Построение линий пересечения поверхностей геометрических тел кратко

Обновлено: 04.07.2024

Линия пересечения двух поверхностей — это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.

Общим способом построения точек, принадлежащих кривой взаимного пересечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей (плоскостей) посредников.

Принцип решения задачи

Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся поверхности Φ и Ω (рис. 5). Введем плоскость — посредник О, которая пересечет поверхности по линиям М и N. Взаимное пересечение этих линий даст точки 1 и 2, принадлежащие линии пересечения. Проводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.

Точки К₁ и К₂ находятся в точках пересечения очерков поверхностей и являются самой высокой и самой низкой точками линии пересечения.

Способы построения линий пересечения поверхностей:

В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости частного положения и шаровые поверхности — сферы.

В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

способ вспомогательных секущих плоскостей;
способ вспомогательных сфер.

При построении линии взаимного пересечения поверхностей необходимо сначала определить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные (случайные) точки.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Для построения линии пересечения заданных поверхностей конуса и шара (рис. 6) в качестве вспомогательных плоскостей необходимо использовать фронтальную плоскость Р и ряд горизонтальных плоскостей (S, Т, R).

Построение начинаем с определения проекций характерных точек (рис. 7). Проводим фронтальную плоскость Р (P_H). Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек (1′ и 2′) находим как точки пересечения очерков.

(•) 1′, 2′ = треугольник ∩ окружность — самая высокая и самая низкая точки линии пересечения.

Горизонтальные проекции 1 и 2 определяем, проведя линии связи до пересечения с Р_н.

Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям.

Точки 3 и 4, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью горизонтальной плоскости Т(Тv). Она проходит через центр сферы. Плоскость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса г. В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизонтальные проекции 3 и 4.

(•) 3, 4 = экв. сферы ∩ окр. радиуса г

Фронтальные проекции точек 3 и 4 находим, проведя линии связи до пересечения с Т_v.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции.

Промежуточные точки (точки 5, 6, 7, 8) находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей S(S_V) и R(R_v).

Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом видимости.

Пересечение соосных поверхностей

Соосными поверхностями вращения — называются поверхности, у которых совпадают оси вращения.

Линии пересечения соосных поверхностей — окружности, плоскости которых перпендикулярны оси поверхностей вращения. При этом если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линии пересечения на эту плоскость проецируются в отрезки прямых линий (рис. 8).

Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер

Способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:

пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Используя этот способ, можно построить линию пересечения поверхностей на одной проекции.

Рассмотрим пример построения линии пересечения двух цилиндров (рис. 9).

Построим фронтальную проекцию линии пересечения.

Проводим фронтальную плоскость Q(Q_H), которая является плоскостью симметрии поверхностей. Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Точки 1, 2, 3, 4 определяем как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащих плоскости Q.

Остальные точки находим способом вспомогательных концентрических сфер.

За центр сфер выбираем точку пересечения осей (точку О) и проводим сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно соосна вертикальному и наклонному цилиндрам и пересечет их по окружностям. Плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения цилиндров. Фронтальные проекции окружностей — отрезки прямых аЬ и с’сі’ на вертикальном цилиндре, 4/’ и И И’ на наклонном цилиндре. Точки их пересечения (точки 5, 6, 7, 8) принадлежат обоим цилиндрам, следовательно, являются точками линии пересечения.

Проведя несколько сфер разного радиуса можно построить достаточное количество точек линии пересечения поверхностей. Размеры вспомогательных сфер выбираются в определенных пределах. Минимальная сфера должна касаться большей поверхности и пересекать меньшую. То есть минимальная сфера вписывается в большую поверхность. С помощью такой сферы найдены точки 9, 10, 11, 12. Это самые глубокие точки линии пересечения.

Радиус максимальной сферы будет равен расстоянию от центра О до само удаленной точки пересечения контурных образующих (точки 1 и 4).

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикального цилиндра (рис. 9).

Линией пересечения поверхностей является линия, одновременно принадлежащая обеим пересекающимся поверхностям. Для построения точек линии пересечения используем метод вспомогательных секущих плоскостей.

Пусть даны две пересекающиеся поверхности и (рис. 40).

1. Проводим вспомогательную секущую плоскость S так, чтобы она пересекала обе данные поверхности.

2. Находим линии n и m пересечения плоскости S с поверхностями и

3. Определяем точки А и В взаимного пересечения линий n и m, лежащих в плоскости S.

Рис. 40. Пересечение поверхностей

Точки А и В одновременно принадлежат поверхности и и, следовательно, являются точками искомой линии пересечения двух поверхностей. Проведя ряд вспомогательных секущих плоскостей, получим ряд точек, аналогичных точкам А и В. Линия, последовательно соединяющая эти точки, будет искомой линией пересечения двух поверхностей. Методом секущих плоскостей решаются задачи 4 и 6.

Дано: многогранник и поверхность вращения. С помощью вспомогательно-секущих плоскостей построить линию пересечения многогранной и поверхности вращения, выделив ее видимые и невидимые участки (пример на рис. 41, 42).

Указания к задаче 4

По табл. 4 определяется номер рисунка (см. приложение к табл. 4), на котором представлены две поверхности: одна – вращения, другая – многогранник (см. табл. 4). Количество граней n многогранника также указано в таблице, дано смещение Х от центра одной из поверхностей. Длину или высоту второй поверхности студент выбирает самостоятельно. Задачу решают в трех проекциях.

Намечают расположение вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня) и с их помощью определяют характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Плоскости следует выбирать так, чтобы линии их пересечения с поверхностями проецировались в простейшие фигуры (окружности или прямые).

№ вар.	Рисунок	n граней	х	№ вар.	Рисунок	n граней	х
-
-	-
-
-	-
-
-
Продолжение таблицы 4
-	-
-
-
-	-
-	-
-	-
-
-	-
-
-	-
-
-
-

На примере решения задачи 4 (см. рис. 41) представлены сфера и проецирующая призма АВСD, следовательно, на фронтальной проекции линия пересечения уже определена. Вспомогательные плоскости в данном случае горизонтальные, они пересекают сферу по окружностям, а призму – по прямоугольникам. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательно-секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения секущей плоскости. Для гранной поверхности необходимо определить точки пересечения, принадлежащие ребрам, а для поверхности вращения – очерковым образующим.

На чертеже сфера представлена своим очерком на фронтальной и профильной проекции окружности главного меридиана, а на горизонтальной проекции – экватором.

Рис. 41. Сфера и призма

Точки 1 и 7 принадлежат главному меридиану на плоскости а точки 4 и 6 – на плоскости Точки 2 и 5 лежат на экваторе (2₁ и 5₁). Все остальные точки лежат на параллелях. По грани призмы ВС проводим первую горизонтальную плоскость – она пересекает сферу по окружности а призму – по грани ВС. На горизонтальной проекции определяют точки В₁ и С₁. Для нахождения остальных точек поступают так же, проводя плоскости до

Построить развертку многогранной поверхности и нанести на ней линию пересечения (заданная поверхность задачи 4).

Указания к задаче 5

Определяют натуральную величину одного из ребер многогранника и строят одну грань, затем последовательно к ней пристраивают остальные грани. Линия пересечения поверхностей наносится на развертку с помощью характерных точек.

На рис. 41 представлена развертка прямой призмы, у которой натуральная величина ребра – горизонтальные проекции, натуральная величина основания – фронтальная проекция.

На рис. 42 представлено пересечение трехгранной пирамиды и цилиндра. При решении задачи используют горизонтальные плоскости, которые пересекают пирамиду по треугольникам, подобным основанию, а цилиндр – по прямоугольникам. На рис. 42 натуральная величина ребра у трехгранной пирамиды – это профильная прямая S₃B₃. Горизонтальная проекция основания – это натуральная величина. По чертежу на ребре откладывается действительная величина проводится линия, параллельная основанию. На горизонтальной проекции пирамиды проводим дополнительную прямую через точку 3₁ до встречи с основанием и затем эту величину переносим на Точка пересечения двух прямых определяет положение точки на развертке.

Рис. 42. Пирамида и цилиндр

Даны две пересекающиеся поверхности вращения. Способом вспомогательно-секущих плоскостей построить линию их пересечения, выделив ее видимые и невидимые участки (пример решения задачи на рис. 43).

Указания к задаче 6

По табл. 5 определяется номер рисунка (см. приложение к табл. 5), на котором представлены две поверхности вращения и заданы координаты центра расположения осей одной из поверхностей. Чертежи выполняются по размерам, представленным в таблице, где d₁ и d₂ – диаметры пересекающихся поверхностей, h – высота одной из поверхностей (если высота или длина второй поверхности не указаны, студент принимает ее самостоятельно), X, Y, Z – смещения от центра одной из поверхностей.

№ вар.	№ рис.	d₁	d₂	h	x	y	z	№ вар.	№ рис.	d₁	d₂	h	x	y	z
-15	-	-	-
-	-	-30	-
-	-	-	-10	-	-
-	-30	-
-	-	-	-15	-
-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-
-	-	-
-	-	-	-	-10	-
-20	-	-20	-	-
Продолжение таблицы 5
-	-	-	-
-	-	-	-	-	-
-	-10	-	-	-	-	-
-	-10	-	-20	-
-	-	-	-	-	-
-	-	-
-	-	-	-
-	-10	-	-	-20	-
-25	-	-25	-	-
-	-	-	-
-	-
-	-	-
-	-	-	-	-	-
-15	-	-	-	-

На рис. 43 дан пример решения задачи 6 – пересечение поверхностей вращения (в нашем случае усеченный конус и цилиндр). Цилиндр на фронтальной плоскости проекций проецируется действительной величиной основания. Наиболее рациональный метод решения этой задачи – метод секущих плоскостей. На фронтальной проекции цилиндра выбираем характерные точки (точки, лежащие на очерковых образующих): А, С, Е принадлежат очерковым образующим конуса, а точки N, B, D и M – образующим цилиндра. Чтобы получить более точно линию пересечения поверхностей, выбираем случайные точки 1, 2, 3 и 4.

Для нахождения горизонтальных проекций этих точек применяют горизонтальные плоскости Р. Усеченный конус пересекается этими плоскостями по окружности радиусом, равным расстоянию от оси вращения до очерковой образующей, а цилиндр – по прямоугольникам. Соединив последовательно эти точки, получим плавную линию пересечения.

Рис. 43. Цилиндр и усеченный конус

Пусть даны две пересекающиеся поверхности и (рис. 40).

1. Проводим вспомогательную секущую плоскость S так, чтобы она пересекала обе данные поверхности.

2. Находим линии n и m пересечения плоскости S с поверхностями и

3. Определяем точки А и В взаимного пересечения линий n и m, лежащих в плоскости S.

Рис. 40. Пересечение поверхностей

Указания к задаче 4

№ вар.	Рисунок	n граней	х	№ вар.	Рисунок	n граней	х
-
-	-
-
-	-
-
-
Продолжение таблицы 4
-	-
-
-
-	-
-	-
-	-
-
-	-
-
-	-
-
-
-

Рис. 41. Сфера и призма

Указания к задаче 5

Рис. 42. Пирамида и цилиндр

Указания к задаче 6

№ вар.	№ рис.	d₁	d₂	h	x	y	z	№ вар.	№ рис.	d₁	d₂	h	x	y	z
-15	-	-	-
-	-	-30	-
-	-	-	-10	-	-
-	-30	-
-	-	-	-15	-
-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-
-	-	-
-	-	-	-	-10	-
-20	-	-20	-	-
Продолжение таблицы 5
-	-	-	-
-	-	-	-	-	-
-	-10	-	-	-	-	-
-	-10	-	-20	-
-	-	-	-	-	-
-	-	-
-	-	-	-
-	-10	-	-	-20	-
-25	-	-25	-	-
-	-	-	-
-	-
-	-	-
-	-	-	-	-	-
-15	-	-	-	-

Задачи на пересечение поверхностей является сложным заданием. В разделе Вашему вниманию предоставлено определение линии пересечения поверхностей геометрических фигур более подробно.

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание.

Пересечение двух сфер рассмотрим на примере, представленное ниже. А для начало необходимо ознакомиться с заданием. Как видите, даны две сферы, у которых центры смещены друг от друга. Алгоритм пересечение двух […]

Пересечение сферы и цилиндра

Пересечение сферы и цилиндра в соответствии заданию, которое указал ниже, определяется вспомогательными секущими плоскостями. Если Вы посмотрите, то увидите что секущие плоскости на профильной проекции не будет рационально указывать. Указывают […]

Пересечение сферы и призмы

Пересечение сферы и призмы согласно заданию, представленным ниже, определяется с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм построения пересечение сферы и призмы осуществляется в следующем порядке: 1.) Вычерчиваются фигуры согласно заданию. 2.) Чертятся секущие плоскости […]

Пересечение сферы и пирамиды

Пересечение сферы и пирамиды определяется методом секущих плоскостей. Построение невозможно без задания. Рассмотрим более подробно шаг за шагом построение линии пересечения фигур: 1.) В соответствии задания, чертятся фигуры. Затем строятся вспомогательные […]

Пересечение конуса и цилиндра пошаговое выполнение

Пересечение конуса и цилиндра имеют сопряжение осевых линий, поэтому вычерчивание осуществлено метод секущих сфер. Ниже представлено задание на эту тему: Рассмотрим Пересечение конуса и цилиндра пошагово: 1.) Вычерчиваются фигуры […]

Пересечение цилиндров пошаговое построение

Пересечение цилиндров в этой статье определяется методом секущих сфер. Но для начала необходимо ознакомиться с заданием, расположено снизу. Ознакомившись с данным заданием, можно приступать к выполнению вычерчивания. Порядок выполнения работ […]

Пересечение конуса и сферы пошаговое построение

Пересечение конуса и сферы в данной статье выполняется методом вспомогательных секущих плоскостей. Ниже представлено задание на определение линии пересечения фигур. Порядок построения на пересечение конуса и сферы: Первоначально находятся точки […]

Пересечение двух конусов подробно

Пересечение двух конусов может выполняться двумя методами, исходя из задания. Подробное описание определения линии пересечения геометрических фигур согласно этому заданию (указ на рисунке снизу) выполнялся методом секущих вспомогательных сфер. Последовательность […]

Пересечение конусов с подробным описанием

Пересечение конусов в данной статье наглядно представлено в виде, расположенном ниже. Определение линии пересечения геометрических фигур осуществлялся метод вспомогательных секущих плоскостей. Здесь предлагаю посмотреть образцы выполненных чертежей.

Определение линии пересечения конуса и части сферы.

Мной представлено подробное описание выполнения задания на определение линии пересечения взаимно пересекающихся фигур. Выполнение осуществляется с помощью ведения вспомогательных секущих плоскостей. Пример выполненного задания смотрите здесь.

В общем случае линия пересечения двух поверхностей представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Эти части могут быть и плоскими кривыми.
Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-посредников. Суть способа в следующем. Обе данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью; затем определяются линии пересечения данных поверхностей и вспомогательной поверхности, после чего на пересечении этих линий определяются точки, принадлежащие одновременно обеим данным поверхностям, т.е. их линии пересечения.
Чаще всего в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы. Исходя из этого различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:
• способ вспомогательных плоскостей, разделяющийся на способы вспомогательных проецирующих плоскостей и вспомогательных плоскостей общего положения;

• способ вспомогательных сфер, разделяющийся на способы концентрических и эксцентрических сфер.

Применение того или иного способа зависит от типа данных поверхностей и их взаимного расположения.
Способ вспомогательных проецирующих плоскостей применяют тогда, когда обе поверхности можно пересечь по графически простым линиям (прямым или окружностям) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей, в частности плоскостями уровня.
Способ вспомогательных плоскостей общего положения применяют при построении линии пересечения конических (пирамидальных) и цилиндрических (призматических) поверхностей общего вида.
Способ вспомогательных концентрических сфер применяют для построения точек линии пересечения поверхностей вращения при соблюдении следующих условий:
• поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекций;

• каждая из поверхностей содержит семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей;

•оси поверхностей вращения пересекаются в некоторой точке. Способ вспомогательных эксцентрических сфер применяют для построения точек линии пересечения поверхностей вращения при соблюдении почти тех же условий, кроме последнего:

•оси поверхностей вращения скрещиваются.

Построение точек линии пересечения поверхностей указанным способом состоит в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий, принадлежащих разным поверхностям и лежащим в одной секущей плоскости, определяет точки общие для обеих поверхностей - точки принадлежащие линии их пересечения.
Учитывая принадлежность графически простых линий одной проецирующей плоскости, можно трактовать указанный способ и как способ конкурирующих линий, проводимых на данных пересекающихся поверхностях.
Следовательно, если у пересекающихся поверхностей имеются семейства графически простых линий, лежащих в проецирующих секущих плоскостях (или конкурирующих друг с другом), то точки пересечения этих линий и будут точками искомой линии пересечения.
Рассмотрим несколько примеров построения линии пересечения поверхностей указанным способом.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, оси которых скрещиваются.

Если пересекать обе поверхности горизонтальными плоскостями, то на поверхности цилиндра появятся образующие (прямые линии), а на конусе - его параллели (окружности). На виде спереди (фронтальной проекции) эти линии будут конкурировать; на виде сверху (горизонтальной проекции) окружности (параллели конуса) будут изображаться без искажений.
Для начала определим опорные точки. На виде сверху (горизонтальной проекции) для цилиндра точками видимости являются точки А и В, которые одновременно будут и самыми дальними точками линии пересечения. Эти точки находятся на пересечении контурной образующей цилиндра . У конуса точек видимости на виде сверху нет, поскольку вся его поверхность здесь видима.
На виде спереди (фронтальной проекции) точки видимости для цилиндра C,D и E,F находятся на пересечении контурных образующих цилиндра . При этом точки С и D будут высшими точками линии пересечения, а точки Е и F- низшими. Для конической поверхности здесь точками видимости будут точки Частные случаи пересечения

Пример 2. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, поверхность одного из которых является проецирующей.

Пример 3. Построить линию пересечения сферы и треугольной призмы.

Пример 4. Рассмотрим технический пример построения линий перехода (пересечения) цилиндров вращения разных диаметров при пересекающихся осях.

Опорные точки в этом случае определяются просто. Для построения же нескольких случайных точек линии перехода используем построение дополнительных видов для наклонного и горизонтально расположенного цилиндров. Положение дополнительных плоскостей выбираем перпендикулярное осям цилиндров, в этом случае поверхности цилиндров будут проецирующими по отношению к ним.

Как отмечалось ранее, указанный способ рекомендуется применять при построении линии пересечения конических и цилиндрических поверхностей общего вида, а также поверхностей пирамид и призм. Вспомогательные секущие плоскости выбирают так, чтобы они пересекали обе поверхности по их образующим. Поскольку данные поверхности являются поверхностями общего вида, то и секущие плоскости также будут плоскостями общего положения.
В случае пересечения двух конусов эти плоскости должны проходить через прямую, соединяющую их вершины.
При пересечении конической и цилиндрической поверхностей вспомогательные секущие плоскости должны проходить через прямую, проведенную через вершину конуса и параллельную образующим цилиндра.

В случае пересечения двух цилиндрических поверхностей вспомогательные плоскости должны быть параллельны некоторой плоскости параллелизма, определяемой двумя пересекающимися прямыми, параллельными образующим цилиндрических поверхностей.
При указанном выборе вспомогательных поверхностей они пересекут обе заданные поверхности по их образующим. Точки пересечения этих образующих и будут точками линии пересечения поверхностей.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Построить линию пересечения конической и цилиндрической поверхностей общего вида.

В заключение следует отметить, что если основания поверхностей в некоторой предлагаемой задаче будут располагаться в разных плоскостях, то в качестве плоскости для дополнительного проецирования следует выбрать плоскость одного из оснований поверхностей. Остальные рассуждения и построения будут схожи с описанным случаем.

Читайте также: