Построение доказательств кратко в математике

Обновлено: 05.07.2024

2. Прямые и косвенные доказательства. Доказательство методом от противного.

3. Основные выводы

Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰•3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰•3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6

Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему

Задача 1. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если х² - четное число, то х – четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.

Основные выводы

В этом пункте познакомились с понятиями: умозаключение, посылка и заключение, дедуктивные (правильные) умозаключения, неполная индукция, аналогия, прямое доказательство, косвенное доказательство, полная индукция.

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.

Мы выяснили, что математическое доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключений можно с помощью кругов Эйлера.

ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ

Лекция 11. Текстовая задача и процесс ее решения

1. Структура текстовой задачи

2. Методы и способы решения текстовых задач

3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения

Кроме различных понятий, предложений, доказательств в любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естественном языке (их называют текстовыми): в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда называют вычислительными).

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни вы брал учитель, ему надо знать, как устроены такие задачи, и уметь их решать различными методами и способами.

Структура текстовой задачи

В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известны скорости первого и второго автомобилей (60 км/ч и 90 км/ч), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кроме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй.

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

В задаче речь идет о расходовании шерсти на свитер, шапку и шарф. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?

2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?

3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?

Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в начальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д.

Кроме того, вычленение условий задачи можно производить с разной глубиной. Глубина анализа условий и требований задачи зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знаем ли мы способ решения таких задач.

Пример 1. Сформулируйте условия и требования задачи:

Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?

В задаче речь идет о движении двух девочек навстречу друг другу. Как известно, движение характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем.

1. Две девочки бегут навстречу друг другу.

2. Движение они начали одновременно.

3. Расстояние, которое они пробежали, - 420 м.

4. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.

5. Девочки встретились через 30 с.

6. Скорость движения одной девочки больше скорости движения
другой.

1. С какой скоростью бежала 1-я девочка?

2. С какой скоростью бежала 2-я девочка?

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько
необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи - в них условий недостаточно для получения ответа;

в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.

В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с избыточными данными.

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование
задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривают двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под
решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

Упражнения

1. В следующих задачах выделите условия и требования:

а) Два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в село на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого?

б) Сумма двух чисел равна 199. Найдите эти числа, если одно из них больше другого на 61.

2. Задачи из упражнения 1 сформулируйте таким образом, чтобы предложение, содержащее требование, не содержало условий.

3. В задачах из упражнения 1 повелительную форму требований замените вопросительной, вопросительную - повелительной.

4. Решите задачи из упражнения I.

Из нижеследуемого списка выберите требования к данному условию и решите полученную задачу:

а) Сколько килограммов огурцов осталось незасоленными?

б) Сколько килограммов помидор осталось незасоленными?

в) Что больше - масса огурцов, которые посолили или масса огурцов, которые остались незасоленными?

6. Сформулируйте возможные требования к условию задачи:

а) Купили 12 м ткани и третью часть ткани израсходовали на платье.

б) Из деревни вышел пешеход, а через 2 ч вслед за ним выехал велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.

7. Какие данные необходимы для ответа на следующее требование
задачи:

а) Какая часть урока использована на решение задачи?

б) Сколько платьев сшили из купленной ткани?

в) Найдите периметр прямоугольника.

Ответ: 6 км/ч - скорость велосипедиста.

Согласны ли вы с таким решением данной задачи?

9. Можете ли вы дать ответ на требование следующей задачи:

а) За 3 м ткани заплатили 60000 р. Во второй раз купили 6 м ткани. Сколько денег заплатили за ткань, купленную во второй раз?

б) Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного них 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся?

В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие и решите задачу.

10. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:

а) Объем комнаты равен 72 м³. Высота комнаты 3 м. Найдите площадь пола комнаты, если ее длина 6 м.

5) Для посадки леса выделили участок, площадь которого 300 га. Ду6ы посадили на 7/10 участка, а сосны на 3/10 участка. Сколько гектаров занято дубами и соснами?

В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решнте задачу.

Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости можно восстановить формальное доказательство. Необходимость формального доказательства утверждений — одна из основных характерных черт математики как дедуктивной отрасли знаний, соответственно, понятие доказательства играет центральную роль в предмете математики, а наличие доказательств и их корректность определяют статус любых математических результатов.

На протяжении всей истории математики представление о способах и допустимых методах доказательства существенно менялось, в основном, в сторону большей формализации и бо́льших ограничений. Ключевой вехой в вопросе формализации доказательства стало создание математической логики в XIX веке и формализация её средствами основных техник доказательства. В XX веке построена теория доказательств — теория, изучающая доказательство как математический объект. С появлением во второй половине XX века компьютеров особое значение получило применение методов математического доказательства для проверки и синтеза программ, и даже было установлено структурное соответствие между компьютерными программами и математическими доказательствами (соответствие Карри — Ховарда), на основе которого созданы средства автоматического доказательства.

Связанные понятия

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Упоминания в литературе

В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства , были развиты русскими учеными А. Н. Колмогоровым, В. А. Гливенко, А. А. Марковым и другими.

Связанные понятия (продолжение)

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей.

Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.

Логика первого порядка, называемая иногда логикой или исчислением предикатов — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высших порядков.

Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Гипотеза в математике — утверждение, которое на основе доступной информации представляется с высокой вероятностью верным, но для которого не удаётся получить математическое доказательство. Математическая гипотеза является открытой математической проблемой, и каждую нерешённую математическую проблему, которая является проблемой разрешимости, можно сформулировать в форме гипотезы. Однако в виде гипотезы может быть сформулирована не всякая математическая проблема. Например, конкретное решение некоторой.

Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.

Математи́ческий объе́кт — абстрактный объект, определяемый и изучаемый в математике (или в философии математики).

Конструктивное доказательство — доказательство, в котором существование математического объекта доказывается путем прямого построения —

Вполне упорядоченное множество — линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами, это фундированное множество с линейным порядком.

Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.

Алгоритмическая разрешимость — свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.

Структурная индукция — конструктивный метод математического доказательства, обобщающий математическую индукцию (применяемую над натуральным рядом) на произвольные рекурсивно определённые частично упорядоченные совокупности. Структурная рекурсия — реализация структурной индукции в форме определения, процедуры доказательства или программы, обеспечивающая индукционный переход над частично упорядоченной совокупностью.

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин. Основания математики включают в себя три компонента.

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю). Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

Классическая логика — термин, используемый в математической логике по отношению к той или иной логической системе, для указания того, что для данной логики справедливы все законы (классического) исчисления высказываний, в том числе закон исключения третьего.

Проблема остановки (или проблема останова) — это одна из центральных проблем в теории алгоритмов, которая может неформально быть поставлена в виде.

Формализм — один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в XX веке одним из направлений фундаментализма в философии математики.

Математи́ческая структу́ра — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.

Теория комбинаторных схем — это часть комбинаторики (раздела математики), рассматривающая существование, построение и свойства семейств конечных множеств, структура которых удовлетворяет обобщённым концепциям равновесия и/или симметрии. Эти концепции не определены точно, так что объекты широкого диапазона могут пониматься как комбинаторные схемы. Так, в одном случае комбинаторные схемы могут представлять собой пересечения множеств чисел, как в блок-схемах, а в другом случае могут отражать расположение.

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Абсолютная геометрия — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского.

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов.

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

Тео́рия алгори́тмов — наука, находящаяся на стыке математики и информатики, изучающая общие свойства и закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества алгоритмов и т. п. Вместе с математической логикой теория алгоритмов.

Неконструктивное доказательство (неэффективное доказательство) — класс математических доказательств, доказывающих лишь существование в заданном (как правило, бесконечном) множестве элемента, удовлетворяющего заданным свойствам, но не дающее никакой информации о других свойствах элемента, то есть не позволяющие ни предъявить его, ни приблизительно описать. Доказательства, которые доказывают существование элемента, предъявляя способ получения этого элемента, называются конструктивными.

Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.

Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Комбинато́рика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики.

Теория Рамсея — раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. Названа в честь Фрэнка Рамсея.

Те́зис Чёрча — Тью́ринга — это гипотеза, постулирующая эквивалентность между интуитивным понятием алгоритмической вычислимости и строго формализованными понятиями частично рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга. В связи с интуитивностью исходного понятия алгоритмической вычислимости, данный тезис носит характер суждения об этом понятии и его невозможно строго доказать или опровергнуть. Перед точным определением вычислимой функции математики часто использовали неофициальный термин.

Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

Многозна́чная ло́гика — тип формальной логики, в которой допускается более двух истинностных значений для высказываний. Первую систему многозначной логики предложил польский философ Ян Лукасевич в 1920 году. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов являются частичные логики и нечёткие логики.

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Основные законы логики:

1. Закон тождества. Каждая мысль, повторяясь в рассуждении, должна быть тождественной самой себе.

Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные – за тождественные.

2. Закон непротиворечия.Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них обязательно ложно.

Если в мышлении (и речи) человека обнаружено формально-логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение, из которого вытекает противоречие, считается ложным.

3. Закон исключенного третьего.Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно – истинно, а другое – ложно, третьего не дано.

4. Закон достаточного основания.Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых доказана.

Когда речь идет о математическ4ом доказательстве, надо:

¾ иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;

¾ понимать, что доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений; оно выполняется по правилам и законам логики;

¾ понимать, какие другие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.

По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.

Прямое доказательство утверждения А В - это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А к В с соблюдением правил и законов логики и с помощью системы утверждений, истинность которых доказана.

(Если в четырехугольники три угла прямые, то он прямоугольник)

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему А В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А.

(а+3> 10, то а ¹7)

Билет 15 Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий. Взаимно - однозначные соответствия. Равномощные множества. Примеры соответствий (в том числе и взаимно - однозначных).

Основные законы логики:

1. Закон тождества. Каждая мысль, повторяясь в рассуждении, должна быть тождественной самой себе.

Когда речь идет о математическ4ом доказательстве, надо:

¾ иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;

¾ понимать, какие другие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.

По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.

(Если в четырехугольники три угла прямые, то он прямоугольник)

(а+3> 10, то а ¹7)

П. Окси. 29, один из старейших сохранившихся фрагментов Евклидова Элементы, учебник, используемый на протяжении тысячелетий для обучения методам корректуры. Диаграмма прилагается к книге II, предложение 5. [1]

Доказательства используют логика выражается математическими символами вместе с естественный язык что обычно допускает некоторую двусмысленность. В большей части математической литературы доказательства написаны в терминах строгой неформальная логика. Чисто формальные доказательства, написано полностью на символический язык без привлечения естественного языка, рассматриваются в теория доказательств. Различие между формальные и неофициальные доказательства привело к тщательному изучению текущих и исторических математическая практика, квазиэмпиризм в математике, и так называемые народная математикаустные традиции в основном математическом сообществе или в других культурах. В философия математики занимается ролью языка и логики в доказательствах, и математика как язык.

Содержание

История и этимология

Аргументы правдоподобия с использованием эвристических приемов, таких как изображения и аналогии, предшествовали строгому математическому доказательству. [8] Вполне вероятно, что идея продемонстрировать вывод впервые возникла в связи с геометрия, возникшие в практических задачах измерения земель. [9] Развитие математических доказательств в первую очередь является результатом древнегреческая математика, и одно из его величайших достижений. [10] Фалес (624–546 до н. Э.) И Гиппократ Хиосский (ок. 470–410 до н. э.) дал некоторые из первых известных доказательств геометрических теорем. Евдокс (408–355 до н.э.) и Theaetetus (417–369 до н. Э.) Сформулировал теоремы, но не доказал их. Аристотель (384–322 г. до н.э.) указанные определения должны описывать концепцию, определяемую в терминах других уже известных концепций.

Природа и цель

На практике доказательство выражается на естественном языке и представляет собой строгий аргумент, призванный убедить аудиторию в истинности утверждения. Стандарт строгости не абсолютен и менялся на протяжении всей истории. Доказательство может быть представлено по-разному в зависимости от целевой аудитории. Чтобы получить признание, доказательство должно соответствовать общественным стандартам строгости; ан аргумент считается неопределенным или неполным, может быть отклонено.

Понятие доказательства формализовано в области математической логики. [14] А формальное доказательство написано в формальный язык вместо естественного языка. Формальное доказательство - это последовательность формул на формальном языке, начинающаяся с предположения, и каждая последующая формула является логическим следствием предыдущих. Это определение делает концепцию доказательства доступной для изучения. Действительно, поле теория доказательств изучает формальные доказательства и их свойства, наиболее известным и удивительным является то, что почти все аксиоматические системы могут генерировать определенные неразрешимые заявления не доказуемо в системе.

Определение формального доказательства предназначено для того, чтобы охватить концепцию доказательств, как написано в математической практике. Обоснованность этого определения сводится к вере в то, что опубликованное доказательство в принципе может быть преобразовано в формальное доказательство. Однако за пределами области автоматизированного помощники доказательства, на практике это делается редко. Классический вопрос философии: являются ли математические доказательства аналитический или синтетический. Кант, который представил аналитическое и синтетическое различие, считал математические доказательства синтетическими, тогда как Куайн утверждал в своем 1951 г. "Две догмы эмпиризма"что такое различие несостоятельно. [15]

Методы

Прямое доказательство

В прямом доказательстве вывод устанавливается путем логического объединения аксиом, определений и предыдущих теорем. [16] Например, прямое доказательство можно использовать, чтобы доказать, что сумма двух даже целые числа всегда четный:

Рассмотрим два четных целых числа Икс и у. Поскольку они четные, их можно записать как Икс = 2а и у = 2бсоответственно для целых чисел а и б. Тогда сумма Икс + у = 2а + 2б = 2(а+б). Следовательно Икс+у имеет коэффициент 2 и по определению является четным. Следовательно, сумма любых двух четных целых чисел четная.

Это доказательство использует определение четных целых чисел, целочисленные свойства закрытие при сложении и умножении, и распределенность.

Доказательство математической индукцией

Обычное применение доказательства с помощью математической индукции - доказать, что свойство, которое, как известно, выполняется для одного числа, выполняется для всех натуральных чисел: [18] Позволять N = - набор натуральных чисел, а п(п) математическое выражение, содержащее натуральное число п принадлежащий N такой, что

(я)п(1) верно, т.е. п(п) верно для п = 1 .
(ii)п(п+1) верно всякий раз, когда п(п) верно, т.е. п(п) верно означает, что п(п+1) правда.
потом п(п) верно для всех натуральных чисел п .

Например, по индукции можно доказать, что все натуральные числа вида 2п − 1 странные. Позволять п(п) представлять " 2п − 1 нечетное ":

(я) Для п = 1 , 2п − 1 = 2(1) − 1 = 1 , и 1 нечетно, так как оставляет остаток 1 при делении на 2 . Таким образом п(1) правда. (ii) Для любого п , если 2п − 1 нечетный ( п(п) ), тогда (2п − 1) + 2 также должно быть нечетным, потому что добавление 2 к нечетному числу приводит к нечетному числу. Но (2п − 1) + 2 = 2п + 1 = 2(п+1) − 1 , так 2(п+1) − 1 нечетный ( п(п+1) ). Так п(п) подразумевает п(п+1) . Таким образом 2п − 1 нечетно для всех натуральных чисел п .

Доказательство противопоставлением

Доказательство противопоставлением делает вывод заявление "если п тогда q"путем установления логически эквивалентного контрапозитивный заявление: "если не q тогда не п".

Например, противопоставление может использоваться, чтобы установить, что, учитывая целое число Икс < displaystyle x>, если Икс 2 < displaystyle x ^ > четно, тогда Икс < displaystyle x>даже:

Доказательство от противного

В доказательство от противного, также известный по латинской фразе сокращение до абсурда (путем сведения к абсурду) показано, что если какое-то утверждение считается истинным, возникает логическое противоречие, следовательно, утверждение должно быть ложным. Известный пример включает доказательство того, что 2 < displaystyle < sqrt >> является иррациональный номер:

Доказательство построением

Доказательство построением или доказательство примером - это построение конкретного примера со свойством, чтобы показать, что нечто, обладающее этим свойством, существует. Джозеф Лиувиль, например, доказали существование трансцендентные числа путем создания явный пример. Его также можно использовать для построения контрпример чтобы опровергнуть утверждение, что все элементы обладают определенным свойством.

Доказательство истощением

При доказательстве методом исчерпания вывод делается путем разделения его на конечное число случаев и доказательства каждого в отдельности. Количество случаев иногда может стать очень большим. Например, первое доказательство теорема четырех цветов был доказательством исчерпания с 1 936 дел. Это доказательство было спорным, потому что большинство случаев было проверено компьютерной программой, а не вручную. Кратчайшее известное доказательство теоремы о четырех цветах на 2011 год [Обновить] по-прежнему насчитывается более 600 случаев. [20]

Вероятностное доказательство

Вероятностное доказательство - это такое доказательство, в котором доказывается существование примера с использованием методов теория вероятности. Вероятностное доказательство, как и доказательство по построению, является одним из многих способов показать теоремы существования.

В вероятностном методе ищется объект, обладающий заданным свойством, начиная с большого набора кандидатов. Каждому кандидату назначается определенная вероятность, а затем доказывается, что существует ненулевая вероятность того, что выбранный кандидат будет обладать желаемым свойством. Это не указывает, какие кандидаты обладают этим свойством, но вероятность не может быть положительной без хотя бы одного.

Комбинаторное доказательство

Комбинаторное доказательство устанавливает эквивалентность различных выражений, показывая, что они считают один и тот же объект по-разному. Часто биекция между двумя наборами используется, чтобы показать, что выражения для их двух размеров равны. В качестве альтернативы аргумент двойного счета предоставляет два разных выражения для размера одного набора, снова показывая, что эти два выражения равны.

Неконструктивное доказательство

Неконструктивное доказательство устанавливает, что математический объект с определенным свойством существует - без объяснения, как такой объект должен быть найден. Часто это принимает форму доказательства от противоречия, в котором доказывается невозможность существования объекта. Напротив, конструктивное доказательство устанавливает, что конкретный объект существует, путем предоставления метода его обнаружения. Известный пример неконструктивного доказательства показывает, что существует два иррациональные числа а и б такой, что а б < displaystyle a ^ > это рациональное число:

Статистические доказательства в чистой математике

Компьютерные доказательства

До двадцатого века считалось, что любое доказательство в принципе может быть проверено компетентным математиком, чтобы подтвердить его достоверность. [8] Однако теперь компьютеры используются как для доказательства теорем, так и для выполнения вычислений, которые слишком длинные для проверки любым человеком или группой людей; первое доказательство теорема четырех цветов является примером компьютерного доказательства. Некоторые математики обеспокоены тем, что возможность ошибки в компьютерной программе или ошибки времени выполнения в ее вычислениях ставит под сомнение достоверность таких компьютерных доказательств. На практике шансы ошибки, делающей компьютерное доказательство недействительным, можно снизить, если включить в вычисления избыточность и самопроверку, а также разработать несколько независимых подходов и программ. Ошибки никогда нельзя полностью исключить и в случае проверки доказательства людьми, особенно если доказательство содержит естественный язык и требует глубокого математического понимания, чтобы раскрыть потенциальные скрытые предположения и связанные с этим ошибки.

Неразрешимые заявления

Утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью набора аксиом, называется неразрешимым (исходя из этих аксиом). Одним из примеров является параллельный постулат, что нельзя ни доказать, ни опровергнуть из остальных аксиом Евклидова геометрия.

Математики показали, что есть много утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), стандартной системой теории множеств в математике (при условии, что ZFC непротиворечива); увидеть список операторов, неразрешимых в ZFC.

(Первая) теорема Гёделя о неполноте показывает, что многие системы аксиом, представляющие математический интерес, будут иметь неразрешимые утверждения.

Эвристическая математика и экспериментальная математика

В то время как ранние математики, такие как Евдокс Книдский не использовал доказательства, из Евклид к фундаментальная математика развития конца 19-го и 20-го веков доказательства были существенной частью математики. [26] С увеличением вычислительной мощности в 1960-х годах началась значительная работа по исследованию математические объекты вне рамок доказательства теорем, [27] в экспериментальная математика. Ранние пионеры этих методов планировали, что работа в конечном итоге будет встроена в классическую структуру теорем доказательства, например раннее развитие фрактальная геометрия, [28] который в конечном итоге был так встроен.

Связанные понятия

Визуальное доказательство

Хотя это не формальное доказательство, визуальная демонстрация математической теоремы иногда называется "доказательство без слов". На левом рисунке ниже показан пример исторического визуального доказательства теорема Пифагора в случае треугольника (3,4,5).

Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5), как в Чжуби Суаньцзин 500–200 до н. Э.

Анимированное визуальное доказательство теоремы Пифагора путем перестановки.

Второе анимированное доказательство теоремы Пифагора.

Некоторые иллюзорные визуальные доказательства, такие как недостающая квадратная головоломка, могут быть построены таким образом, который, кажется, доказывает предполагаемый математический факт, но делают это только при наличии крошечных ошибок (например, предположительно прямых линий, которые на самом деле слегка изгибаются), которые незаметны до тех пор, пока не будет внимательно изучена вся картина с длинами и углы точно измеренные или рассчитанные.

Элементарное доказательство

Двухколоночное доказательство

Статистическое доказательство с использованием данных

Доказательства индуктивной логики и байесовский анализ

Доказательства с использованием индуктивная логика, будучи математическими по своей природе, стремятся установить утверждения с определенной степенью уверенности, которые действуют аналогично вероятность, и может быть меньше полного уверенность. Индуктивную логику не следует путать с математическая индукция.

Байесовский анализ использует Теорема Байеса обновлять человека оценка вероятности гипотез, когда новые доказательства или Информация приобретается.

Доказательства как мысленные объекты

Психологизм рассматривает математические доказательства как психологические или ментальные объекты. Математик философы, такие как Лейбниц, Фреге, и Карнап по-разному критиковали эту точку зрения и пытались разработать семантику того, что они считали язык мысли, посредством чего стандарты математического доказательства могут применяться к эмпирическая наука. [ нужна цитата ]

Влияние математических методов доказательства за пределами математики

Философы-математики, такие как Спиноза пытались сформулировать философские аргументы в аксиоматической манере, посредством чего математические стандарты доказательства могли быть применены к аргументации в общей философии. Другие математики-философы пытались использовать стандарты математического доказательства и разума, без эмпиризма, чтобы прийти к утверждениям вне математики, но имея уверенность предложений, выведенных в математическом доказательстве, таких как Декарт' cogito аргумент.

Читайте также: