Поле внутри проводника и у его поверхности кратко

Обновлено: 30.06.2024

где s - локальная поверхностная плотность заряда, - компоненты электрического поля, перпендикулярная и касательная к поверхности, соответственно.

Метод изображений.

Метод изображений основан на подгонке потенциала под граничные условия: необходимо найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же. Рассмотрим точечный заряд , когда он находится около безграничной проводящей плоскости (рис. 1,а).

В нашем случае другой задачей является задача с двумя зарядами и (рис.1,б), поле этой системы известно. Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью проводящую плоскость и уберем заряд . Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним (рис. 1,в). Для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд � изображени е , противоположный по знаку заряду , поместив его на другую сторону проводящей плоскости на таком же расстояни и от нее, что и заряд . Фиктивный заряд создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости.

Электрическое поле в диэлектрике .

Диэлектриками называют вещества, практически не проводящие электрического тока, у которых электрически заряженные частицы связаны друг с другом; они не могут подобно свободным зарядам проводника, перемещаться под действием электрического поля по всему объему тела.

Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул (полярных или неполярных), либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки.

Под действием внешнего поля происходит поляризация диэлектрика.

Нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика называют связанными, тем самым, подчеркивая, что свобода перемещения таких зарядов ограничена. Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют сторонними.

Поле в диэлектрике является суперпозицией поля сторонних зарядов и поля связанных зарядов:

Поляризованность диэлектрика � вектор численно равный дипольному моменту единицы объема вещества:

где - концентрация молекул (их число в единице объема); - средний дипольный момент одной молекулы.

Для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений поляризованность зависит линейно от напряженности поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и не слишком велико:

где � - безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Всегда � > 0.

Теорема Гаусса для вектора . Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность s равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью s , т . е .

Дифференциальная форма уравнения Гаусса:

т.е. дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

Граничные условия для вектора :

где s� - поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектриков, орт нормали направлен из среды 1 в среду 2 . Таким образом, на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора испытывает разрыв, величина которого зависит от .

Вектор электрического смещения :

Теорема Гаусса для поля вектора :

Дифференциальная форма уравнения (31):

т.е. дивергенция поля вектора равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.

Связь между и . В случае изотропных диэлектриков:

где e - диэлектрическая проницаемость вещества:

Условия на границе для вектора :

т.е. тангенциальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).

Условия на границе для вектора :

где s - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела, т.е. нормальная составляющая вектора претерпевает скачок при переходе границы раздела.

Если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют ( s = 0), то:

Условие на границе проводник � диэлектрик:

где � внешняя по отношению к проводнику нормаль.

Связанный заряд у поверхности проводника:

где s� - поверхностная плотность связанных зарядов в диэлектрике.

В случае изотропного однородного диэлектрика, заполняющего все пространство между эквипотенциальными поверхностями:

Проводником называют вещества, содержащие свободные заряженные частицы, которые могут упорядоченно двигаться под действием электрического поля. Типичным примером проводника является любой металл, где электроны свободно перемещаются между узлами кристаллической решетки. Поместим незаряженный металл в однородное электростатическое поле . Под влиянием поля свободные электроны проводника начнут перемещаться против поля (рис.1.23). В результате в данном случае левая часть проводника зарядится отрицательно, а правая, на которой окажется недостаток электронов - положительно. Это явление называется электростатической индукцией. Индуцированные заряды создадут внутри проводника свое поле , направленное противоположно

внешнему . Перераспределение зарядов в проводнике будет происходить до тех пор, пока поле не скомпенсирует . При этом суммарная напряженность поля внутри проводника станет равной нулю и движение зарядов прекратится. Так как внутри проводника , то . Это означает, что все точки внутри проводника имеют одинаковый потенциал, т.е. проводник является эквипотенциальным телом.

На поверхности проводника напряженность поля перпендикулярна к ней, т.е. , где - нормальная (т.е. перпендикулярная к поверхности) составляющая напряженности. При этом - тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая напряженности равна нулю, так как в противном случае свободные электроны продолжали бы перемещаться на поверхности под действием , а этого не происходит. Т.е. , где dl - элемент длины поверхности проводника. Отсюда , т.е. поверхность проводника тоже эквипотенциальна. Таким образом внутри проводника и на его поверхности, т.е. имеется разрыв непрерывности на поверхности проводника, что объясняется наличием поверхностной плотности заряда s. Введение незаряженного проводника в однородное электростатическое поле искажает его: вблизи проводника оно становится неоднородным.

Если проводник заряжен, то сообщенные ему заряды будут удаляться друг от друга под действием кулоновских сил отталкивания и распределяться только на поверхности проводника. Внутри проводника не скомпенсированных зарядов не будет. Проведем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S. По теореме Гаусса следует . Так как Е внутри проводника нет, то и .

Рис.1.24. К определению напряженности поля Е вблизи поверхности заряженного проводника.

Свойство зарядов размещаться только на внешней поверхности проводника используется для электростатической защиты (экранирования) тел, измерительных приборов от внешних электростатических полей.

Определим напряженность поля вблизи заряженного проводника. Для этого выделим на его поверхности S малую площадку dS и построим не ней цилиндр с образующей l перпендикулярной поверхности и основаниями равными dS (рис.1.24). Поток напряженности электрического поля через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как параллельна l. Поток через нижнее основание тоже равен нулю, так как внутри проводника поля нет. Таким образом, поток через верхнее основание цилиндра и есть суммарный поток через всю цилиндрическую поверхность. Применяя теорему Гаусса, получим , , где s - поверхностная плотность смещенных зарядов. Смещенные индуцированные заряды появляются на поверхности проводника, вследствие их перемещения под действием электрического поля. Из полученной формулы можно сделать следующий вывод: напряженность поля вблизи поверхности заряженного проводника определяется поверхностной плотностью зарядов, находящихся на нем.

Если проводник находится в среде с диэлектрической проницаемостью e, то . Так как , то D = s. Следовательно, электростатическое смещение (или индукция) численно равно поверхностной плотности смещенных зарядов на поверхности проводника. Поэтому вектор и назвали вектором электрического смещения.

Распределение зарядов на поверхности проводника, т.е. величина s, зависит только от его формы. Наибольшая плотность заряда (в силу отталкивания одноименных зарядов) оказывается на наиболее выпуклых местах поверхности - на ребрах и остриях. Вблизи этих мест напряженность поля Е максимальна.

Поле внутри и снаружи проводника.

Внутри проводника = 0. Это означает, что потенциал j в проводнике одинаков во всех точках, следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной. Напряженность электрического поля у поверхности проводника:

Метод изображений.

В нашем случае другой задачей является задача с двумя зарядами и (рис.1,б), поле этой системы известно. Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью проводящую плоскость и уберем заряд . Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним (рис. 1,в). Для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд – изображение , противоположный по знаку заряду , поместив его на другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд . Фиктивный заряд создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости.

Рис.1.24. К определению напряженности поля Е вблизи поверхности заряженного проводника.

Поле внутри и снаружи проводника.

Метод изображений.

В нашем случае другой задачей является задача с двумя зарядами и (рис.1,б), поле этой системы известно. Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью проводящую плоскость и уберем заряд . Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним (рис. 1,в). Для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд – изображение , противоположный по знаку заряду , поместив его на другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд . Фиктивный заряд создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Электронное учебное пособие по разделам курса физики Электростатика. Электродинамика. Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны

1. Электростатика. Электрические заряды

Слово электричество возникло от греческого слова электрон янтарь, который электризуется при натирании о шерстяную материю. В природе известны два рода электрических зарядов, которые условно названы положительным и отрицательным зарядами. Известно также их взаимодействие: одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.

Электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов равных примерно , Этим зарядом является заряд отрицательно заряженной частицы, получившей название электрон. Электрон имеет массу покоя, равную приблизительно . Кроме отрицательно заряженного электрона имеются частицы, обладающие элементарным положительным зарядом. Устойчивой частицей, обладающей элементарным положительным зарядом, является протон. Протон представляет собой ядро атома водорода – самого легкого элемента таблицы Менделеева. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона . Протон – это частица, которая входит в состав ядер всех элементов и определяет заряд ядра. Электроны в атомах образуют электронную оболочку атома. Они могут покинуть электронную оболочку атома или молекулы, превращая их в положительный ион, могут также присоединиться к другому атому или молекуле, превращая эти частицы в отрицательный ион. Передача электронов может происходить не только между атомами или молекулами, но и между телами, например, при их соприкосновении. Такое явление называется электризацией тел соприкосновением. При электризации в одних телах возникает избыток электронов, такие тела заряжаются отрицательно, в других телах их недостаток, такие тела заряжаются положительно. Однако во всех случаях выполняется один из фундаментальных законов физики – закон сохранения электрических зарядов: алгебраическая сумма зарядов частиц или тел, образующих электрически изолированную (замкнутую) систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе. Под электрически изолированной системой понимается система тел (частиц), которая не обменивается зарядами с телами, не входящими в эту систему.

Проводники это тела, в которых электрические заряды способны перемещаться под действием сколь угодно слабого электростатического поля, что приводит к появлению поля внутри проводника, равного и противоположного внешнему. Вследствие этого сообщённый проводнику заряд будет перераспределяться до тех пор, пока в любой точке внутри проводника напряженность электрического поля не станет равной нулю.

Таким образом, напряженность электрического поля внутри проводника всегда будет равна нулю.

Распределение зарядов по поверхности

E = dϕ/dr → dϕ/dr = 0 → ϕ = const [1]

Так как напряжённость внутри проводника равна нулю (Е = 0), то потенциал внутри проводника постоянен.

На поверхности заряженного проводника вектор напряженности Е должен быть направлен перпендикулярно к этой поверхности, иначе под действием составляющей, касательной к поверхности (E_t), заряды перемещались бы по поверхности проводника.

Таким образом, при условии статического распределения зарядов, напряженность на поверхности:

где E_n — нормальная составляющая напряженности,
E_t — составляющая напряженности, направленная касательно к поверхности.

Из равенств [1] и [2] следует, что при равновесии зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.

Представим внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый внутренний объём проводника. Согласно теореме Гаусса, суммарный заряд этого объёма равен:

Таким образом, в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет.

Поэтому если мы удалим вещество из некоторого объёма, взятого внутри проводника, это никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т.е. по его наружной поверхности. На внутренней поверхности избыточные заряды располагаться не могут.

Исследуя величину напряжённости электрического поля вблизи поверхности заряженных тел различной формы можно судить и о распределении зарядов по поверхности - плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности – она растёт с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность на остриях. Напряженность поля вблизи остриёв может быть настолько большой, что происходит ионизация молекул окружающего газа. При этом заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия.

Проводники во внешнем электрическом поле.

В проводниках могут свободно перемещаться не только заряды, принесённые извне, но и заряды, из которых состоят атомы и молекулы проводника (электроны и ионы). Поэтому при помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле свободные заряды будут перемещаться к его поверхности, положительные по полю, а отрицательные против поля. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами. Это явление, состоящее в электризации незаряженного проводника во внешнем электростатическом поле путём разделения на этом проводнике уже имеющихся в нём в равных количествах положительных и отрицательных электрических зарядов называется электростатической индукцией.

Перемещение зарядов в проводнике помещённом во внешнее электрическое поле Е₀ будет происходить до тех пор, пока создаваемое индукционными зарядами дополнительное поле Е_доп. не скомпенсирует внешнее поле Е₀ во всех точках внутри проводника и результирующее поле Е внутри проводника станет равным нулю.

Суммарное поле Е вблизи проводника будет заметно отличаться от своего первоначального значения Е₀. Линии Е будут перпендикулярны к поверхности проводника и будут частично кончаться на индуцированных отрицательных зарядах и вновь начинаться на индуцированных положительных зарядах.

Индуцированные на проводнике заряды исчезают, когда проводник удаляют из электрического поля. Если предварительно отвести индуцированные заряды одного знака на другой проводник (например в землю) и отключить последний , то первый проводник останется заряженным электричеством противоположного знака.

Отсутствие поля внутри проводника, помещённого в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранировки) разных электрических приборов и проводов. Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим футляром (экраном).

Внутри проводника . Покажем это. Если поместить металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщить ему заряд, то под действием электрического поля будет наблюдаться перемещение электрических зарядов до тех пор, пока не установится такое распределение зарядов, при котором поле во всех точках проводника обратится в нуль. При этом избыточных зарядов внутри проводника не будет, что следует из теоремы Гаусса. Избыточные заряды появляются только на поверхности проводника в очень тонком поверхностном слое с некоторой плотностью, различной в разных точках поверхности. Из равенства нулю поля внутри проводника следует, что любой проводник в электростатическом поле представляет эквипотенциальный объем и его поверхность является эквипотенциальной. Последнее означает, что векторнаправлен по нормли к ней в каждой точке.

Проводнику сообщили отрицательный избыточный заряд. Заряд распределяется по поверхности как показано на рисунке. Вдали от проводника геометрия поля приближается к полю точечного заряда.

Вблизи положительного точечного заряда находится проводящий шар. Под действием электрического поля точечного заряда на проводящем шаре индуцируются заряды, как показано на рисунке. Эквипотенциальные поверхности по мере удаления от системы приближаются по форме к сферическим, а силовые линии – к радиальным.

Поле у поверхности проводника.

Напряженность электрического поля у поверхности проводника связана с поверхностной плотностью заряда на поверхности проводника. Это легко установить с помощью теоремы Гаусса.

Выделим небольшой участок поверхности проводника, граничащий с вакуумом. Так как силовые линии перпендикулярны поверхностипроводника, выберем в качестве замкнутой поверхности небольшой цилиндр с образующей перпендикулярной к поверхности. Поток векторачерез эту поверхность равен потоку через внешний торец цилиндра, и мы имеем:

Откуда .

Если , тонаправлен от поверхности (см. рисунок), привекторнаправлен к поверхности проводника в данном месте.

Отметим, что напряженность определяетсявсемизарядами рассматриваемой системы.

Силы, действующие на поверхность проводника.

Рассмотрим случай, когда заряженный проводник находится в вакууме. На малый участок поверхности действует сила:

где - напряженность поля всех оставшихся зарядов проводника в месте нахождения заряда. Пусть- напряженность поля, создаваемого зарядомвблизи площадки, которая ведет себя как поле бесконечно заряженной плоскости.

Результирующее поле как внутри, так и вне проводника вблизи площадки равно сумме . Так как внутри проводникаE= 0, то. Следовательно,

Сила, действующая на площадку, равна:

На единицу поверхности действует сила:

Так как ,.

Величинаназываетсяповерхностной плотностью сил. Независимо от знака,f>0 и направлена наружу проводника, стремясь растянуть проводник.

Отметим, что - имеет размерность плотности энергии.

Свойства замкнутой проводящей оболочки.

Рассмотрим важное свойство проводящей оболочки. Мы выяснили, что внутри заряженного проводника в состоянии равновесия, поле равно нулю . Поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника не должно отразится на равновесном положении зарядов. Это значит, что избыточный заряд в проводнике с полостью также, как и в сплошном расположен по егонаружнойповерхности. Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю. Отсюда следует вывод: внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не создают в полости электрического поля. На этом основанаэлектростатическаязащитаот влияния внешних электростатических полей. Практически сплошную оболочку можно заменить достаточно густой сеткой.

Если в полости есть электрический заряд, а все внешнее пространство заполнено проводящей средой, поле во внешнем пространстве равно нулю, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов. По теореме Гаусса поток через замкнутую поверхность, который охватывает полость, равен нулю:

Следовательно, алгебраическая сумма зарядов внутри полости индуцированный заряд на поверхности полости:

При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости, полностью компенсируют снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости.

Если какую-то часть пространства вне полости удалить, то от этого поле нигде не изменится и вне оболочки останется равным нулю.

Отсюда следует вывод: замкнутая проводящая оболочка разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении не зависящие друг от друга.

1. Определить потенциал в точке Mвне проводящей оболочки радиусомR(см. рисунок)

Ответ: .

2. Точечный заряд qнаходится на расстоянииrот центраOнезаряженного сферического проводящего слоя (см. рисунок). Определить потенциал в геометрическом центре слоя.

Ответ: .

Читайте также: