Относительный характер электрического и магнитного полей кратко

Обновлено: 05.07.2024

Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней свободы. Это его свойство связано с определенным состоянием поля. Действительно, в области существования поля значения независимых компонент и составляют бесчисленное множество величин, так как любая область пространства содержит бесконечно большое число точек.

Электрическое и магнитное поля являются различными проявлениями единого электромагнитного поля, которое также подчиняется принципу суперпозиции. Деление электромагнитного поля на электрическое поле и магнитное поле имеет относительный характер, так как зависит от выбора системы отсчета.

Например, заряд движется в инерциальной системе отсчета S с постоянной скоростью v или при движении одинаковых зарядов навстречу друг другу с постоянной скоростью v. В данной системе отсчета наблюдаются как электрическое, так и магнитное поля этого заряда, но изменяющие во времени. При переходе в другую инерциальную систему отсчета S * , движущуюся вместе с зарядом, наблюдается только электрическое поле, так как заряд в ней покоится. Если в S - системе отсчета существует постоянное, неоднородное магнитное поле (например, подковообразный магнит), то в S * - системе, движущейся относительно S - системы, наблюдаются переменные электрическое и магнитное поля.

Соотношения между электрическим и магнитным полями неодинаковы в различных системах отсчета.

Эксперименты показывают, что заряд любой частицы - инвариантен, т. е. не зависит от скорости движения частицы и от выбора инерциальной системы отсчета. Теорема Гаусса

справедлива не только для покоящихся зарядов, но и для движущихся, т. е. она инвариантна относительно инерциальных систем отсчета.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой электрическое и магнитное поля преобразуются. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: S и движущаяся относительно нее, со скоростью система S * . Если в некоторой пространственно - временной точке А системы S известны значения полей и , то какими будут значения этих полей * и * в той же самой пространственно-временной точке А системы S * ? Пространственно - временной точкой А называют такую точку, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца, т. е.

Законы преобразования этих полей согласно специальной теории относительности выражаются следующими четрьмя формулами:

Символами || и ^ отмечены продольные и поперечные (по отношению к вектору ) составляющие электрического и магнитного полей; с - скорость света в вакууме;

Из уравнений видно, что каждый из векторов * и * выражается как через , так и через , что свидетельствует о единой природе электрического и магнитного полей.

Например, модуль напряженности вектора Е свободно движущегося релятивистского заряда описывается формулой

где a - угол между радиус-вектором и вектором скорости .

Линии напряженности поля свободно движущегося точечного заряда имеют вид, приведенный на рис. 5.

Вектор индукции магнитного поля свободно движущегося точечного заряда в этой же системе отсчета описывается формулой

Соотношения между электрическим и магнитным полями неодинаковы в различных системах отсчета.

Например, модуль напряженности вектора Е свободно движущегося релятивистского заряда описывается формулой

где a - угол между радиус-вектором и вектором скорости .

Линии напряженности поля свободно движущегося точечного заряда имеют вид, приведенный на рис. 5.

1. В предшествующем изложении (за исключением только § 77) мы предполагали, что при изучении электромагнитных явлений все отсчеты положения и движения зарядов и материальных тел, а также отсчеты всех вообще физических величин приводятся к некоторой определенной инерциальной системе отсчета, которую мы условно называем неподвижной (см. § 111). Изложенные нами законы электродинамики применимы лишь к таким наблюдениям и измерениям, которые произведены относительно инерциальной системы отсчета. Вместе с тем, как известно, все инерциальные системы отсчета равноправны, так что законы электромагнитных, как и всех вообще физических, явлений не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к какой-либо другой системе движущейся относительно прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью

Однако конкретные физические величины изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой системе результаты измерения одного и того же явления в двух различных системах вообще говоря, отличны друг от друга. Так, например, если скорость и ускорение какого-либо тела относительно системы равны соответственно и а, то скорость и ускорение и а того же самого тела относительно системы в нерелятивистском приближении (т. е. с точностью до членов порядка равны

Поэтому теория электромагнитных явлений должна, во-первых, дать ответ на вопрос о том, как изменяются значения электромагнитных величин (векторов поля плотности зарядов и токов ) при изменении системы отсчета, и, во-вторых, должна показать, что из установленного способа пересчета физических величин из одной системы отсчета в другую вытекает инвариантность законов электродинамики при переходе от какой-либо системы отсчета к системе равномерно движущейся относительно

2. В современной электродинамике принимается, что значение произвольного электрического заряда не зависит от системы отсчета. Что же касается векторов поля, то их значения, как легко видеть, существенно зависят от системы отсчета.

Пусть, например, измерениями в системе установлено, что в данной области пространства V электрическое поле тогда как магнитное поле (для простоты предполагаем, что в рассматриваемой области пространства V имеется вакуум: Это значит, что если помещенный в V заряд покоится относительно системы 5, то на него никакие силы не действуют; если же он движется относительно со скоростью и, то на него действует сила

Так как скорость и заряда относительно системы равна

Стало быть, на заряд, покоящийся относительно системы (т. е. при ), действует сила

Так как, по определению (см. § 45), напряженность электрического поля равна силе, испытываемой покоящимся единичным положительным зарядом, то из наблюдений, произведенных

относительно системы будет следовать, что в пространстве V существует электрическое поле напряженности

Вместе с тем из (115.2) следует, что в системе имеется также и магнитное поле

ибо сила должна выражаться в системе вполне равноправной системе 5, формулой Лоренца

Таким образом, мы приходим к заключению, что деление электромагнитного поля на поле электрическое и на поле магнитное имеет относительный характер: поле, которое в системе является только магнитным оказывается, с точки зрения равноправной системы полем электромагнитным в узком смысле этого слова Подобно этому и в том случае, если в системе то в системе вообще говоря, отличны от нуля как так и Это следует из общих формул преобразования векторов и Н:

частными случаями которых для являются выведенные нами формулы (115.3) и (115.4). В формулах (115.5), так же как в (115.3) и (115.4), отброшены члены порядка Вывод формул (115.5) можно найти в учебниках теории относительности; наглядное обоснование их без прямого обращения к представлениям теории относительности возможно лишь в рассмотренном выше частном случае

Поскольку значение напряженности электрического поля оказывается зависящим от системы отсчета, то, естественно, возникает вопрос об инвариантных, т. е. не зависящих от системы отсчета, количественных характеристиках электромагнитного поля. Существуют два таких инварианта: из (115.5) легко убедиться, что с точностью до членов порядка

Если исходить не из приближенных формул (115.5), а из соответствующих точных формул, учитывающих члены порядка то можно доказать, что формулы (115.6) строго справедливы при всех возможных значениях относительной скорости систем отсчета.

Заметим еще, что обобщение формул преобразования (115.5) на случай материальной среды гласит.

Таким образом, введенные нами в § 111 эффективные значения электрической напряженности и магнитной индукции в движущейся среде

[см. уравнения (111.5) и (111.12)] представляют собой не что иное, как истинные значения этих величин в системе отсчета скорость которой равна скорости и среды, т. е. в той системе отсчета, в которой среда покоится.

Формулы (115.7) распадаются на две группы: в первую входят только значения векторов в системах во вторую — только значения векторов Это соответствует тому, что по физическому смыслу аналогом электрической напряженности является магнитная индукция В, а не магнитная напряженность (см., например, § 62).

3. Нам остается еще показать, что из формул преобразования векторов поля (115.5) и (115.7) вытекает инвариантность законов электродинамики при изменении системы отсчета. Конечно, при изменении системы отсчета необходимо преобразовать не только электромагнитные величины, но также и пространственные координаты и время.

так что при изменении системы отсчета подвергаются изменению лишь пространственные координаты:

Однако эти формулы преобразования координат и времени несовместимы с инвариантностью законов электродинамики. В этом проще всего убедиться следующим образом. Из законов электродинамики вытекает, что скорость распространения света в

вакууме равна электродинамической постоянной с. Если эти законы остаются инвариантными при преобразовании координат, то в любой инерциальной системе скорость света в вакууме должна быть одинаковой и равняться с. Между тем из классических формул преобразования времени и координат (115.8) и (115.9) вытекает преобразование скорости (115.1):

которое, в частности, должно быть применимо и к скорости света. Если в системе скорость света равна с, то в равноправной системе движущейся относительно со скоростью например, вдоль луча света, скорость этого луча должна бы равняться Таким образом, классические формулы преобразования координат и времени (115.8) и (115.9) несовместимы с инвариантностью законов электродинамики.

Именно это обстоятельство и явилось причиной длительных и напряженных экспериментальных и теоретических исследований, завершившихся созданием теории относительности. Эйнштейн, подвергнувший глубокому анализу понятие одновременности, доказал относительность этого понятия и несостоятельность выражаемого уравнением (115.8) допущения, что промежуток времени между двумя событиями не зависит от системы отсчета. Постоянство скорости света в вакууме было возведено Эйнштейном в ранг одного из основных постулатов теории относительности, так что можно сказать, что формулы преобразования координат и времени выводятся в теории относительности из требования инвариантности законов электродинамики.

В предыдущей главе мы выяснили, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Рассмотрим некоторые примеры.

Заряд движется в инерциальной К-системе отсчета с постоянной скоростью v. В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если же перейти в инерциальную К¢-систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.

Два одинаковых заряда движутся в К-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью v. В этой системе отсчета мы будем наблюдать и электрическое и магнитное поля, оба переменные. Найти такую К¢-систему, где наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.

В К-системе существует постоянное неоднородное магнитное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в К¢-системе, движущейся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное и электрическое поля.

Таким образом, становится ясно, что соотношение между электрическим полем и магнитным полем оказывается разным в различных системах отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой поля и определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы.

Поскольку векторы и , характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета, возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля (инвариант обозначают inv; см. например, (43.1)).

Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов и , это

= inv; E 2 - c 2 B 2 = inv, (43.1)

где с – скорость света в вакууме.

Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные из них:

- из инвариантности скалярного произведения сразу следует, что в случае, когда в какой-либо системе отсчета ^ , т.е. = 0, то и во всех других инерциальных системах отсчета ^ ;

- из инвариантности E 2 - c 2 B 2 следует, что в случае, когда E = cB (т.е. когда E 2 - c 2 B 2 = 0), то и в любой другой инерциальной системе отсчета E¢ = cB¢;

- если в какой-либо системе отсчета угол между векторами и острый (или тупой), - это значит, что больше (либо меньше) нуля, - то угол между векторами и также будет острым (или тупым) во всякой другой системе отсчета;

- если в какой-либо системе отсчета E > cB (или E 2 - c 2 B 2 > 0 (либо E 2 - c 2 B 2 cB¢ (или E¢

Оказывается, что годится любая инерциальная система. Мы увидим также, что магнетизм и электричество — не независимые вещи, они всегда должны быть взяты в совокупности как одно полное электромагнитное поле. Хотя в статическом случае уравнения Максвелла разделяются на две отдельные пары: одна пара для электричества и одна для магнетизма, без видимой связи между обоими полями, тем не менее в самой природе существует очень глубокая взаимосвязь между Иими, возникающая из принципа относительности. Исторически принцип относительности был открыт после уравнений Максвелла. В действительности же именно изучение электричества и магнетизма привело Эйнштейна к открытию принципа относительности. Но посмотрим, что наше знание принципа относительности подскажет нам о магнитных силах, если предположить, что принцип относительности применим (а в действительности так оно и есть) к электромагнетизму.

Давайте подумаем, что произойдет с отрицательным зарядом, движущимся со скоростью v₀ параллельно проволоке, покоторой течет ток (фиг. 13.10). Постараемся разобраться в происходящем, используя две системы отсчета: одну, связанную с проволокой, как на фиг. 13.10, а, а другую — с частицей, как на фиг. 13.10, б. Мы будем называть первую систему отсчета S, а вторую S`.

В системе S на частицу явно действует магнитная сила. Сила направлена к проволоке, поэтому, если заряду ничего не мешает, его траектория загнется в сторону проволоки. Но в системе S` магнитной силы на частицу быть не может, потому что скорость частицы равна нулю. Что же, следовательно, она так и будет стоять на месте? Увидим ли мы в разных системах разные вещи? Принцип относительности утверждает, что в системе S` мы увидели бы тоже, как частица приближается к проволоке. Мы должны попытаться понять, почему такое могло бы произойти.

Вернемся к нашему атомному описанию проволоки, по которой идет ток. В обычном проводнике, вроде меди, электрические токи возникают за счет движения части отрицательных электронов (называемых электронами проводимости), тогда как положительные ядерные заряды и остальные электроны остаются закрепленными внутри материала. Пусть плотность электронов проводимости есть р_, а их скорость в системе S есть v. Плотность неподвижных зарядов в системе S есть р ₊ , что должно быть равно р_ с обратным знаком, потому что мы берем незаряженную проволоку. Поэтому вне проволоки электрического поля нет, и сила на движущуюся частицу равна просто

Используя результат, найденный нами в уравнении (13.18) для магнитного поля на расстоянии r от оси проволоки, мы заключаем, что сила, действующая на частицу, направлена к проволоке и равна по величине

С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток / может быть записан как p₊vA, где А — площадь поперечного сечения проволоки. Тогда

Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая произвольных скоростей v и v₀, но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость v₀ частицы совпадает со скоростью v электронов проводимости. Поэтому мы запишем v=v₀, и уравнение (13.20) приобретет вид

Теперь обратимся к тому, что происходит в системе S`, где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью v. Положительные заряды, движущиеся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое магнитное поле В`. Но частица теперь покоится, так что магнитная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выходит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряженной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.

Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плотность зарядов в проволоке в системе S`, пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе S. На первый взгляд можно было бы подумать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.

Прежде чем определить плотности зарядов в системе S`, нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель 1/√1–v 2 /c 2 . Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.

Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и протонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.

Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каждого из электронов в куске привело бы к огромным электрическим полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.

Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электронов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простейших химических реакциях к огромным полям. Ничего похожего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электрический заряд отдельной частицы не зависит от состояния движения или покоя.

Итак, заряд частицы q есть инвариантная скалярная величина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в единице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.

Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной L₀, в которой плотность неподвижных зарядов есть ρ₀, то в ней будет содержаться полный заряд Q=ρ₀L₀A₀. Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью v, то они все будут находиться в куске материала меньшей длины

но того же сечения А_о, поскольку размеры в направлении, перпендикулярном движению, не меняются (фиг. 13.11).

Если через ρ обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд Q будет ρLA₀, Но это должно быть также равно ρ_оL₀A, потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно, ρL=ρ₀L₀, или с помощью (13.22)

Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меняется таким же образом, как и релятивистская масса частицы.

Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов р₊ в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в системе S. Однако в системе S`, где проволока движется со скоростью v, плотность положительных зарядов становится равной

Теперь мы можем понять, почему в системе S′ возникают электрические поля: потому что в этой системе в проволоке имеется результирующая плотность зарядов ρ′, даваемая формулой

помощью (13.24) и (13.26) имеем

Поскольку покоящаяся проволока нейтральна, р_ = —р₊ , получаем

Наша движущаяся проволока заряжена положительно и должна создавать поле Е′ в точке, где находится внешняя покоящаяся частица. Мы уже решали электростатическую задачу об однородно заряженном цилиндре. Электрическое поле на расстоянии r от оси цилиндра есть

Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, направлена к проволоке. Мы имеем силу, направленную одинаково в обеих системах; электрическая сила в системе S′ направлена так же, как магнитная сила в системе S. Величина силы в системе S′ равна

Сравнивая этот результат для F′ с нашим результатом для F в уравнении (13.21), мы видим, что величины сил с точки зрения двух наблюдателей почти одинаковы. Точнее,

Но оказывается, что все обстоит даже еще лучше, чем мы сказали. Если принять во внимание тот факт, что силы также преобразуются при переходе от одной системы к другой, то окажется, что оба способа наблюдения за происходящим дают на самом деле одинаковые физические результаты при любой скорости.

Чтобы это увидеть, можно, например, задать вопрос: какой поперечный импульс приобретет частица, на которую в течение некоторого времени действовала сила? Мы знаем из вып. 2, гл. 16, что поперечный импульс частицы должен быть один и тот же как в системе S, так ив системе S′. Обозначим поперечную координату у и сравним Δр_у и Δр′_у . Используя релятивистски правильное уравнение движения F=dp/dt, мы ожидаем, что за время Δt наша частица приобретет поперечный импульс Δр_у в системе S, даваемый выражением

В системе S′ поперечный импульс будет равен

Мы должны сравнивать Δр_у и Δр′_у конечно, для соответствующих интервалов времени Δt и Δt′. В гл. 15 (вып. 2) мы видели, что интервалы времени, относящиеся к движущейся частице, кажутся длиннее интервалов в системе покоя частицы. Поскольку наша частица первоначально была в покое в системе S′, то мы ожидаем, что для малых Δt

и все получается великолепно. Согласно (13.31) и (13.32),

и если скомбинировать (13.30) и (13.33), то это отношение равно единице.

Если бы мы выбрали еще одну систему координат, мы бы нашли некую другую смесь полей Е и В. Электрические и магнитные силы составляют части одного физического явления— электромагнитного взаимодействия частиц. Разделение этого взаимодействия на электрическую и магнитную части в большой степени зависит от системы отсчета, в которой мы описываем взаимодействие. Но полное электромагнитное описание инвариантно; электричество и магнетизм, вместе взятые, согласуются с принципом относительности, открытым Эйнштейном.

Читайте также: