Прямые и плоскости в пространстве теория кратко

Обновлено: 05.07.2024

Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

через две точки можно провести единственную прямую;
если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

Примером пространственной фигуры может служить геометрическое тело – часть пространства, занимаемое предметом. Геометрическое тело отделяется от окружающего пространства поверхностью.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить так, чтобы они совпали всеми своими частями.

Предполагается, что при перемещении в пространстве геометрические фигуры не изменяются. Пространственные фигуры изображаются на чертеже в виде рисунков, которые выполняются по определённым правилам, основанным на геометрических свойствах фигур.

– через любые три точки пространства, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну ;

– если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку ;

– через прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести плоскость, и к тому же только одну ;

Множество плоскостей, которые проходят через некоторую прямую, называют пучком плоскостей, а прямую, через которую они проходят, – осью пучка. Плоскость на рисунку изображается в виде параллелограмма и обозначается одной буквой, например Р .

– две прямые лежат в одной плоскости, при этом они могут или иметь общую точку, то есть пересекаются, или не иметь общих точек, тогда их называют параллельными ;

– две прямые не лежат в одной плоскости и, следовательно, не имеют общих точек, тогда их называют скрещивающимися.

Условились считать, что угол между двумя скрещивающимися прямыми равняется углу, образованному двумя лучами, выходящими из одной точки и параллельными этим скрещивающимся прямым.

На рисунку прямые АВ и СD – скрещивающиеся, а лучи ОМ ∥ АВ и ОN ∥ СD ; угол между мимолетными прямыми считают таким, который равняется углу МОN .

Расстоянием между двумя параллельными прямыми считают длину заключенного между ними отрезка прямой, перпендикулярной к каждой из параллельных прямых и пересекающей их.

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной отрезка прямой, перпендикулярной к каждой из скрещивающихся прямых и пересекающей каждую из них в точках, являющихся концами этого отрезка. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть наименьшее расстояние между точками, лежащими на этих прямых.

АВ , лежащая в плоскости Р , и СD , пересекающая эту плоскость. Прямая МN перпендикулярна как к АВ , так и к СD . Тогда длина отрезка МN есть расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и СD .

– прямая и плоскость имеют одну общую точку, то есть прямая пересекает плоскость ; точку их пересечения называют следом прямой на данной плоскости;

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, которая лежит на этой плоскости.

Прямая, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна до двух прямых, которые пересекаются и лежат в некоторой плоскости, то она перпендикулярна и к любой прямой, которая лежит в данной плоскости, то есть прямая перпендикулярна к плоскости.

Прямоугольной проекцией точки на плоскость называется след перпендикуляра, проведенного через эту точку к данной плоскости. След перпендикуляра на плоскости называется основанием перпендикуляра, а след наклонной – основанием наклонной.

Прямоугольной проекцией наклонной на плоскость называется отрезок прямой, соединяющий основание наклонной и основание перпендикуляра, опущенного из конца наклонной на эту плоскость.

На рисунку АВ , АС и АD – наклонные к плоскости Р , а АО – перпендикуляр к этой плоскости. Тогда, если проекция ОВ = ОС , то и наклонные АВ = АС ; если ОD , то и соответственно наклонные АD .

Если из одной и той же точки, лежащей вне плоскости, провести к этой плоскости перпендикуляр и наклонный, то :

Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна к проекции этой наклонной на данную плоскость.

Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.

На рисунку АВ – наклонная, а АС – перпендикуляр к плоскости Р ; если MN ⊥ AB , то и MN ⊥ DC и, наоборот, если MN ⊥ CB , то и MN ⊥ AB .

Углом между прямой и плоскостью называют острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

На рисунку АВ – наклонная, а СD – её проекция на плоскость Р . Тогда угол между АВ и плоскостью Р равен ∠ АВС .

Угол между прямой и плоскостью наименьший из всех углов, образованных этой прямой с любой прямой, которая лежит в данной плоскости.

Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости две наклонные, каждая из которых равна а , угол между ними равен 60 ° , а угол между их проекциями на данную плоскость – прямой.

∆ АВС – равнобедренный с углом 60 ° при вершине, т. е. равносторонний, поэтому расстояние между основаниями наклонных

ВС = а .

∆ ВОС – равнобедренный прямоугольный (так как проекции ОВ и ОС равных наклонных АВ и АС равны ), гипотенуза которого

ВС = а ,

тогда проекция

∠ АСО = ∠ АВО = 45 ° , так как прямоугольные ∆ АВО и ∆ АОС равны между собою и одновременно являются равнобедренными треугольниками :

Если плоскость Р и прямая АВ , которая не лежит в плоскости Р , перпендикулярные к одной и той же прямой СD , то они параллельны.

Если прямая АВ параллельна к прямой СD , которая лежит в плоскости Р , то она параллельная к плоскости Р .

Если две плоскости Р и Q , что проходят соответственно через параллельные прямые АВ и СD , пересекаются, то линия их пересечения МN параллельна до обоих данных прямых АВ и СD.

Если плоскость проходит через прямую, параллельную к другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна к данной прямой.

Если прямая параллельна к каждой из двух плоскостей, которые пересекаются, то она параллельна к линии их пересечения.

Если одна из двух параллельных прямых параллельная к некоторой плоскости, то и вторая прямая параллельная к той же плоскости или лежит в ней.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, и к тому же только одна, параллельная к другой прямой.

Правильный треугольник спроектирован на плоскость Р . Вершины треугольника отстоят от этой плоскости на 10, 15 и 17 дм. Найти расстояние от центра треугольника до плоскости Р.

Расстояние от центра правильного треугольника до некоторой плоскости равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости.

– если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие две плоскости параллельные.

Если пересекающиеся прямые АВ м ВС , лежат в плоскости Р , а прями А ₁ В ₁ и В ₁ С ₁ – лежат в плоскости Q и

АВ ∥ А ₁ В ₁ , а
СВ ∥ C ₁ B ₁ , то
Р ∥ Q .

Если плоскости Р и Q параллельны и плоскость М их пересекает, то прямые пересечения этих плоскостей АВ и СD параллельны.

– если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости ;

Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся, как 6 : 7 . Определить длину этих проекций и расстояние между данными плоскостями.

Требуется определить ВС , В ₁ С ₁ и АС. Обозначим

ВС = 6х, В ₁ С ₁ = 7х

и, учитывая, что АС = А ₁ С ₁ и з треугольников АВС и А ₁ В ₁ С ₁ получим

Определив ВС и, зная АВ , находим из треугольника АВС по теореме Пифагора расстояние между плоскостями :

Часть плоскости, лежащая по одну сторону какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости, называется полуплоскостью.

Двугранным углом называется геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями Р и Q , что выходят из одной прямой АВ .

Двугранный угол обозначают или двумя буквами, поставленными у ребра, например АВ , или четырьмя буквами РАВQ , из которых две средние означают ребро, а крайние – грани.

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя перпендикулярами, восстановленными к ребру из произвольной его точки и лежащими на гранях угла.

ОN лежит в плоскости Р , а ОМ – в плоскости Q , причём ОN ⊥ АВ и ОМ ⊥ АВ , тогда угол МОN называется линейным углом двугранного угла РАВQ .

Если совместить по одной грани два неравных двугранных угла, то больше считается тот из них, между гранями которого находится другая грань второго двугранного угла. На рисунку двугранный угол РАВQ больше за двугранного угла РАВМ .

Если два двугранных угла не равны, то большему двугранному углу соответствует и больший линейный угол.

Двугранные углы называются смежными, если у них одна грань общая, а две другие составляют одну плоскость.

Двугранный угол измеряется его линейным углом, т. е. за единицу измерения двугранных углов принимается такой двугранный угол, линейный угол которого содержит единицу измерения линейных углов. Так, двугранный угол в 1 ° есть угол, линейный угол которого содержит 1 ° , двугранный угол в 1 радиан есть угол, линейный угол которого содержит 1 радиан.

Если плоскость Р проходит через перпендикуляр АВ к плоскости Q , то плоскости Р и Q взаимно перпендикулярны.

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, что лежите в одной из них и перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярная другой плоскости.

Если две плоскости взаимно перпендикулярные и из какой-либо точки одной из них опущен перпендикуляр на другую, то этот перпендикуляр лежит в первой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна ребру, образованного ими двугранного угла.

Катеты прямоугольного треугольника равны а і b . Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 30 ° с плоскостью треугольника.

По теореме о трёх перпендикулярах ОD как проекция наклонной СD на плоскость Р перпендикулярна АВ . Тогда угол

СDО = 30 °

– линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью ∆ АВС и плоскостью Р . Из ∆ АВС находим

Прямые на плоскости и в пространстве. Плоскости в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися .
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Признак параллельности прямой и плоскости : Если прямая, принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей : Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости : Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах : Для того, чтобы прямая лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.
Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

₁

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

₁

Расстояние от точки до прямой , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

₁

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

₁

1-й способ . Пусть O — центр основания пирамиды. Прямая AO параллельна прямой BC и, значит, параллельна плоскости SBC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки O до плоскости SBC . Пусть G — середина отрезка BC . Тогда прямая OG перпендикулярна BC и искомым перпендикуляром, опущенным из точки O на плоскость SBC , является высота OH прямоугольного треугольника SOG . В этом треугольнике Для площади S этого треугольника имеют место равенства Откуда находим OH = . 2-й способ . Пусть O — центр основания пирамиды. Прямая AO параллельна прямой BC и, значит, параллельна плоскости SBC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки O до плоскости SBC . Пусть G — середина отрезка BC . Тогда прямая OG перпендикулярна BC и искомым перпендикуляром, опущенным из точки O на плоскость SBC , является высота OH прямоугольного треугольника SOG . В этом треугольнике Треугольники SOG и OHG подобны по трем углам. Следовательно, SO : SG = OH : OG . Откуда находим OH =

₁

Найти длину общего перпендикуляра к этим прямым, если его можно построить
Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от какой-нибудь точки второй прямой до построенной плоскости.
Заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые, и найти расстояние между этими плоскостями.
Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и построить на этой плоскости ортогональную проекцию второй прямой:

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в следующей таблице.

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости.

Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. (они не пересекаются)

Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:

Плоскость β параллельна плоскости αПлоскость β параллельна плоскости α (рис.1);
Плоскость β пересекает плоскость α . В этом случае прямая b , которая является линией пересечения плоскостей α и β , будет параллельна прямой aпрямая b , которая является линией пересечения плоскостей α и β , будет параллельна прямой a (рис.2).

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Рис.1

Рис.2

Доказательство . Рассмотрим случай 2 и предположим противное. Предположим, что прямые a и b пересекаются в некоторой точке P (рис.3) .

Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.

Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b (рис. 4).

Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.

Читайте также: