Проективное отображение это кратко в геометрии

Обновлено: 02.07.2024

Проективная геометрия, как и аффинная геометрия, имеет дело с точками, прямыми линиями, плоскостями, кривыми и поверхностями; но без параллельности прямых. Таким образом, нет параллельных проекций , есть только центральные проекции . Теперь исследуемые объекты лежат в проективной плоскости или в проективном пространстве . Чаще всего мы имеем дело с объектами в проективном пространстве над действительными числами или комплексными числами , то есть координаты точек являются действительными или комплексными числами. Только в аксиоматической проективной геометрии (см. Ниже ) встречаются координаты из более общих структур ( тела , наклонные тела , тройные тела и т. Д.). Проективные плоскости / пространства, к которым применима теорема Дезарга , все еще могут быть хорошо описаны с помощью векторных пространств с использованием наклонных тел. Это показывает огромную важность теоремы Дезарга. Однако это всегда применимо, по крайней мере, в трехмерных проективных пространствах. Р. > С. >

Для простоты здесь всегда предполагаются действительные координаты вплоть до раздела по аксиоматической проективной геометрии.

оглавление

мотивация

Параллельная проекция одной плоскости на другую сохраняет параллельность прямой линии. С центральной проекцией (см. Рисунок) это i. А. уже не так. На рисунке две зеленые параллельные прямые горизонтальной плоскости отображаются через центральную проекцию с центром на двух (красных) прямых вертикальной плоскости, которые пересекаются в точке . Однако у точки нет архетипа. Это называется точкой схода зеленого множества параллелей. С другой стороны, точка (в плоскости, параллельной ) прямой не имеет изображения. Называют в исчезающую точку прямой . Таким образом, центральная проекция не является биекцией (рисунок 1-1) плоскости на плоскость . Выход из этой дилеммы: к каждому параллельному набору добавляется еще одна точка в каждой плоскости так, чтобы параллельные прямые пересекались. Эти новые точки называются дальними точками, и набор дальних точек образует линию расстояний соответствующей плоскости. На изображении дальней точка прямой линии затем отображается на точку схода . Точка исчезновения отображается на дальней точке (красной) прямой линии . Добавление дальних точек к плоскости создает новую структуру падения с типичными свойствами. ε Z Ф. π Ф. V π π v > грамм V грамм ε π грамм Ф. V грамм ¯ >>

  1. Каждые две точки имеют ровно одну соединительную линию и
  2. Каждые две прямые имеют ровно одну точку пересечения .

Эта новая структура называется реальной проективной плоскостью .
Такой способ расширения аффинной плоскости называется проективным замыканием .

Принцип двойственности

Перевернутое (s. O.) В отношении свойств (1), (2) термины прямой и точечный , разрезание и соединение , так что только утверждения (1) и (2) меняются местами. Поэтому, если у вас есть утверждение, в котором используются только термины прямая линия, точка, пересечение и соединение, его двойное утверждение также применимо. Например, дуализирующий Pascal «s теорема , получается теорема брианшона . Множество Desargues равно его двойственное утверждение. Но двойственная теорема Паппа - это еще одно утверждение о проективных плоскостях.

Принцип двойственности неприменим к аффинным уровням .

Неоднородные координаты

Чтобы присвоить координаты точке реальной проективной плоскости, описывают конечную точку (а не дальнюю точку) обычным способом . Уклон (в том числе ) подходит для дальней точки прямой (см. Рисунок). Поскольку точка описывается либо двумя координатами, либо одной координатой (дальняя точка), эти координаты называются неоднородными координатами . По сравнению с однородными координатами неоднородные координаты имеют большое преимущество: они уникальны, и вы можете рассчитывать обычным способом в конечном диапазоне. ( Икс , у ) у знак равно м Икс + б ( м ) ∞

Однородные координаты

Тот факт, что реальная проективная плоскость в своем неоднородном описании является лишь формально неоднородной структурой, показывает ее описание с однородными координатами . Для этого в Р. 3 ^ >

  • каждая прямая линия, проходящая через начало координат, является (проективной) точкой и
  • каждая исходная плоскость является (проективной) прямой линией .

Точка разрезается прямой линией, если прямая линия, проходящая через начало координат, соответствующей точке, лежит в плоскости начала координат, соответствующей прямой. Можно показать, что определенная таким образом структура инцидентности геометрически эквивалентна, изоморфна модели реальной проективной плоскости, определенной выше . На рисунке показано вложение конечных точек неоднородной модели реальной проективной плоскости в плоскость с уравнением . Самолет берет на себя роль прямой . Каждая прямая линия, проходящая через начало координат этой плоскости, является далекой точкой. На картинке показано назначение дальних точек обеих моделей. Поскольку точка, отличная от нулевой точки, описывает прямую, проходящую через начало координат и, следовательно, точку проективной плоскости, ее однородные координаты называются и Р. 3 ^ > Икс 3 знак равно 1 <\ displaystyle x_ = 1> Икс 3 знак равно 0 <\ displaystyle x_ = 0> ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) ∈ Р. 3 , x_ , x_ ) \ in \ mathbb ^ > Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 , x_ , x_ >

обозначает (проективную) точку с . ( Икс 1 : Икс 2 : Икс 3 ) : x_ : x_ )>

Поскольку прямая линия, проходящая через начало координат, может быть описана любой точкой на ней, кроме нулевой точки, применяется следующее:

( т Икс 1 : т Икс 2 : т Икс 3 ) знак равно ( Икс 1 : Икс 2 : Икс 3 ) : tx_ : tx_ ) = (x_ : x_ : x_ )> .

То есть однородные координаты не описывают однозначно точки реальной проективной плоскости . Это недостаток по сравнению с неоднородными координатами. Прямая (плоскость происхождения) описывается в однородной модели с помощью уравнения . а Икс 1 + б Икс 2 + c Икс 3 знак равно 0 + bx_ + cx_ = 0>

Координаты конечных точек (не далеких точек) можно преобразовать с помощью

Большим преимуществом однородных координат является

Каждое отображение с сохранением инцидентности (коллинеация) описывается линейным отображением (матрицей).

(Аффинная карта - это комбинация линейной карты и смещения.)

Если вы встроите плоскость xy таким образом, чтобы она была равна плоскости , исходная плоскость становится линией расстояния. В этом случае однородные координаты являются барицентрическими координатами относительно треугольника . Р. 3 ^ > Икс 1 + Икс 2 + Икс 3 знак равно 1 + x_ + x_ = 1 \> Икс 1 + Икс 2 + Икс 3 знак равно 0 + x_ + x_ = 0> ( 1 : 0 : 0 ) , ( 0 : 1 : 0 ) , ( 0 : 0 : 1 )

n-мерное проективное пространство

Описание реальной проективной плоскости с однородными координатами показывает, что n-мерное проективное пространство может быть определено аналогичным образом в : Р. п + 1 ^ >

  • В точках являются прямыми проходящим через начало координат из Р. п + 1 ^ >
  • Эти прямые линии являются плоскостями происхождения.

Ибо мы получаем проективную прямую . Она не представляет интереса как структура инцидентности, но определенная здесь группа проективных перестановок интересна как проективная линейная группа . В однородной модели он действует на прямой линии через начало координат как матричная группа или в неоднородной модели как ломаные линейные изображения . Важным свойством является: п знак равно 1 П. грамм Л. ( 2 , Р. ) )> Р. 2 ^ > Икс ↦ а Икс + б c Икс + d >>

Группа действует строго 3-сторонней транзитивной , т.е. ЧАС. для каждых двух троек точек существует ровно одно отображение, которое отображает одну на другую. П. грамм Л. ( 2 , Р. ) )>

Коллинеация, центральная коллинеация, проективность

Коллинеация Коллинеация проективной плоскости является взаимно однозначным отображением множества точек на себя, который отображает коллинеарные точки на точки коллинеарных. переставляет набор точек и набор прямых линий. κ П. >> κ П. >> грамм >>

Центральные коллинеации (также называемые перспективами ) являются важными коллинеациями проективной плоскости .

Центральная коллинеация определяет точку, в центре , и все прямые линии через эту точку.

Можно доказать, что тогда существует прямая линия, ось , все точки которой остаются неподвижными. Однако может случиться так, что центр также находится на оси. В этом случае центральная коллинеация называется приподнятостью , иначе гомологией . Если ось является расстоянием между линией, то центральная проекция в конечной (аффинной) часть является продолжением точки или перевод (перемещение).

Проективность Выполнение нескольких центральных коллинеаций друг за другом называется проективной коллинеацией или проективностью .

Относится к в реальном проективной плоскости

(PR) : Каждая коллинеация является проективной коллинеацией и может быть описана в однородных координатах линейным отображением.

Пример
Перевод осуществляется в однородных координатах (см. Выше) ( Икс , у ) → ( Икс + s , у + т )

и, таким образом, описывается как линейное отображение с матрицей . ( 1 0 s 0 1 т 0 0 1 ) 1 & 0 & s \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \ end > \>

Больше примеров можно найти в статье Однородные координаты .

Проективная группа коллинеаций вещественной проективной плоскости, порожденная матрицами 3 × 3, является проективной линейной группой П. грамм Л. ( 3 , Р. ) . ).>

Свойство (PK) обычно не действует. Например, в комплексной проективной плоскости есть коллинеации, которые можно представить только как полулинейные изображения . Например: ( Икс 1 : Икс 2 : Икс 3 ) → ( Икс ¯ 1 : Икс ¯ 2 : Икс ¯ 3 ) . : x_ : x_ ) \ \ rightarrow \ (> _ : > _ : > _ ) \.>

Коллинеация между структурами заболеваемости

Проективную плоскость / пространство обычно можно описать как минимум двумя моделями (неоднородной, однородной). Чтобы доказать, что две структуры инцидентности описывают одну и ту же геометрию, необходимо обеспечить биективное отображение из в , которое отображает коллинеарные точки в коллинеарные точки. И. Э. термин коллинеация должен быть соответственно расширен. Обычно ( П. 1 , грамм 1 ) , ( П. 2 , грамм 2 ) > _ , > _ ), \; (> _ , > _ )> П. 1 <\ displaystyle > _ > П. 2 <\ Displaystyle > _ >

коллинеация - отображение одной структуры инцидентности на вторую, которая отображает прямые линии на прямые.

Двойственность, полярность

Биективное отображение точек проективной плоскости на множество прямых , которое отображает коллинеарные точки на ко-пунктуальные прямые и наоборот, называется двойственностью или, в более ранней литературе, корреляцией или взаимностью . П. >> ( П. , грамм ) >, >)> грамм <\ Displaystyle >>

Следовательно, двойственность - это коллинеация проективной плоскости на ее двойственной проективной плоскости.

Пример: отображение реальной проективной плоскости, которое сопоставляет плоскость с уравнением точке (в однородных координатах) и наоборот, является двойственностью. ( а : б : c ) а Икс 1 + б Икс 2 + c Икс 3 знак равно 0 + bx_ + cx_ = 0>

Особые дуальности - это полярности:

Двойственность в приведенном выше примере - это полярность.

Если полярность имеет точки, лежащие на ее полюсе , полярность называется гиперболической (например, полярно-полярная связь с невырожденным коническим сечением ), в другом случае эллиптической .

Приведенный выше пример полярности эллиптический. Однако важно, чтобы лежащий в основе проективный уровень был реальным уровнем! Если координаты - комплексные числа, полярность гиперболическая, потому что в этом случае уравнение имеет нетривиальные решения: например, Б. точка лежит на своем полюсе . Икс 1 2 + Икс 2 2 + Икс 3 2 знак равно 0 ^ + x_ ^ + x_ ^ = 0> ( 1 : я : 0 ) Икс 1 + я Икс 2 знак равно 0 + ix_ = 0>

Двойное соотношение

В случае проективных изображений в проективном пространстве частичное соотношение больше не является инвариантным (например, центральная точка линии больше не сливается с центральной точкой линии изображения). Аналогом частного отношения в проективной геометрии является двойное отношение (отношение двух частных отношений).

Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые.

Содержание

Определение

\phi~

Проективное преобразование — это взаимно-однозначное отображение проективного пространства на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного множества всех подпространств.

Проективное преобразование прямой — биективное преобразование прямой, переводящее гармоническую четверку точек в гармоническую четверку точек.

Проективное преобразование плоскости — это взаимно-однозначное отображение проективной плоскости на себя, при котором для любой прямой образ также является прямой.

Свойства

  • Проективное преобразование сохраняет двойное отношение.
  • Проективное преобразование является взаимно однозначным отображением множества точек проективной плоскости, а также является взаимно однозначным отображением множества лучей пучка с центром P.
  • Отображение, обратное проективному, является проективным отображением. Композиция проективных отображений является проективным. То есть множество проективных отображений образует группу.
  • Центральное проектирование - частный случай проективного преобразования. является частным случаем проективного.
  • Каждая прямая плоскости при проективном преобразовании плоскости отображается проективно на некоторую прямую. Каждый пучок лучей плоскости проективно отображается на пучок лучей.
  • Проективное преобразование плоскости определяется заданием четырех пар соответствующих по отображению точек, причем никакие три точки из четверки образов или прообразов не лежат на одной прямой. При нетождественном отображении число неподвижных точек не более трех.
  • Каждое проективное преобразование плоскости является линейным преобразованием с ненулевым определителем. В проективных координатах оно представляется уравнениями:

\begin<cases></p> <p> \lambda x_1

\det (c_<ij></p> <p>причем ) \neq 0
.

Инволюция

Проективное преобразование называется инволюцией, если для любой точки P верно, что .

Если - инволюция, то = \phi~" width="" height="" />
.

Если проективное преобразование прямой имеет хотя бы одну такую точку P, что , то - инволюция.

Если нетождественная инволюция проективной прямой имеет неподвижные точки, то их число равно либо двум, либо нулю. Инволюция, имеющая 2 неподвижные точки, называется гиперболической. Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция определяется заданием двух пар соответствующих точек.

Коллинеация

Коллинеацией называется проективное преобразование, переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее отношение инцидентности точек и прямых, а также двойное отношение любой четверки коллинеарных точек точек. Коллинеации образуют группу. Требование сохранения двойного отношения четверки коллинеарных точек избыточно, но это сложно доказывается. Коллинеации рассматривают вместе с корреляциями, проективными преобразованиями, переводящими точки в прямые, а прямые в точки.

Перспектива

Пусть на проективной плоскости имеются 2 различные прямые и не принадлежащая им точка S. Преобразование проективной плоскости называется перспективой, если и для любюй точки точки коллинеарны.

u_1, u_2~

Перспективное отображение биективно, сохраняет точку пересечения прямых и сохраняет двойное отношение четверки точек.

Гомология

Гомологией называется нетождественная коллинеация, для которой существует поточечно неподвижная прямая p, называемая осью гомологии.

P \in p~

Для всякой гомологии существует неподвижная точка P (центр гомологии), обладающая тем свойством, что всякая инцидентная ей прямая неподвижна. Кроме центра P и точек оси p гомология неподвижных точек не имеет. Если , то гомология называется параболической, иначе - гиперболической.

При гомологии плоскости точка и ее образ лежат на одной прямой с центром гомологии, а прямая и ее образ пересекаются на оси гомологии.

0,1,\infty~

Гомологию можно задать центром, осью и парой соответственных прямых. Гомологию можно также задать центром, осью и т.н. константой гомологии, отличной от .

Замечание 1. Из этого определения непосредственно следует, что преобразование проективной плоскости P, обратное к проективному преобразованию, есть проективное преобразование.

Очевидно также, что тождественное преобразование плоскости P есть проективное преобразование.

Если новая система координат задана матрицей С, то, как непосредственно следует из формул преобразования координат, данных в предыдущем параграфе, точка , имеющая в новой системе координат координаты будет иметь в старой системе координаты

Поэтому проективное преобразование можно определить как преобразование, ставящее в соответствие каждой точке проективной плоскости точку где координаты даны формулами (1), причем детерминант матрицы С преобразования (1) не равен 0. Система координат при этом все время одна и та же.

Если проективные преобразования и задаются соответственно матрицами А и В, то произведение матриц А и В задает проективное преобразование, являющееся произведением преобразований А и Отсюда следует, что произведение двух проективных преобразований есть проективное преобразование.

Аналогично, если проективное преобразование задается матрицей С, то матрица задает проективное преобразование, обратное к преобразованию преобразование, обратное к проективному, есть проективное преобразование. Так как, наконец, тождественное преобразование, очевидно, является проективным, то из доказанного вытекает

Теорема 3. Совокупность всех проективных преобразований проективной плоскости есть группа (подгруппа группы всех преобразований проективной плоскости).

При проективном преобразовании множество точек какой-либо прямой определенной уравнением

Переходит в множество точек , координаты которых в некоторой новой проективной системе координат удовлетворяют тому же уравнению (2) и которые поэтому образуют некоторую прямую d. Уравнение этой прямой d в исходной системе координат получится, если подставить в (2) вместо координат какой-нибудь точки М их значения, выраженные через координаты (в той же исходной координатной системе) точки . Эти значения получаются, если решить уравнения (1) относительно т. е.

где матрица D коэффициентов есть матрица, обратная к С.

Очевидно, формулы (3) равносильны формулам (1). Внося (3) в (2), получим

видим, что при проективном преобразовании всякая прямая d с координатами переходит в прямую d с координатами . Так как образом прямой при проективном преобразовании всегда является прямая, то проективные преобразования называются иначе коллинеарными преобразованиями (пли, короче, коллинеациями): они сохраняют коллинеарность точек.

Замечание 2. Из доказанного, очевидно, следует, что при проективном преобразовании всякая тройка неколлинеариых точек переходит в тройку неколлинеариых точек (иначе при обратном преобразовании коллипеарные точки перешли бы в неколлипсарные).

2. Основная теорема о проективных преобразованиях плоскости. Докажем сначала следующее предложение. Пусть при проективном преобразовании А проективной (арифметической) плоскости четверка фундаментальных точек некоторой проективной системы координат переходит в четверку точек . Так как никакие три из точек , по только что сказанному, не лежат на одной прямой, то эти четыре точки определяют снова проективную систему координат. Пусть М — произвольная точка проективной плоскости, М — ее образ при преобразовании А. Тогда М имеет относительно системы те же координаты, какие точка М имела относительно системы

В самом деле, пусть координатная запись точек в исходной системе координат есть

причем в каждой скобке тройки координат выбраны согласованно, т. е. так, что

Тогда, по сказанному в § 5 (формулы (2) и (4)), однородные координаты произвольной точки М связаны с координатами той же точки в системе соотношениями

Проективное преобразование А задано тем, что, наряду с исходной (однородной) системой координат дана некоторая проективная система , так что тройки координат точки М относительно системы суть не что иное, как тройки координат точки М в исходной однородной системе.

Это верно для любой точки М. Так как, в частности, точки суть образы точек при преобразовании А, то тройки координат точек относительно системы пропорциональны тройкам однородных координат точек , т. е. соответственно тройкам и Значит, формулы преобразования координат, соответствующие переходу от системы к системе имеют ту же матрицу коэффициентов, что и преобразование (4).

Поэтому, обозначая через координаты точки в системе и помня, что в системе координаты точки суть будем иметь

Так как и (4) и (4), рассматриваемые как уравнения относительно соответственно однозначно разрешимы, то мы видим, что тройки координат точки в системе совпадают с тройками координат точки М в системе Наше утверждение доказано.

Из доказанного утверждения мы выведем следующий основной факт.

Теорема 4. Пусть — две четверки точек проективной плоскости, удовлетворяющие тому условию, что никакие три точки, принадлежащие одной и той же четверке, не коллинеарны между собою. Тогда одно и только одно проективное преобразование А проективной плоскости, переводящее каждую из точек одной четверки в соответствующую точку другой (т. е. в ).

В самом деле, рассматривая данные четверки как четверки фундаментальных точек двух проективных координагных систем и ставя в соответствие каждой точке М ту точку , которая относительно координатной системы имеет те самые тройки координат, которые точка М имела относительно системы мы получим проективное преобразование, переводящее соответственно точки в точки .

Это преобразование единственно, так как, по только что доказанному, при всяком проективном преобразовании А, переводящем точки соответственно в точки , тройки координат точки AM относительно системы суть не что иное, как тройки координат точки М относительно системы

Замечание 3. Непосредственными следствиями теоремы являются такие простые утверждения:

1° Существует бесконечно много проективных преобразовании плоскости, переводящих данные три ее неколлинеарные точки А, В, С в любые три неколлинеарные точки А, В, С. Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, переводящих одну заданную точку в другую.

2° Существует бесконечно много проективных преобразовании плоскости, переводящих пару заданных прямых d, g в пару заданных прямых d, g. Достаточно взять любые две точки А, В на прямой d, две точки на прямой g, а также точки А, В на прямой d, точки С, D на прямой построить проективное преобразование, переводящее точки А, В, С, D соответственно в .

Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, переводящих одну из двух данных прямых в другую, а также отображающих любую данную прямую саму на себя.

Предполагая, что в плоскости выбрана определенная система проективных координат, запишем, в частности, преобразование, отображающее одну из координатных прямых на другую, положим прямую на прямую . Таким преобразованием является, напрнмер, преобразование

Запишем в качестве второю примера преобразование, переводящее любую прямую в одну из координатных прямых, напрнмер, предполагая, что в прямую . В качестве такого преобразования можно взять

3. Задание проективных преобразований проективной плоскости аффинными преобразованиями трехмерного пространства. Проективную плоскость рассматриваем как связку с центром О. Данное проективное преобразование А задается переходом от исходной проективной системы координат к новой системе коордннат Берем в классе аффинных координатных систем с началом О, соответствующих проективной координатной системе какую-нибудь определенную систему а в классе аффинных систем, соответствующих проективной координатной системе — какую-нибудь систему Аффинное преобразование, задаваемое переходом от системы к системе переводит каждый луч связки О в луч

являющийся образом луча ОМ при преобразовании этом смысле определяет в связке 0 заданное в ней проективное преобразование А.

Обратно, каждое аффинное преобразование А трехмерного переходом от (какой-нибудь) аффинной координатной системы к (какой-нибудь) координатной системе (с тем же началом О), определяет проективное преобразование А связки О, задаваемое переходом от проективной системы координат (состоящей из класса всех аффинных систем, эквивалентных системе ) к проективной координатной системе (состоящей из всех аффинных систем, эквивалентных системе ). Спрашивается: когда два аффинных преобразования (оставляющих неподвижной точку О) определяют одно и то же проективное преобразование А связки О? Без ограничения общности можно предположить, что оба преобразования определены переходом от одной и той же аффинной системы координат соответственно к системам и .

Для того чтобы они определяли одно и то же проективное преобразование, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы системы и были эквивалентны, т. е. чтобы существовало такое , что

Но тогда аффинное отображение получается из аффинного отображения А умножением его на растяжение (гомотетию) с центром О и коэффициентом растяжения к. Итак, доказана

Теорема 5. Всякое проективное преооразование связки О порождается некоторым аффинным преобразованием трехмерного пространства, оставляющим неподвижную точку О; обратно, всякое аффинное преобразование пространства, оставляющее Неподвижной точку О, порождает некоторое проективное преобразование связки О; два аффинных преобразования (оставляющие неподвижной точку О) тогда и только тогда порождают одно и то же проективное преобразование слязки О, когда каждое из этих аффинных преобразований получается из другого последующим растяжением пространства с центром О.

4. Подгруппа проективно-аффинных преобразований. Проективное преобразование проективно-аффинной плоскости (т. е. проективной плоскости с выделенной в ней несобственной прямой) называется проективно-аффинным, если оно отображает несобственную прямую саму на себя (т. е. отображает всякую несобственную точку на несобственную).

Замечание 4. Для того чтобы проективное преобразование было проективно-аффинным, достаточно, чтобы оно отображало две какие-нибудь несобственные точки и на несобственные же точки тогда и несобственная прямая, будучи инцидентной точкам и отобразится на прямую, инцидентную несобственным точкам т. е. на несобственную прямую.

Замечание 5. При проективно-аффинном преобразовании всякая собственная точка М отображается на собственную точку .

В самом деле, пусть точка несобственная. В силу взаимной однозначности отображения точка М, будучи образом собственной точки не может быть образом никакой несобственной точки. Поэтому из сделанного предположения следует, что при отображении несобственная прямая отображается на свою истинную часть, что невозможно, так как при проективном преобразовании всякая прямая (как множество инцидентных ей точек) отображается на прямую.

Итак, при проективно-аффинном отображении проективной плоскости происходит отображение множества всех собственных точён плоскости на себя, т. е. происходит некоторое преобразование той аффинной плоскости, от пополнения которой несобственными элементами произошла данная проективная плоскость. Докажем что это преобразование является аффинным.

Предполагаем, что данная проективная плоскость есть арифметическая проективная плоскость с несобственной прямой

Рассмотрим сначала какое-нибудь проективное преобразование задаваемое формулами

выражающими однородные координаты точки

через однородные координаты точки М.

Предположим, что при преобразовании образом несобственной точки всегда является несобственная же точка. Тогда, полагая в последнем равенстве (1)

будем при любых значениях всегда иметь Но это возможно лишь тогда, когда

Так как детерминант матрицы С отличен от нуля, то

так что преобразование (1) записывается в виде

Перейдем к аффинным координатам собственных точек арифметической проективной плоскости.

Для этого поделим левую и правую части равенств (5) на получим

Итак, проективно-аффинное преобразование, рассматриваемое на множестве собственных точек плоскости, есть аффинное преобразование.

Обратно, если дано аффинное преобразование

плоскости, то, переходя к однородным координатам, можем написать

что дает при непременно — получаем проективное преобразование, оставляющее на месте несобственную прямую, т. е. проективно-аффинное преобразование.

Теорема 6. Всякое проективно-аффинное преобразование, рассматриваемое лишь на множестве собственных точек проективной плоскости, есть аффинное преобразование.

Обратно, всякое аффинное преобразование посредством формул (7) может быть распространено на всю проективную плоскость таким, образом, что получится проективно-аффинное преобразование проективной плоскости.

Отсюда легко следует, что совокупность всех проективно-аффинных преобразований есть подгруппа группы всех проективных преобразований проективной плоскости, изоморфная группе всех аффинных преобразований (обыкновенной аффинной плоскости).

Иногда доказанную теорему кратко, но неточно формулируют так: аффинные преобразования суть проективные преобразования, при которых несобственная прямая отображается на себя.

В заключенно покажем, какой вид имеет в аффинных координатах любое проективное преобразование, если его рассматривать лишь на множестве собственных точек плоскости.

Итак, пишем снова формулы проективного преобразования (1) и переходим к аффинным координатам, для чего переписываем эти формулы в виде

и полагаем в них

Это и есть формулы, дающие проективное преобразование собственных точек плоскости в аффинных координатах.

Эти формулы перестают действовать для точек, лежащих на прямой на прямой .

Но, как показывает последняя из формул (1), эти точки при нашем преобразовании переходят в точки вида т. е. в несобственные точки плоскости; естественно, что мы не можем найти аффинных координат этих точек.

Пусть дано какое-нибудь проективное преобразование плоскости, не являющееся проективно-аффинным. Оно переводит несобственную прямую в некоторую обыкновенную прямую d.

Пусть при этом несобственные точки оси абсцисс и оси ординат какой-нибудь (хотя бы прямоугольной) координатной системы переходят соответственно в точки и прямой d. Тогда два несобственных пучка прямых параллельных (на обыкновенной плоскости) соответственно оси ординат и абсцисс выбранной прямоугольной координатной системы, перейдут соответственно в пучки с центрами и , а квадратная сетка, изображенная на рис. 234, а, перейдет в сетку четырехугольников, изображенную на рис. 234, б.

Эти рисунки, а также сделанный на их основе рис. 235 помогут читателю составить себе наглядное представление о том, что может происходить при проективной преобразовании.

5. Проективные отображения одной плоскости на другую. Перспективные отображения. До сих пор мы рассматривали лишь проективные преобразования, т. е. проективные отображения какой-либо проективной плоскости на себя. Однако легко определить и взаимно однозначные проективные отображения одной проективной плоскости P на другую P. Для того чтобы задать такое отображение, надо задать на плоскостях но проективной координатной системе этим определится отображение плоскости P на плоскость P, которое каждой точке плоскости P ставит в соответствие ту точку плоскости P, которая в системе имеет те самые тройки координат, какие точка М имела в системе

Пусть — две плоскости в трехмерном пространстве; пополняем их соответствующими несобственными точками до проективных плоскостей . Берем какую-нибудь точку О, не лежащую ни в одной из двух плоскостей . Каждой точке М проективной плоскости ставим в соответствие ту собственную или несобственную точку плоскости , в которой эту плоскость пересекает луч связки О (рис. 236). Полученное таким образом отображение плоскости на плоскость называется перспективным отображением с центром перспективы О.

Легко видеть, что всякое перспективное отображение является проективным. В самом деле, возьмем связке О какую-нибудь систему проективных координат . Она определит в плоскости проективную систему , а в плоскости — систему . Очевидно, и точка М плоскости (в системе ), и точка

плоскости в системе будут иметь те самые координаты, которые луч имеет в системе

Замечание 6. Важность перспективных отображений вытекает следующей теоремы, выражающей один из основных фактов проективной геометрии:

Всякое проективное отображение плоскости на плоскость я либо отображает несобственную прямую плоскости на несобственную прямую плоскости следовательно, сводится к аффинному отображению плоскости на плоскость ), либо может быть осуществлено посредством собственного или несобственного движения плоскости в пространстве, пополнения перемещенной плоскости до проективной плоскости и последующего перспективного отображения плоскости на плоскость .

Замечание 7. Легко видеть, что всякое перспективное отображение какой-нибудь плоскости на параллельную ей плоскость есть аффинное отображение (так как оно отображает множество всех несобственных точек плоскости на множество несобственных точек плоскости ).

В математике , проективная геометрия является полем геометрии , которая моделирует интуитивно понятно понятие перспективы и горизонта . Она изучает неизменные свойства фигур по центральной проекции .

Резюме

Исторические соображения

Математик и архитектор Жирар Дезарг основал проективную геометрию в своем Черновом проекте Атаки на события встреч конуса с планом, опубликованным в 1639 году, где он использовал ее для единой теории конусов . Но мы уже проективные понятия в работах Паппа Александрийского ( IV - го века ) , который ввел двойное отношение и относится к Аполлонию Пергского . Работа Desargues не имел большого успеха в свое время и было забыто до тех пор , пока вновь издателем и библиофил Poudra середины XIX - го века . Его современники не понимали глубины его работ, за исключением молодого Блеза Паскаля , который продолжил их и, в частности, продемонстрировал теорему, близкую к той, что сегодня называется теоремой Паскаля .

Август Фердинанд Мёбиус в 1827 году ввел однородные координаты, которые позволяют применять методы аналитической геометрии к проективной геометрии, работе, которой также посвящает себя Юлиус Плюккер . В то же время Якоб Штайнер развивает подход синтетической геометрии .

Сегодня некоторые основные понятия проективной геометрии используются в системах компьютерного зрения и визуализации графики, таких как OpenGL .

Базовый обзор


Кросс-отношение , которое является инвариантной центральной проекции , является понятие проективной геометрии.

В подходе, вытекающем из программы Эрлангена , проективная геометрия отличается от обычной евклидовой геометрии только тем, что интересуется изучением того, что на фигурах остается неизменным после проекции, в то время как евклидова геометрия - это изучение того, что остается неизменным после смещения (можно также рассматривайте это как науку о фигурах, нарисованных с помощью линейки и циркуля); с этой точки зрения проективная геометрия имеет меньше аксиом, чем евклидова геометрия, и поэтому она является более общей.

Проективная геометрия игнорирует параллельные прямые, перпендикулярные прямые , изометрии , окружности , прямоугольные треугольники , равнобедренные , равносторонние и т. Д. ; можно также сказать, например, что для нее круги, эллипсы и гиперболы составляют единую фигуру.

Возможно, используя определенные языковые соглашения (например, называя две параллельные прямые, которые пересекаются на выбранной прямой плоскости), чтобы найти результаты аффинной геометрии из результатов проективной геометрии (см. Ниже ), и вводя комплексные числа , чтобы также найти те из евклидовой геометрии.

Аксиомы проективной геометрии

Несколько систем аксиом были сформулированы на основе проективной геометрии, в частности Энриквесом , Кокстером и Россье, которые имеют лишь незначительные различия. Основные элементы - это баллы. Линии и плоскости - это определенные наборы точек. Существует троичное отношение, известное как циклический порядок , между точками, принадлежащими одной прямой, или между плоскостями, проходящими через одну и ту же прямую линию, или между прямыми линиями, принадлежащими одной плоскости и проходящими через одну и ту же точку.

Аксиомы инцидентности

Аксиома I1 : существует по крайней мере одна прямая и одна точка, не принадлежащая этой прямой.

Аксиома I2 : любой прямой принадлежат как минимум три точки.

Аксиома I3 : даны две различные точки, существует прямая линия и только одна, которой эти две точки принадлежат.

Аксиома I4 : Если ABC и D - четыре различные точки, такие, что прямые AB и CD содержат общую точку, то прямые AC и BD содержат общую точку.

Определение : даны три точки AB и C, мы называем плоскостью ABC множество точек, принадлежащих прямой, содержащей точку C и содержащую точку, общую с прямой AB.

Аксиома I5 : для любой плоскости ABC существует по крайней мере одна точка, не принадлежащая плоскости ABC.

Аксиома I6 : любые две различные плоскости содержат по крайней мере две различные общие точки.

Аксиомы порядка

Определение : Мы группируем вместе под именем формы первого типа : - множество всех точек, принадлежащих одной прямой, множество, называемое точечной линией , - множество всех плоскостей, содержащих одну и ту же прямую линию, множество, называемое пучок плоскостей , - это совокупность всех линий , принадлежащих к одной и той же плоскости и проходящих через ту же точку этой плоскости, набор называется пучок линий .

Аксиома O1 : В любой форме первого типа существуют два обратных тернарных отношения , такие, что, какими бы ни были элементы AB и C, тройка (A, B, C) удовлетворяет одному и только одному из этих двух отношений, называемому порядком ABC.

Аксиома O2 : какими бы ни были три элемента A, B и C формы, порядок ABC является отношением циклического порядка , то есть проверяет следующие условия:

р ( В , B , ПРОТИВ ) => нет о нет р ( В , ПРОТИВ , B ) nonR (A, C, B)>

р ( В , B , ПРОТИВ ) е т р ( В , ПРОТИВ , D ) => р ( B , ПРОТИВ , D ) R (B, C, D)>

Аксиома O3 : Какими бы ни были элементы A и B формы первого типа, существует по крайней мере один элемент C формы, такой как R (A, C, B).

Определения :

Пары элементов AB и CD формы первого рода называются отдельными парами, если порядки ABC и ADB совпадают.

Мы называем сечением пучка прямых с вершиной O линией соответствие, которое сопоставляет любой линии балки ее пересечение с этой линией. Взаимное соответствие между точечной линией и лучом называется проекцией точечной линии из точки O.

Сечением балки краевых плоскостей D прямой линией назовем соответствие, которое сопоставляет любой плоскости балки ее пересечение с прямой линией. Взаимное соответствие между точечной линией и лучом называется проекцией точечной линии из линии D.

Для трех элементов AB и C мы называем отрезок AB вне C множеством элементов M, для которых пары AB и CM разделены.

Аксиома O4 : Проекция и сечение составляют отдельные пары.

Аксиома непрерывности

Определение: мы говорим, что элемент M сегмента AB предшествует элементу N этого сегмента или что N следует за M, если пары AN и MB разделены.

Аксиома C1 : Если элементы отрезка AB делятся на два класса, такие как:

- любой элемент отрезка AB принадлежит к тому или иному из двух классов;

- элемент A относится к первому классу, а элемент B - ко второму;

- любой элемент первого класса предшествует любому элементу второго класса;

тогда существует элемент C сегмента AB (принадлежащий первому или второму классу), такой, что любой элемент, предшествующий C, принадлежит первому классу, а любой элемент, следующий за C, принадлежит второму классу.

Алгебраическая модель проективной геометрии

Проективное пространство определяется в алгебре как множество векторных линий одного векторного пространства ; можно представить себе глаз наблюдателя, помещенный в начало векторного пространства, и каждый элемент проективного пространства соответствует направлению его взгляда.

Проективное пространство отличается от векторного пространства своей однородностью : в нем невозможно выделить какую-либо конкретную точку, например, начало векторного пространства. В этом он близок к аффинному пространству .

Определение вектора

Приложение называется канонической проекцией . π : E - < 0 >→ п ( E ) \ rightarrow P (E) \, \!>

Проще говоря, проективное пространство - это набор векторных линий ; элементом проективного пространства является векторная линия , направляющим вектором которой является . п ( E ) E π ( Икс ) E Икс

Если имеет конечную размерность , то мы говорим , что имеет конечную размерность и обозначим на размерность проективного пространства. В частности : E нет п ( E ) нет - 1 знак равно d я м п ( E )

Аффинное определение

Формальный аспект векторного определения не должен заставлять нас забывать, что понятие проективного пространства родилось из центральной проекции и является, прежде всего, геометрическим понятием. Чтобы взять пример проективного пространства , мы можем наблюдать рисунок напротив, где точки , и принадлежат аффинной плоскости (не проходящей через начало координат). Мы должны представить себе наблюдателя, помещенного внутрь . Этот наблюдатель видит все точки линии в , эти линии в и те линии в . Линии плоскости не рассматриваются как точки . Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между векторными линиями непараллельности и точками плоскости . р 3 ^ > м нет р ( п ′ ) О ( О M ) м ( О р ) р ( О НЕТ ) нет ( d ) ( п ) ( п ′ ) р 3 ^ > ( п ) ( п ′ )

Проективное пространство , таким образом , в биекции с аффинной плоскостью , не проходящей через начало координат , к которой мы добавим набор векторных линий в направлении от . Таким образом, мы можем видеть проективную плоскость как образованную аффинной плоскостью, к которой мы добавляем проективную линию, имеющую в качестве элементов все векторные линии (или направления) , называемые в этом контексте прямыми до бесконечности . Каждая точка бесконечно удаленной линии называется бесконечно удаленной или несоответствующей точкой (точки, являющиеся собственными точками). Это понятие позволяет, например, говорить на плоскости о пересечении любых двух прямых линий: линии будут пересекаться в правильной точке или в неправильной точке, если линии параллельны. В проективной плоскости любую прямую можно выбрать как прямую на бесконечности, и это индуцирует аффинную плоскую структуру в дополнении. И наоборот, любая аффинная плоскость может быть вложена как не векторная аффинная плоскость векторного пространства размерности 3 и, следовательно, завершена в проективной плоскости. р 3 ^ > ( п ′ ) ( п ) ( п ′ ) п ′ ~ >> ( п ′ ) ( п ) ( п ′ ) ( п ′ )

Это понятие обобщается на любое проективное пространство размерности : это аффинное пространство размерности, к которому мы добавляем все направления . п ~ >> нет ( п ) нет ( п )

В частности, если = , соответствующая проективная прямая - это множество, где находится точка вне , расширяя алгебраические операции следующим образом: ( п ) K K ~ знак равно K ∪ < ∞ >> = К \ чашка \ \, \!> ∞ K

Это двойное отношение, с одной стороны, с факторным векторным пространством, с другой стороны, с завершенным аффинным пространством, делает изучение проективной геометрии богатым. Точно так же этот двойной аспект будет важно соблюдать, когда дело доходит до определения координат точек проективного пространства.

Пятнистость

Однородные координаты

В проективное пространство размерности п , следовательно , связано с векторным пространством размерности п + 1 , каждая точка м от связана с семейством векторов Е , которые все коллинеарны. Если E имеет канонический базис, мы называем однородные координаты точки m координатами любого вектора x такого, что . Таким образом, точка имеет семейство координат, которые пропорциональны друг другу. То есть, если это система однородных координат м , это то же самое для любого элемента к ненулевой K . п ( E ) π ( Икс ) знак равно м ( Икс 1 , Икс 2 , . . . , Икс нет + 1 ) , x_ , . x_ )> ( k Икс 1 , k Икс 2 , . . . , k Икс нет + 1 ) , kx_ , . kx_ ) \,>

Среди всех этих координат часто бывает, что кто-то предпочитает одну, чтобы найти аффинное пространство размерности n . Среди всех представителей m мы предпочитаем, например, того, у которого последняя координата равна 1 . Это означает, что мы спроецировали пространство на гиперплоскость уравнения . Если это система координат m , мы предпочитаем систему координат . Очевидно, это верно только в том случае, если m - собственная точка . Икс нет + 1 знак равно 1 = 1 \,> ( Икс 1 , Икс 2 , . . . , Икс нет + 1 ) , x_ , . x_ )> ( Икс 1 Икс нет + 1 , Икс 2 Икс нет + 1 , . . . , Икс нет Икс нет + 1 , 1 ) \ over x_ >, >, . \ over x_ ) >>, 1)> п ( E )

Несобственные точки представлены однородными системами координат, последняя координата которых равна нулю.

Затем мы замечаем соответствие между

Произвольный выбор установки координаты 1 в однородных координатах позволяет определять различные карты .

Ссылка проективного пространства

Векторное пространство размерности n идентифицируется базисом из n независимых векторов. Аффинное пространство размерности n идентифицируется с помощью n + 1 несвязанных точек. Проективное пространство размерности n идентифицируется с помощью n + 2 точек. Мы могли бы подумать, что n + 1 точек будет достаточно, взяв, например, где формирует основу векторного пространства размерности n + 1, связанного с проективным пространством. Координаты точки в этой системе отсчета тогда были бы где находятся координаты , но было бы необходимо, чтобы эти координаты не зависели от представителя, выбранного для векторов основания: например, у него был другой представитель . И в базе нет такой же системы координат . ( π ( е 1 ) , π ( е 2 ) , . . . , π ( е нет + 1 ) ) ), \ пи (е_ ), . \ пи (е_ )) \,> ( е я ) я ∈ < 1 ; нет + 1 >) _ >> м ( Икс 1 , . . . , Икс нет + 1 ) , . х_ ) \,> ( Икс 1 , . . . , Икс нет + 1 ) , . х_ ) \,> Икс π ( Икс ) знак равно м π ( е 1 ) ) \,> 2 е 1 \,> ( 2 е 1 , е 2 , . . . , е нет + 1 ) , e_ , . e_ ) \,> Икс ( Икс 1 / 2 , Икс 2 , . . . , Икс нет + 1 ) / 2, x_ , . x_ ) \,>

Поэтому мы должны предотвратить эту неоднозначность и ограничить выбор других представителей базовых векторов векторами, коллинеарными предыдущим, но с тем же коэффициентом коллинеарности. Для этого достаточно определить n + 2-ю точку, соответствующую . Таким образом, если мы выберем других представителей с другими коэффициентами коллинеарности, вектор перестанет быть представителем . π ( е 1 + е 2 + ⋯ + е нет + 1 ) + е_ + \ cdots + е_ ) \,> π ( е 1 ) . . . π ( е нет + 1 ) ) . \ пи (е_ ) \,> k 1 е 1 + ⋯ + k нет + 1 е нет + 1 e_ + \ cdots + k_ e_ \,> π ( е 1 + е 2 + ⋯ + е нет + 1 ) + е_ + \ cdots + е_ ) \,>

Проективное подпространство

Поскольку существуют векторные подпространства векторного пространства, а также аффинные подпространства аффинного пространства, существуют также проективные подпространства проективного пространства. Они состоят из проекций векторных подпространств соответствующего векторного пространства. Поэтому мы будем говорить о проективной прямой в проективной плоскости, о проективной плоскости в проективном пространстве. Правило размеров и существование бесконечно удаленных точек позволяют упростить правила падения.

Читайте также: