Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны доказательства кратко

Обновлено: 05.07.2024

Геометрическая фигура, образованная двумя равными параллелограммами, лежащими в параллельных плоскостях, а их вершины соединены между собой так, что между параллельными плоскостями образуются две пары параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях, называется параллелепипедом (рис. 1).

Рисунок 1. Параллелепипед

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями параллелепипеда, стороны параллелограммов -- сторонами параллелепипеда, а вершины параллелограммов -- вершинами параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда

Противоположные грани параллелепипеда равны между собой и параллельны.

Доказательство.

Параллельность противоположных граней сразу исходит из определения 1.

Докажем равенство противоположных граней. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Рассмотрим грани $_1B_1B$ и $_1C_1C$. Так как, по определению 1, грани параллелепипеда -- параллелограммы, то $_1=_1$ и $AB=DC.$ Так же $_1||_1$ и $AB||DC$, следовательно, $\overrightarrow<_1>\uparrow \uparrow \overrightarrow<_1>$ и $\overrightarrow\uparrow \uparrow \overrightarrow$, то есть $\angle A_1AB=\angle D_1DC$. Значит, по I признаку равенства треугольников$\triangle A_1AB=\triangle D_1DC$. Аналогично доказывается, что $\triangle D_1C_1C=\triangle A_1B_1B$, следовательно, $D_1C_1CD=A_1B_1BA$. Аналогично доказывается равенство других противоположных граней.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3.

Докажем вначале, что диагонали $A_1C$ и $D_1B$ делятся точкой пересечения $O$ пополам. По теореме 1, имеем $A_1D_1=BC$ и $A_1D_1||BC$. Следовательно, $A_1D_1CB$ -- параллелограмм. Тогда, по свойству параллелограмма, получим, что диагонали $A_1C$ и $D_1B$ делятся точкой пересечения $O$ пополам. Аналогично доказывается, что диагонали $_1$ и $D_1B$ и $A_1C$ и $_1$ делятся точками их пересечения пополам. Но, так как $O$ центр диагоналей $A_1C$ и $D_1B$, то все диагонали пересекаются в этой точке.

Теорема доказана.

Прямоугольный параллелепипед

Можно выделить два частных случая понятия параллелепипеда. Один из них -- понятие прямоугольного параллелепипеда.

Параллелепипед, у которого в основаниях лежат прямоугольники и все двугранные углы равны $^0$ называется прямоугольным (рис. 4).

Рисунок 4. Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед обладает теми же свойствами, что и произвольный, однако он помимо этого обладает отдельным свойством.

Сумма квадратов трех измерений (высота, длина и ширина) равняется квадрату его диагонали.

Математически это можно записать следующим образом:

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 5. Докажем, для примера, что

Рассмотрим треугольник $ADC$. По теореме Пифагора, имеем

Так как $ABCD$ -- прямоугольник, то $DC=AB$, следовательно

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. По теореме Пифагора, имеем

Так как $_1=AA_1$, то

Прямоугольный параллелепипед, гранями которого служат квадраты, называется кубом (рис. 6).

Пример задачи

Найти длину диагонали куба, у которого высота равняется $3$.

Решение.

По определению куба, получим, что мы имеем прямоугольный параллелепипед, у которого и высота. И ширина и длина равны 3. Тогда, по теореме 3, имеем

Что будет, если сложить 6 прямоугольников вместе? Получится прямоугольный параллелепипед, который как ни поверни — одинаково прямоугольный и параллелепипедный. Давайте посмотрим, так ли все просто на самом деле.

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

основание;
грани;
ребра;
диагонали;
диагонали граней;
высота.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

На рисунке: ребро АА1 перпендикулярно основанию ABCD. АА1 перпендикулярна прямым АB и АD, которые лежат в плоскости основания

Свойства прямого параллелепипеда:

Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота
Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания
Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
Противолежащие грани параллельны друг другу.
Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
Диагонали куба равны.
Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Объем куба через длину ребра a
V = a3
Площадь поверхности куба
S = 6a2
Периметр куба
P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a - длина, b - ширина, c - высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) - сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) - суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) - сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) - сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X - сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 - AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?

Читай статью, смотри вебинар и ты все про него будешь знать!

Параллелепипед — коротко о главном

Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с $ \displaystyle 6$ гранями), все грани которой — параллелограммы.

Прямой параллелепипед —это параллелепипед, у которого $ \displaystyle 4$ боковые грани — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники

Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Свойства параллелепипеда

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений. $ \displaystyle ^>=<^>+^>+^>$.

Параллелепипед — подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Свойства параллелепипеда

Всеграни параллелепипеда – параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.

Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Прямой параллелепипед

Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.$ \displaystyle ^>=<^>+^>+^>$.

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Читать далее…

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.

Все ребра куба равны.

Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.

Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.

Давай убедимся в пользе этой формулы.

Читать далее…

Бонус. Видео из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

А теперь пора закрепить знания и порешать задачки. Иначе твои знания будут не полными!

На этом вебинаре мы на примере самых простых объемных фигур (куб, параллелепипед, призма — задание №8 из ЕГЭ) научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.

Бери ручку, тетрадь и решай задачи вместе с Алексеем!

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Время услышать тебя!

Теперь ты знаешь все про параллелепипед. Ты воспользуешься этим в решении многих задач стереометрии!

А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши в комментариях ниже свое мнение об этой статье!

Помогла ли она тебе? Все ли было понятно?

А еще ты можешь задать любой вопрос. Мы ответим!

Добавить комментарий Отменить ответ

6 комментариев

Наталья :

Скажите , пожалуйста, если разрезать куб на две равные половинки, как будет называться такая половинка-прямоугольный параллелепипед? Спасибо за такое наглядное очень подробное описание. Буду на досуге вдумчиво читать, разбираться

Алексей Шевчук :

Наталья :

Здравствуйте, Алексей!
Благодарю Вас. Вы можете посоветовать такой учебник для детей, где
наглядно и очень доступно были бы объяснены все эти объемные и плоские фигуры?
Всего доброго! С уважением, Наталья

Левани :

Огромное вам СПАСИБО !всё понятно и интересно объяснили,спасибо,было такое ощущение,что вы рядом .

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Пульхерия Алексеевна
11 мая 2018
Спасибо огромное. Вы такая потрясающая женщина. Как вам это удалось.

Аноним
05 июня 2018
Прекрасная статья, большое спасибо!

Саша
09 января 2019
Шикарное объяснение! Спасибо!

Ольга
21 января 2019
Вот бы в школе так объясняли. Всё по полочкам разложено. Спасибо!

гузаль
12 июня 2019
спасибо! все было понятно. И за мотивацию тоже спасибо)))

Читайте также: