Проекция гаусса крюгера кратко

Обновлено: 05.07.2024

Проекция Гаусса-Крюгера также известна как эллипсоидальная версия поперечной проекции Меркатора, потому что она аналогична проекции Меркатора, за исключением того, что в проекции Гаусса-Крюгера цилиндр касается сферы или эллипсоида вдоль меридиана, а не вдоль экватора. Результатом является равноугольная проекция, которая не сохраняет правильные направления. Центральный меридиан размещается в центре области интереса. По центральному меридиану искажения всех свойств объектов региона минимальны. Эта проекция наилучшим образом подходит для регионов, вытянутых в направлении север-юг.

Сферическая версия этой проекции была разработана Джоном Х. Ламбертом в 1772 году. Первые формулы с эллипсоидальной коррекцией были разработаны Карлом Ф. Гауссом в 1822 году. Имя Гаусса-Крюгера носит эллипсоидальная форма проекции, повторно пересчитанная Луи Крюгером в 1912 году. Система координат Гаусса-Крюгера и Универсальная поперечная система координат Меркатора (UTM) основаны на этой проекции, в то время как Государственная система плановых координат США использует ее для всех зон Север-Юг. Различные страны используют эту проекцию для своих топографических карт и крупномасштабных систем координат. Проекция доступна в ArcGIS Pro 1.0 и более поздних версиях, а также в ArcGIS Desktop 8.0 и позднее.

Показана проекция Гаусса-Крюгера, центрированная на Гринвичском меридиане.

Свойства проекции

В разделах ниже описываются свойства проекции Гаусса-Крюгера.

Градусная сетка

Проекция Гаусса-Крюгера - поперечная цилиндрическая проекция. Экватор и центральный меридиан проецируются как прямые линии. Другие меридианы проецируются в виде сложных кривых, вогнутых по направлению к центральному меридиану. Остальные параллели также представляют собой сложные кривые, вогнутые по направлению к ближайшему полюсу. Оба полюса проецируются как точки. Сетка будет симметричной по экватору и центральному меридиану. Градусная сетка ограничена 45 градусами от центрального меридиана из-за математической нестабильности.

Искажения

Проекция Гаусса-Крюгера - это равноугольная проекция. Она искажает истинные направления, но углы и площади сохраняются и на бесконечно малом масштабе. Расстояния точны вдоль центрального меридиана, если масштабный коэффициент равен 1.0. Если он меньше 1.0, точный масштаб сохраняется на двух приблизительно прямых линиях (при использовании эллипсоида), расположенных на равных расстояниях по обе стороны от центрального меридиана. Искажения площадей, расстояний и масштабов быстро растут при перемещении от центрального меридиана или двух линий постоянного масштаба, которые описаны выше. Значения искажений симметричны относительно экватора и центрального меридиана.

Использование

Эта проекция подходит для картографирования в крупном масштабе или для небольших районов с вытянутых с севера на юг. Она очень часто используется. Различные страны используют эту проекцию для своих топографических карт и крупномасштабных систем координат. Системы координат Гаусса-Крюгера и универсальная поперечная Меркатора (UTM), а также государственная система плановых координат США используют эту картографическую проекцию.

Ограничения

Проекция Гаусса-Крюгера проецирует данные только в пределах 45 градусов от центрального меридиана из-за математической нестабильности. Фактически экстент сфероида или эллипсоида должна быть в пределах 10-12 градусов по обе стороны от центрального меридиана. За пределами этого диапазона, спроецированные данные могут не проецироваться в ту же самую позицию при обратной операции. Для данных на сфере этих ограничений не существует.

Для отображения больших экстентов данных в ArcGIS доступны два способа применения поперечной проекции Меркатора: составная поперечная проекция Меркатора, доступная в ArcGIS Pro с версии 1.0 и в ArcGIS Desktop 9.0 и выше, и поперечная проекция Меркатора NGA 2014, доступная в ArcGIS Pro с версии 1.2 и ArcGIS Desktop 10.4 и выше.

Параметры

Смещение по долготе
Смещение по широте
Центральный меридиан
Масштабный коэффициент
Широта начальной точки

Системы координат Гаусса-Крюгера

Система координат Гаусса-Крюгера является случаем специального применения проекции Гаусса-Крюгера и используется в Евразии, включая Россию и Китай. Она делит мир на зоны шириной в шесть градусов. В каждой зоне коэффициент масштаба равен 1, а смещение по долготе равно 500 000 метрам. Центральным меридианом зоны 1 является 3° восточной долготы. Для некоторых мест также к значению смещения на восток, составляющему 500 000, добавляется число, равное номеру зоны. Для пятой зоны системы координат Гаусса-Крюгера смещение по долготе равно 500000 или 5500000 метров. Существуют также трехградусные зоны Гаусса-Крюгера.

В проекции Гаусса-Крюгера вся поверхность Земли условно разделена на 6 0 зон меридианами, проведенными через 6 0 ; форма зоны - сферический двуугольник (рис.1.9); счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток. Средний меридиан зоны называется осевым; долгота осевого меридиана L₀ любой зоны в восточном полушарии подсчитывается по формуле:

а в западном - по формуле:

L₀=360 0 - (6 0 ∙n - 3 0 ),

где n - номер зоны.

Представим себе, что земной эллипсоид вписан в эллиптический цилиндр. Ось цилиндра расположена в плоскости экватора и проходит через центр эллипсоида (рис.1.10). Цилиндр касается эллипсоида по осевому меридиану данной зоны. Вся поверхность зоны проектируется на поверхность цилиндра нормалями к эллипсоиду так, что изображение малого участка на цилиндре подобно соответствующему участку на эллипсоиде. Такая проекция называется конформной или равноугольной; в ней углы не искажаются, а длины линий искажаются по закону:

(1.8)

где: ΔS - величина искажения линии,

S - длина линии на эллипсоиде,

Y - удаление линии от осевого меридиана,

R - средний по линии радиус кривизны эллипсоида.

Для территории нашей страны искажения длин линий находятся в допустимых пределах для карт масштабов 1/10000 и мельче; для карт масштаба 1/5000 и крупнее приходится применять трехградусные зоны Гаусса.

Поверхность цилиндра разрезается и развертывается на плоскости; при этом осевой меридиан и экватор изображаются в виде двух взаимно перпендикулярных прямых линий. В точку их пересечения помещают начало прямоугольных координат зоны. За ось OX принимают изображение осевого меридиана зоны (положительное направление оси OX - на север), за ось OY принимают изображение экватора (положительное направление оси OY - на восток). При координате Y впереди пишут номер зоны; для исключения ее отрицательных значений условились, что в начале координат значение координаты Y равно 500 км.

а в западном - по формуле:

L₀=360 0 - (6 0 ∙n - 3 0 ),

где n - номер зоны.

(1.8)

где: ΔS - величина искажения линии,

S - длина линии на эллипсоиде,

Y - удаление линии от осевого меридиана,

R - средний по линии радиус кривизны эллипсоида.

При формировании картографического изображения местности в поперечной равноугольной цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера возникают проблемы, связанные с большими погрешностями и искажением формируемого изображения при удалении от осевого меридиана. Корнем этих проблем является то, что проекция Гаусса-Крюгера представляет собой шестьдесят “лепестков” шести-градусных зон, между которыми искусственно вносится расстояние 500 км. Это происходит из-за того, что стандартные методы визуализации не учитывают сужение зон к полюсам, а представляют их как прямоугольные. Для преодоления этих проблем существуют методы сшивания карт по одному осевому меридиану.

Одним из таких методов является метод динамического совмещения осевых меридианов, позволяющий компенсировать угол и расстояние между ними. Использование такого метода позволяет отобразить 2D карту в проекции Гаусса-Крюгера без видимых искажений, а также избежать избыточности исходных данных. Принцип данного метода состоит в том, что множество фрагментов листа карты, полученных при подготовке массивов данных, формируют, так называемые, зоны-лепестки.
Для увеличения точности расположения объектов и уменьшения визуального искажение (ничтожно малое), можно задать нестандартный размер одной зоны равной, например, 1º или даже меньше. Размеры фрагментов, которыми заполняются зоны, задаются произвольно. Чем меньше размер фрагмент, тем выше качество визуализации.

Рисунок 1. Пример разделения развернутой земной поверхности на зоны с шагом 6º

Совершить пересчет координат точки интереса(относительно широты которой производиться склеивания) из геодезической/геоцентрической системы координат в проекцию Гауса-Крюгера.
Определить координаты двух точек соприкосновения соседних осевых меридианов.
Рассчитать угол поворота одной зоны относительно другой на текущей широте.
Исходя из полученного угла сформировать матрицу преобразования для каждых соседних меридианов.
Для позиционирования фрагмента необходимо умножить его координаты на соответствующую матрицу преобразования.

После выполнения перечисленных действий, мы получаем неразрывную сшитую карту. На рисунках 2 и 3 представлены изображения сшитых зон относительно различных северных широт.

Рисунок 2. Сшито на 20° с.ш.

Рисунок 3. Сшито на 50° с.ш.

Причем координата широты у фрагментов склеиваемых зон остается неизменной, изменяется только координаты долготы. При слиянии зон таким способом, во время визуализации картографической информации местности, полностью отсутствует зрительная деформация и минимизируется погрешность. На рисунке 4 показано, что окружность будет изображена без видимых искажений, если карта будет сшита описываемым образом.

Рисунок 4. Изображение окружности

Заключение

Большое значение в визуализации картографической информации имеет качество изображения, но минимизация погрешностей отображения и возможность расчета приблизительного расстояния по полученному изображению также играет большую роль. Описанный метод удовлетворяет оба параметра и успешно используется при разработке картографических систем.

К сожалению данный метод применим только для карт масштабов до 1:1000000, так как при увеличении масштаба становятся явно видны участки совмещения.

Список литературы

От автора

Данная статья является выдержкой из статьи для будущей конференции. Детали и расчеты я решил пока не выкладывать, так как они еще редактируются. Название метода — GKZone, конечно не самое удачное, но это рабочее название метода в исходном коде. Поэтому приветствуются предложения по более понятному названию метода.

Надеюсь данная статья будет полезна для людей, интересующихся картографией, потому что проекция Меркатора широко освещена в различных источниках, а проекция Гаусса-Крюгера нет.

ГАУССА—КРЮГЕРА ПРОЕКЦИЯ (а. Gauss — Kruger projection; н. Gau ß — Kruger Projektion; ф. projection de Gauss — Kruger; и. proyeccion de Gauss — Kruger) — поперечно-цилиндрическая конформная (равноугольная) проекция эллипсоида на плоскость.

В Гаусса-Крюгера проекции сохраняется равенство углов; осевой меридиан и экватор изображаются на плоскости проекции двумя взаимно перпендикулярными линиями, принимаемыми за оси абсцисс и ординат; масштаб проекции вдоль осевого меридиана постоянный и равен единице. Проектирование осуществляется на вспомогательный цилиндр, располагаемый перпендикулярно к оси вращения земного шара и касающийся эллипсоида по меридиану (рис.). После проектирования цилиндр разрезается по образующим, проходящим через полюса, и разворачивается в плоскость. По мере удаления от касательного (осевого) меридиана происходит быстрое увеличение искажений. Поэтому проектирование ограничивается в интервале (зоне) долгот 6° (число всех шестиградусных зон равно 60); счёт зон ведётся от Гринвичского меридиана на западе. Долгота осевого меридиана зоны определяется по формуле: L° = 6°N — 3°, где N — порядковый номер зоны.

В каждой зоне самостоятельная система прямоугольных координат, начало которой относится к точке пересечения осевого меридиана (ось Х) с проекцией экватора (ось Y). Для всех зон значения координаты Х в северном полушарии положительные, в южном — отрицательные; координаты Y на востоке положительные, на западе отрицательные. Для удобства на практике все координаты Y принимаются положительными; для этого условно ось Х выносится на 500 км на запад.

В маркшейдерской практике преобладающее значение имеют крупномасштабные съёмки, для которых применяются трёхградусные координатные зоны, где осевыми меридианами являются средние или крайние меридианы шестиградусных зон. В Гаусса-Крюгера проекции производят вычисление геодезических сетей в плоских прямоугольных координатах, составление топографических карт в масштабах 1:500 000 и крупнее.

Читайте также: