Приближенное значение величины кратко
Обновлено: 07.07.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Раздел 1
Приближенные числа и действия над ними
Лекция 1.
1.1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
Приближенное значение величины. Погрешность
Численные методы
Абсолютная и относительная погрешности
1. Приближенное значение величины. Погрешность
В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному, причем степень близости определяется погрешностью вычисления.
Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное значение приближенным в целях упрощения вычислений.
Таким образом, приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.
При решении той или иной задачи вручную или на вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.
Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:
1) неточное отображение реальных процессов с помощью математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами, близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;
2) приближенное выражение величин, входящих в условие задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных, физических констант, чисел π, е и др.;
3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса на некотором этапе. Например, если в ряде
sin x = x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…
взять определенное количество членов и принять их сумму за sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;
4) округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное число цифр числа.
При отбрасывании младших разрядов числа имеет место погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное число примет следующий вид: 0,7835479;
5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат вычислений.
Полная погрешность является результатом сложного взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все их виды.
Во всех случаях полная погрешность не может превышать по своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но обычно она редко достигает такой максимальной величины.
Таким образом, погрешности можно подразделить на три большие группы:
1) исходные, или неустранимые, к которым относятся погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все вычисления и, являются неустранимыми;
2) погрешности округления (зарождающиеся), которые появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и окончательных результатов;
3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных процессов конечной последовательностью действий;
2. Численные методы
На практике в большинстве случаев найти точное решение математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.
Под численными методами подразумевается методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.
Оценка погрешности может быть произведена: с помощью абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью остаточного члена; с помощью статистических оценок.
При работе с приближенными величинами вычислитель должен уметь:
а) давать математические характеристики точности приближенных величин;
б) зная степень точности исходных данных, оценить степень точности результатов;
в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
3. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное числовое значение некоторой величины.
a* – известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).
Абсолютная величина разности между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа:
Здесь возможны два случая.
1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная; погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).
Пример 1. Пусть a = 784,2737, a * = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δ а = | а- a * | = |784,2737—784,274| = 0,0003.
2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству
Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Следовательно, если Δа* – предельная абсолютная погрешность, то
Δ(а*) = |а- a*| Δа* (2)
Значение точного числа А всегда заключено в следующих границах:
a* - Δа* a a* + Δа*. (3)
Выражение a* - Δа* есть приближение числа a по недостатку, а а + Δа* – приближение числа a по избытку. Значение числа a записывается так:
a = а ± Δа* (3')
Пример 2. Число 45,3 получено округлением. Точное значение числа неизвестно, однако, пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютная погрешность не превышает (меньше или равна) 0,05.
Следовательно, границей абсолютной погрешности (предельной абсолютной погрешностью) можно считать 0,05. Записывают это так: 45,3 ( ± 0,05). Скобки часто опускают, так что запись 45,3 ± 0,05 означает то же самое. Двойной знак ± означает, что отклонение приближенного значения числа от точного возможно в обе стороны. В качестве границы абсолютной погрешности берут по возможности наименьшее число.
Пример 3. При измерении длины отрезка оказалось, что ошибка, допущенная нами, не превышает 0,5 см; тем более она не превышает 1, 2 или 3 см. Каждое из этих чисел можно считать границей абсолютной погрешности. Однако нужно указать наименьшую из них, так как чем меньше граница абсолютной погрешности, тем точнее выражается приближенное значение числа. В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность.
Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05 см, то пишут l = 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная погрешность Δ l *= 0,05 см, а точная величина длины l отрезка заключена в следующих границах: 183,95 см l 184,05 см.
По абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или плохо произведено измерение.
Пример 5. Пусть при измерении книги и длины стола были получены результаты: l 1 = 28,4 ±0,1 (см) и l 2 = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако второе измерение было произведено более точно, чем первое.
Для того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить, какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью а приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ а к модулю точного числа А (А0), т.е.
Число * а , заведомо превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью:
Из соотношений (4) и (5) вытекает, что
Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что Δ а Δ а * . Тогда можно записать
и за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно принять
Учитывая, что А, как правило, неизвестно и что А а, равенства (6) и (7) можно записать так:
Возвращаясь к примеру 5, найдем предельные относительные погрешности измерения книги и стола:
Таким образом, измерение стола было произведено намного точнее.
Очевидно, что как относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых выражаются результаты измерений.
Пример 6. Определить (в процентах) предельную относительную погрешность приближенного числа а = 35,148 ±0,00074.
Решение. Воспользуемся формулой (7). Тогда
а * = = 0,00074 / 35,148 = 0,000021 0,0021%.
Пример 7. Определить предельную абсолютную погрешность приближенного числа а = 4,123, если а * = 0,01%.
Решение. Запишем проценты в виде десятичной дроби и для определения предельной абсолютной погрешности и воспользуемся формулой (6'); тогда
Δ а * = | а | а * = 4,123 • 0,0001 = 0,00042.
Пример 8. Определить относительные погрешности чисел х и у, полученных при измерении углов. Какой из результатов более точный?
Решение. Переведем заданные значения x и у в секунды и определим относительные погрешности измерений. Более точным измерением будет то, где относительная погрешность меньше. Имеем:
x = 181810" ±3", x = 3/181810 0,000017 = 0,0017%;
у = 162936"±2", y =2/162936 0,000013 = 0,0013%.
Измерение y произведено более точно.
Пример 9. Определить, какое равенство точнее: a 1 = 13/19 0,684 или a 2 = 7,21?
Решение. Для нахождения предельных абсолютных погрешностей берем числа a 1 и a 2 с большим числом десятичных знаков: 13/19 0,68421; 7,2111. Определяем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:
Δ * а 1 = |0,68421 -0,684 | 0,00022
Δ * а 2 = | 7,2111-7,21 | 0,0012.
Находим предельные относительные погрешности:
* а1 = Δ* а1 / a 1 = 0,00022/0,684 0,00033 = 0,033%;
* а2 = Δ* a 2 / a 2 = 0,0012/7,21 0,00017=0,017%.
Второе равенство является более точным, поскольку * а2 * а1 .
ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ величины — всякое значение , отличное от точного (истинного) ее значения х на некоторое число. Если число есть П. з., а — точное значение, то обычно пишут: (читают: приближенно равно ). Если П. з. величины больше , то говорят, что число называется П. з. числа с избытком; если П. з. величины меньше , то число называется П. з. числа с недостатком (или по недостатку). П. з. величины иначе называют приближением.
Степень приближения, т. е. замены числа числом , определяется абсолютной погрешностью приближения: разностью точного и приближенного значений величины: .
В практической деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины, площади, объема, массы, температуры и так далее.
Числа, встречающиеся на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие – только приблизительное. Первые называют точными , вторые – приближенными .
Точное значение величины удается найти лишь в некоторых случаях.
Можно точно указать число вагонов железнодорожного поезда.
Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в классе.
В книге 512 страниц, число 512 – точное.
В шестиугольнике 9 диагоналей, число 9 – точное.
В классе есть 29 учеников, число 29 – точное.
Однако по большей части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.
Чаще всего удобно пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.
Лишь приблизительно оценивают :
– количество зрителей телепередачи,
– количество перелетных птиц,
– количество деревьев в лесу.
Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 – приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.
Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 – приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.
Приближенные значения получаются в результате измерений.
Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет. Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м , не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное значение величины.
Невозможно, точно измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора (линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными качествами.
Невозможно точно измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета самолета и так далее.
Приближенные значения получают при округлении истинных значений величин.
Приближённые и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах .
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа.
Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.
Для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3 , 6 , 7 , а сомнительными 1 и 4 . В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет выглядеть таким образом – 3,67 .
Число 2,19563 в расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его числом 2,196 или даже числом 2,20 , которые являются приближенными значениями числа 2,19563 с излишком.
Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и к приближённому числу.
Границы значения величины.
Всякое измерение (длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и небольшая разность.
Рассмотрим процесс определения массы детали с помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.
Обозначим массу детали в граммах через m , тогда результат взвешивания можно записать в виде двойного неравенства :
Заменив потом гирю 10 г гирей 5 г , и убедимся, что масса детали больше 25 г,
Положив на чашу весов с гирьками еще 2 г , заметим, что масса детали меньше чем 27 г.
Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали в граммах :
26 г – приближённое значение с недостачей,
27 г – приближённое значение с излишком.
Другими словами, мы установили границы значения массы в граммах. Число 26 – нижняя граница, число 27 – верхняя граница.
Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2 г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.
Зная пределы значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая зависит от первой.
Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника :
5,4 ≤ а ≤ 5,5.
Надо найти пределы периметра Р .
Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле :
Р = 3а .
Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а ≥ 16,2 .
Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а ≤ 16,5 .
Числа 16,2 и 16,5 – приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Записать решение можно и так :
5,4 ≤ а ≤ 5,5,
5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Пусть известны границы какого-то числа х :
Надо оценить значение выражения 1 /х .
Из условия задачи определяем, что х – число положительное .
Поскольку х ˃ 3 , то
Поскольку х , то
Выходит, что
Заменим границы значения выражения 1 /х десятичными дробями. Число 1 / 6 можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением с недостачей), а число 1 / 3 – лишь больше (приближением с излишком). Поскольку
то границами значения выражения 1 /х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4 .
Заменив нижнюю границу числом 0,1, а верхнюю – числом 0,4 , мы расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения 1 /х.
по известным правилам округления, то получили бы, что
Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1 /х могло бы очутиться вне полученных границах.
Способ записи приближённых чисел.
Приближённые значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения.
На рулоне обоев написано, что его длина равна
Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м, то есть точное значение длины может отличаться от приближённого значения, равного 18 м, не более чем на 0, 3 м. Другими словами длина рулона должна находиться между
18 – 0,3 = 17,7 м и
18 + 0,3 = 18,3 м .
Если измеряя длину х некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427 м и меньше чем 6,429 м, то записывают :
х = 6,428 ± 0,001 м.
Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью до
0,001 м (одного миллиметра).
При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40 , запись 0,02 от 0,0200 и так далее.
Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей цифры ).
Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398 , но не 2,421 и не 2,382 .
То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в виде 380 , а в виде 38 ∙ 10 . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) верна.
Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 10 2 , или это число можно также записать в виде 4,7 ∙ 10 3 и так далее.
Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.
В числе 0,00385 три значащие цифры.
В числе 0,03085 четыре значащие цифры,
В числе 2500 – четыре,
В числе 2,5 ∙ 10 3 – две.
Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Через то, что мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.
Вычисления с приближенными данными.
Вычисления с приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами, можно так же получить приближённые числа.
При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном числе.
х ≈ 17,2 и у ≈ 8,407 .
Найдём приближённое значение суммы х и у .
х + у ≈ 25,607 .
Из данных приближённых значений 17,2 и 8,407 менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то есть до десятых, получим:
х + у ≈ 25,6 .
х ≈ 6,784 и
у ≈ 4,91 .
Найдём приближённое значение разности х и у .
х – у ≈ 1,874 .
Из данных приближённых значений 6,784 и 4,91 менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть. до сотых, получим :
х – у ≈ 1,87 .
Найдите разность приближенных значений
х = 1,52 ± 0,01 и
у = 0,27 ± 0,02 .
Данным приближенным значением отвечают двойные неравенства
1,51 ≤ х ≤ 1,53 и
0,25 ≤ у ≤ 0,29.
Умножим все части последнего двойного неравенства на –1 , получим
– 0,29 ≤ – у ≤ – 0,25.
Прибавив это двойное неравенство к первому, получим
1 ,22 ≤ х – у ≤ 1 ,28, или
х – у = 1,25 ± 0,03.
Несколько иначе поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление производится с учётом относительной точности данных. В этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде
а × 10 n ,
и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.
х ≈ 0,86 и
у ≈ 27,1 .
Найдём приближённое значение произведения х и у .
Перемножив 0,86 и 27,1, получим :
Запишем данные числа и результат в стандартном виде :
23,306 = 2,3306 × 10 1 .
В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71 две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых. Получим :
ху ≈ 2,3 × 10 1 = 23.
х ≈ 60,2 и
у ≈ 80,1 .
Найдём приближённое значение произведения х и у .
Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так далее долями.
В произведении получаем 4822,02 . Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.
Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,23 и 80,14 . Тогда точное произведение будет 4826,8322 , так что цифра единиц в приближённом произведении (2) отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.
х ≈ 563,2 и
у ≈ 32 .
Найдём приближённое значение частного х и у .
Разделив 563,2 на 32 , получим:
х : у ≈ 17,6 .
Запишем данные числа и результат в стандартном виде :
563,2 = 5,632 × 10 2 ;
Из этой записи видно, что число 1,76 следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим :
х : у ≈ 1,8 × 10 ≈ 18.
При умножении и делении приближённых чисел нужно в результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом данном с наименьшим числом значащих цифр.
Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
Теория приближённых вычислений позволяет:
– зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий ;
– брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов ;
– рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит 1,214 – 1,2 = 0,014.
Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью.Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01.*
(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например, 1,68 ≈ 1,7. Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ - 0,02. Граничная погрешность всегда положительна).
х ≈ а ( Δа)
следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числами а +Δа и а –Δа, которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают НГх и ВГх.
Например, если х ≈ 2,3 ( 0,1),то 2,2
Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.
Относительной погрешностьюназывается отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают её так: Δа/а.Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах.
Например, если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенноезначение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 ( 0,2).Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная:
Читайте также: