытка доказать его как теорему была предпринята древнегреческим геометром Посидонием. Он предложил считать прямой параллельной данной множество всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от исходной. Однако даже это не позволило Посидонию найти доказательство 5-го постулата.

Ни к чему не привели и попытки прочих математиков, в том числе и средневековых, таких как же арабы ибн Корра и Хайама. Единственное, чего удалось добиться — появление новых постулатов, которые доказываются с учетом различных допущений.

К началу 19-го столетия возникла идея создания неевклидовой геометрии. Первым описание системы, не зависящей от пятого постулата, привел военный инженер Я. Бойаи. Но он сам испугался своего открытия и не стал развивать эту идею, посчитав ее ошибочной. Успеха не смог добиться и великий немецкий математик К. Гаусс.

Прорыв

Н. И. Лобачевский изначально пошел по тому же пути, что и его коллеги. Пытаясь доказать 5-й постулат, он не добился успеха. Тогда ученый отказался от евклидового представления, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам. Далее он стал доказывать это утверждение от противного и получил новую формулировку для пятого постулата. Теперь он допускал существование нескольких прямых, параллельных данной, и проходящих через точку, лежащую вне этой прямой.

Новая геометрия

К сожалению, идеи геометрии Лобачевского не были восприняты и поняты современниками. В частности, его ученики не продолжили дело ученого, и развитие неевклидовой геометрии было отложено на несколько десятилетий.

Некоторые особенности теории Лобачевского

Чтобы понять новую геометрию, нужно рассмотреть космическую бесконечность. Действительно, сложно представить, что бескрайная Вселенная представляет собой сумму прямолинейных пространств.

В реальной жизни также есть аналоги криволинейных пространств Вселенной, которые позволяют представить возможность существования нескольких прямых параллельных данной, проходящих через одну точку. В частности, это изогнутые поверхности трех типов, которые выделены итальянским геометром Е. Бельтрами и названные псевдосферами.

Дальнейшее развитие теории Лобачевского

Выдающийся русский был не единственным, кто предположил не абсолютность евклидовой геометрии. В частности, математик Б. Риман в 1854 году выдвинул идею о возможности существования пространств нулевой, положительной и отрицательной кривизной. Это означало, что возможно создание бесконечного множества различных неклассических геометрий.

С позиций Б. Римана, который изучал в основном пространства с положительной кривизной, 5-й постулат Евклида звучит достаточно неожиданно. Согласно его идеям, через точку вне данной прямой нельзя провести ни одной прямой, которая параллельна данной.

Совсем по-иному обстоит дело с пространствами нулевой, отрицательной и положительной кривизны по теории Ф. Клейна. В частности, в первом случае они описываются параболической геометрией, частным случаем которой является классическая, во второй — подчиняются идеям Лобачевского, а в третьем — соответствуют свойствам, описанным Риманом.

После опубликования Теории относительности Альберта Эйнштейна, представления о таких пространствах дополнили данными, учитывающими существование четырех взаимообусловленных и меняющихся измерений — массы, энергии, скорости и времени.

На практике

Остается ждать, когда будут созданы условия, позволяющие получить экспериментальные данные, которые подтвердят или опровергнут теории Н. Лобачевского и Б. Римана в масштабах Галактики.

Теперь вам известны, что декларирует пятый постулат Евклида и его история, которая весьма поучительна и позволяет проследить эволюцию человеческой мысли на протяжении последних 2300 лет.

Труд Евклида "Начала" относится к 300 году до н.э. Так получилось, что этот труд стал единственным, с чем ассоциируется Евклид, потому что других сведений о великом геометре древности практически не сохранилось.

Определения и постулаты

На первой странице "Начал" с помощью простейших формулировок были определены основные понятия, такие как точка, линия, прямая, угол, поверхность и т.д.

Точка - есть то, что не имеет частей.
Линия - длина без ширины.
Концы же линии - точки.
Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

Однако самое важное и монументальное начинается чуть позже, а именно постулаты (в греческом языке, буквально, требования), которые Евклид начинает со слова "допустим" :

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
Ограниченную прямую можно продолжать непрерывно по прямой.
Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
Все прямые углы равны между собой.
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одно сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.

Пятый постулат Евклида в оригинальной формулировке. Сотни лет математики пытались перевести пятый постулат в разряд теоремы, но безуспешно.

Пятый постулат уже на этапе формулировки значительно отличается от предыдущих тривиальных "требований". Да настолько, что даже в школьной программе его заменяют формулировкой Прокла, согласно которой "через точку, не лежащую на данной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной:

Существуют еще десятки эквивалентных формулировок пятого постулата, например существует треугольник бесконечно большой площади, сумма углов треугольника равна 180 градусов, через каждый три точки можно провести либо прямую либо окружность. Эквивалентность означает, что все они доказуемы, если принять пятый постулат как теорему, и наоборот.

Евклид выбрал свои постулаты по очевидности и наглядности, однако, когда математики обнаружили, что через точку можно провести как бесконечное количество прямых, параллельных данной, так и ни одной, стало понятно главное: вопрос о его истинности и первоприроде просто не имеет смысла! Почему, например, его опровержение не считать истиной? Почему, например, не отвергнуть какой-то из первых постулатов?

В действительно корректность того или иного постулата зависит от объекта, который мы изучаем!

Пример итальянского геометра Эудженио Бельтрами. Пусть пространство, в котором есть объекты, ограничено кругом (его граница - называется абсолютом, и она не включена в пространство). Точки лежат внутри круга, а все прямые линии начало и конец имеют на границе круга. Возьмем точку О и прямую линию (зеленая хорда). Если соединить точку О с концами хорды, получим две параллельные прямые, т.к. по определению их концы находятся на границе круга, которая не принадлежит пространству! Пятый постулат не выполняется!

Альберт Эйнштейн по поводу постулатов Евклида высказывался так:

"Бесполезно доказывать, действительно ли можно провести через две точки только одну прямую. Чтобы спор об истинности аксиом имел смысл, нужно установить их соответствие с реальностью. однако ничто не указывает, что в геометрии понятия точки и прямой нужно понимать как в обычной жизни, наоборот, геометрия есть не более набор абстрактных идей и отношений между ними".

Он же показал, что окружающий нас мир глобально не подчиняется пятому постулату Евклида, показав что гравитация является мерой кривизны пространства и даже луч света отклоняется от идеальной евклидовой прямой.

Конечно, когда Евклид работал над "Началами" он и предполагать не мог, что все те вещи, наполненные для него конкретным физическим значением окажутся всего лишь одной из множества абстракций. Что его постулаты будут подвергнуты сомнению, а проблемы его аксиоматики приведут к невероятному скачку в развитии математической логики и теории доказательств. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!

Основная идея доказательства заключается в том, что угол между любыми отрезками, взятыми на прямой, всегда равен нулю или 180 градусам, что то же самое в данном случае.

Если данное утверждение справедливо, то верен и 5-й постулат Евклида.

Это доказывается с помощью окружности и прямой проведенной через центр данной окружности.

Т.е. доказательство ведется через рассмотрение свойств прямой линии.

Подробнее

Если провести прямую линию через центр окружности, то эта прямая разделит окружность на две равные части.

Такое утверждение представляется вполне очевидным.

Действительно, если бы какая-нибудь из разделённых частей окружности была больше по площади или по длине дуги, то мы были бы вынуждены предоставить аргументацию того, чем вызвано наше предпочтение той или иной из частей.

Будь то искривление пространства или еще какая-нибудь другая идея – все они выходят за рамки логической геометрии.

Ни у одного из критиков Евклида данное определение не вызвало сомнений, т.к. оно представляется довольно очевидным. Иначе, мы должны были бы определить предпочитаемую сторону, лежащую по ту ли иную сторону от этой прямой.

Рис.1

Возьмем окружность с центром в точке О и с произвольным радиусом R1 (Рис.1) Проведем через центр окружности прямую ab. По определению прямая ab разделит окружность на две равные части. Точки пересечения окружности и прямой будут точки A и B. Длина дуг окружности по одну и другую сторону от секущей прямой будет равна друг другу и равна π радиусов окружности.

Построим еще одну окружность, но с радиусом R2 больше чем у первой окружности R1.

Точки пересечения прямой ab со второй окружностью C и D, также разделят эту окружность на две равные части, и длина двух дуг будет равна друг другу, и равна π радиусов.

Теперь, можно заметить, что угол между лучом AC (проходящим через точки A и C) и лучом BD (проходящим через точки B и D) равен π радиан.

Если же считать отрезки между точками на прямой ab ненаправленными, то угол между ними будет равен, или π, или ноль радиан.

Так как можно построить окружность любого радиуса, из любой точки, лежащей на произвольной прямой, то отсюда следует вывод, что в любых точках прямой, угол между любыми отрезками, лежащими на этой прямой, будет равен π или 0, что в данном случае равнозначно.

Следовательно, строя прямоугольник, мы всегда придем к выводу, что сумма углов в прямоугольнике равна 360 градусов. И соответственно, на основании второй теоремы Лежандра, сумма углов в любом треугольнике будет равна 180 градусов.

Рис.2

Действительно, на любой стороне прямоугольника (Рис.2) мы можем взять точку и построить окружность с центром в данной точке. Далее, мы можем построить еще одну окружность с центром в этом же точке. Таким образом, мы можем видеть, что угол между отрезками, отсеченными этими окружностями, будет равен нулю градусов. Такие же построения мы можем сделать и на других сторонах. Из этого следует, что угол между любыми отрезками, взятыми на одной стороне прямоугольника, будет равен нулю градусов. Суммируя прямые углы при вершинах прямоугольника, мы, естественно придем к результату в 360 градусов. Разделив прямоугольник любой из диагоналей на два треугольника, мы получим треугольник с суммой углов в 180.

По второй теореме Лежандра, если существует хотя бы один треугольник, в котором сумма внутренних углов равна двум прямым, то из этого надлежит заключить, что во всяком треугольнике сумма внутренних углов также равна двум прямым.

Многословие

В данной части, на правах автора, позволю себе высказать некоторые мысли напрямую или косвенно связанные с проблемой 5-го постулата Евклида. Этот раздел, возможно, будет спорным, но доказательство, приведенное выше, не зависит от идей приведенных ниже.

Определение прямой линии, как причина проблемы с доказательством 5-го постулата Евклида.

Казалось бы такое простое доказательство, данное выше.

Так в чем же причина того, что 5-й постулат остается спорным до сих пор?

Мне представляется, что проблема, как не странно, кроется в Определении прямой линии.

Определение через ось тела вращения – это скорее умозрительное описание предмета, не дающее работоспособных правил к применению. Это не более чем бытовое представление о прямой линии, по сути равнозначное определению прямой двумя точками. Этим определением мы ничего не сможем ни доказать, ни опровергнуть.

Евклид дал такое определение прямой линии (в переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского):

Об этом говорит обширность комментариев даваемых к этому Определению. Но в любом случае оно также неприменимо для целей доказательства или опровержения чего либо. Это просто бытовое представление о прямой линии, тем более не совсем ясное.

Лобачевский не соглашается с этим заявлением. Ни сколько не умаляя ни труда, ни заслуг Лобачевского в поисках истины о 5-м Постулате Евклида, автору представляется, что именно эта причина, замеченная Лежандром, и есть суть проблемы.

Искривление пространства и прочие физические сущности

При рассуждениях о 5-м постулате Евклида, некоторые популяризаторы уходят в рассуждения об искривлении пространства, об многомерности пространства невидимой бытовому наблюдателю и прочих головокружительных сущностях.

Так вот, что касается геометрии, как предмета рассматриваемого Евклидом, как и его великими последователями включая и Лежандра и Лобачевского, ни о каком физическом пространстве речи у них не идет.

Геометрия Евклида – это чисто логическая абстракция, где пространство не обладает какими либо физическими параметрами. Соответственно и привлечение, каких либо физических идей в геометрии Евклида неуместно.

Логика и законы сохранения окружающего нас мира. Бесконечность

Наша логика строится на принципах законов сохранения. Эти законы, например закон сохранения энергии, или закон сохранения импульса, окружают человека во всем наблюдаемом человеком пространстве.

В соответствии с этими законами и строиться логические цепи во всех рассуждениях человека. В том числе все науки базируются на этих логических принципах.

И здесь мы подходим к понятию бесконечности.

Отсюда следует, что находясь в логике нашего мира, мы можем построить окружность с любым радиусом, сколь угодно большим, но не бесконечным. Соответственно доказательство приведенное автором распространяется на любую окружность, доступную в логике нашего мира.

Читайте также: