Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке кратко

Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплош­ное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выбо­рочное.

Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естест­венно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вто­рых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно унич­тожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования (см. § 6.5), должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно та­кие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствую­щих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.

Большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования, называется генеральной сово­купностью, а множество объектов, отобранных из нее, — выбо­рочной совокупностью, или выборкой.

Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Так, например, если целью является изучение состояния здо­ровья населения большого города, то нельзя воспользоваться вы­боркой населения, проживающего в одном из районов города. Ус­ловия проживания в разных районах могут отличаться (различ­ная влажность, наличие предприятий, жилищных строений и т. п.) и, таким образом, влиять на состояние здоровья. Поэтому выбор­ка должна представлять случайно отобранные объекты.

Если записать в последовательности измерений все значения величины х в выборке, то получим простой статистический ряд. Например, рост мужчин (см): 170, 169, . . Та­кой ряд неудобен для анализа, так как в нем нет последователь­ности возрастания (или убывания) значений, встречаются и по­вторяющиеся величины. Поэтому целесообразно ранжировать ряд, например, в возрастающем порядке значений и указать их повторяемость. Тогда статистическое распределение выборки:171, 172, 172, 168,

(3.1)

Здесь x_i — наблюдаемые значения признака (варианта); n_i — число наблюдений варианты x_i (частота); р_i* — относительная частота.

Общее число объектов в выборке (объем выборки)

всего k вариант. Статистическое распределение — это совокуп­ность вариант и соответствующих им частот (или относительных частот), т. е. это совокупность данных 1-й и 2-й строки или 1-й и 3-й строки в (3.1).

В медицинской литературе статистическое распределение, со­стоящее из вариант и соответствующих им частот, получило на­звание вариационного ряда.

Наряду с дискретным (точечным) статистическим распределе­нием, которое было описано, используют непрерывное (интер­вальное) статистическое распределение:

(3.2)

Здесь x_i-1, x_i - i-йинтервал, в котором заключено количественное значение признака; n_i — сумма частот вариант, попавших в этот интервал; р*_i — сумма относительных частот.

В качестве примера дискретного статистического распределения укажем массы новорожденных мальчиков (кг) и частоты (табл. 5).

Общее количество мальчиков (объем выборки)

(3.3)

Можно это распределение представить и как непрерывное (интер­вальное) (табл. 6).

Таблица 6

2,65 — 2,75	2,75 — 2,85	2,85 — 2,95	2,95 — 3,05	3,05 — 3,15	…
…

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.

Полигон частот — ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (х₁, п₁ , (х₂; п₂), . или для полигона относительных частот — с координатами (х₁; р₁* ), (х₂; р₂ *), . (рис. 3.1). Рис. 3.1 относится к распределению, представленному в табл. 5.

Гистограмма частот — совокупность смежных прямоуголь­ников, построенных на одной прямой линии (рис. 3.2), основания прямоугольников одинаковы и равны а, а высоты равны отноше­нию частоты (или относительной частоты) к а:

(3.4)

Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна соответ­ственно

Следовательно, площадь гистограммы частот , а площадь гистограммы относительных частот

Наиболее распространенными характеристиками статистическо­го распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая, или выборочная средняя.

Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наиболь­шая частота. В распределении массы новорожденных (см. табл. 5) Мо = 3,3 кг.

(3.12)

Точечная оценка. Предположим, что из генеральной совокуп­ности производятся разные выборки; делают это так, чтобы вся генеральная совокупность сохранялась неизменной. Для опреде­ленности будем считать объемы этих выборок одинаковыми и рав­ными п. Их выборочные средние являются случай­ными величинами, которые распределены по нормальному зако­ну (см. конец § 2.3), а их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности, т. е. генеоалъной средней:

(3.13)

На практике иногда при достаточно большой выборке за генераль­ную среднюю приближенно принимают выборочную среднюю.

Для дисперсий положение получается несколько иным. Мате­матическое ожидание дисперсий различных выборок [M(D_Bi)], со­ставленных из генеральной совокупности, отличается от гене­ральной дисперсии:

(3.14)

При большом п получаем и

Для генерального среднего квадратического отклонения соответ­ственно из (3.14) и (3.14а) получаем:

(3.15)

Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений определенными числами называется то­чечной оценкой.

или (3.28)

Полезно сопоставить соотношения, полученные для большой (3.25) и малой (3.28) выборок.

Интервальная оценка истинного значения измеряемой ве­личины.Интервальная оценка генеральной средней может быть ис­пользована для оценки истинного значения измеряемой величины.

Пусть несколько раз измеряют одну и ту же физическую вели­чину. При этом по разным случайным причинам, вообще говоря, получают разные значения: x₁, x₂, x₃, . . Будем считать, что нет преобладающего влияния какого-либо фактора на эти измерения.

Истинное значение измеряемой величины (х_ист) совершенно точ­но измерить невозможно хотя бы по причине несовершенства изме­рительных приборов. Однако можно дать интервальную оценку для этого значения.

Если значения х₁, х₂, х₃, . рассматривать как варианты выбор­ки, а истинное значение измеряемой величины х_ист как аналог ге­неральной средней, то можно по описанным выше правилам найти доверительный интервал, в который с доверительной вероятно­стью р попадает истинное значение измеряемой величины. Приме­нительно к малому числу измерений (п t_тeoр, то различие между выборочными средними значениями случайных величин X и У можно считать существенным с заданной доверительной вероятностью. В проти­воположном случае различия несущественны.

Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные. Интервальные статистические оценки. Точность и надежность оценки; определение доверительного интервала; построение доверительных интервалов для средней при известном и неизвестном среднеквадратическом отклонении.

Определение статистической оценки

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение. Если имеются основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр наблюдений: . Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая как значения независимых случайных величин можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения означает найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Точечные статистические оценки

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называется точечной . Рассмотрим следующие точечные оценки : смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные.

Для того чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку и т. д. Получим числа , которые будут различаться. Таким образом, оценку — как возможные ее значения.

Если оценка с избытком, то найденное по данным выборок число будет больше истинного значения . Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины , то есть . Если дает приближенное значение с недостатком, то .

Использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования устраняет систематические ошибки.

Несмещенной называют статистическую оценку , то есть .

Смещенной называют статистическую оценку , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Приняв в качестве приближенного значения , мы допустили бы ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она вычисляется по формуле

где — значения признака генеральной совокупности объема — соответствующие частоты, причем

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема со значениями признака . Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности и вычисляется по формуле

где — значения, признака в выборочной совокупности объема ; — соответствующие частоты, причем

Если генеральная средняя неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещенной и состоятельной оценкой. Отсюда следует, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних .

Если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит- от объема выборки: чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию. Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения , которое вычисляется по формуле

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения хв, вводят сводную характеристику — выборочную дисперсию. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюденных значений признака от их среднего значения , которое вычисляется по формуле

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной (выборочной) совокупности вокруг своего среднего значения используют сводную характеристику — среднее квадратическое отклонение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии: . Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема . Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка приведет к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой . Другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Интервальные оценки

Наряду с точечным оцениванием, статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри него находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом количестве наблюдений, когда точечная оценка малонадежна.

Доверительным интервалом для параметра называется такой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью , близкой к единице, можно утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра , то есть . Чем меньше для выбранной вероятности число , тем точнее оценка неизвестного параметра . И, наоборот, если это число велико, то оценка, проведенная с помощью данного интервала, малопригодна для практики. Так как концы доверительного интервала зависят от элементов выборки, то значения и могут изменяться от выборки к выборке. Вероятность принято называть доверительной (надежностью). Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения и при условии, что случайная величина (количественный признак ) распределена нормально, задается выражением

где — наперед заданное число, близкое к единице, а значения функции приведены в таблице прил. 2.

Смысл этого соотношения заключается в следующем: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр , точность оценки . Число , или . По прил. 2 находят аргумент .

Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением и надежность оценки .

Решение. Найдем получим, что . По прил. 2 находим . Найдем точность оценки . Доверительные интервалы будут таковы: . Например, если , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: . Таким образом, значения неизвестного параметра , согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству .

Доверительный интервал для генеральной средней нормального распределения признака при неизвестном значении среднего квадратического отклонения задается выражением

Отсюда следует, что с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр .

Существуют таблицы (прил. 4), пользуясь которыми, по заданным и находят вероятность и, наоборот, по заданным и находят .

Пример 2. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема и исправленное среднеквадратическое отклонение . Оценить неизвестную генеральную среднюю с помощью доверительного интервала с надежностью .

Решение. Найдем . Пользуясь прил. 4 по и находим . Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью неизвестный параметр заключен в доверительном интервале .

Вспомним первый урок по теме (там же внизу оглавление) и основной метод математической статистики. Он состоит в том, что для изучения генеральной совокупности объёма из неё производится выборка, состоящая из элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность (свойство представительности). И на основании исследования этой выборочной совокупности мы с высокой достоверностью можем оценить генеральные характеристики. Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности (о чём пойдёт речь позже) и оценить его важнейшие числовые параметры, такие как генеральная средняя , генеральная дисперсия и среднее квадратическое отклонение .

Очевидно, что для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя позволяет нам оценить генеральную среднюю , причём, оценить её точечно. Почему точечно? Потому что – это отдельно взятое, конкретное значение. Если из той же генеральной совокупности мы будем проводить многократные выборки, то в общем случае у нас будут получаться различные выборочные средние, и каждая из них представляет собой точечную оценку генерального значения .

Аналогично, несмещённой точечной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия , и соответственно, стандартного отклонения – исправленное стандартное отклонение .

…что-то не понятно / недопонятно в терминах? Срочно изучать предыдущие уроки!

Недостаток точечных оценок состоит в том, что при небольшом объёме выборки (как оно часто бывает), мы можем получать выборочные значения, которые далеки от истины.
И в этих случаях логично потребовать, чтобы выборочная характеристика (средняя, дисперсия или какая-то другая) отличалась от генерального значения не более чем на некоторое положительное значение . А точнее, менее.

Значение называется точностью оценки, и озвученное выше требование можно записать с помощью модуля:

А теперь я раскрою модуль:

и сформулирую суть:

На данном уроке будут рассмотрены:

• доверительный интервал для… – заголовок параграфа в поле зрения; – быстрая ссылка для опытных читателей.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней
нормально распределённой генеральной совокупности

…да-да, пример уже 21-й!

Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если выборочная средняя , а объем выборки .

Внимание! Важное замечание: если в задаче указан тип выборки (повторная / бесповторная), то решение будет иметь свои особенности – читайте 10-ю статью об оценках по повторной и бесповторной выборке.

А теперь принципиальный момент непосредственно по задаче:

здесь известно стандартное отклонение генеральной совокупности.

Дело в том, что в похожих задачах оно бывает не известно, и тогда решение будет отличаться!

Но сейчас решение таково, разбираемся в ситуации:

– из генеральной совокупности попугаев проведена выборка в особей и по её результатам найдена выборочная средняя: (средняя масса попугая, например).

Выборочная средняя – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней . Как отмечалось выше, недостаток точечной оценки состоит в том, что она может оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал , которой с вероятностью накроет истинное значение .

Именно так! Здесь будет неверным сказать, что попадёт в этот интервал.

Решаем. Точность оценки рассчитывается по формуле , где – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения , где – функция Лапласа.

В данном случае , следовательно:

И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным макетом (пункт 5*), выясняем, что значению соответствует аргумент .

Таким образом, точность оценки:

и искомый доверительный интервал:

Этот интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение среднего веса попугая. Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.

Ответ: .

И тут возникает светлая мысль уменьшить этот интервал – чтобы получить более точную оценку. Что для этого можно сделать? Давайте посмотрим на формулу .

Очевидно, что чем меньше стандартное отклонение (мера разброса значений), тем короче доверительный интервал. Но это в отдельно взятой задаче ни на что не влияет – ведь нам известно конкретное значение , и изменить его нельзя.

, то есть о том, что этот более узкий интервал накроет генеральную среднюю, мы теперь можем утверждать лишь с вероятностью 68,26%. Что, конечно, неудовлетворительно, для серьёзного статистического исследования.

Поэтому для уменьшения доверительного интервала (при том же значении ) остаётся увеличивать объём выборки . Что совершенно понятно и без формулы , ведь чем больше объём выборки, тем точнее она характеризует генеральную совокупность (при прочих равных условиях). Об объёме мы поговорим на уроке об оценках по повторной и бесповторной выборке, ну а пока продолжаем.

Творческая задача для самостоятельного решения:

По результатам выборочного исследования объектов найдена выборочная средняя .

1) С какой вероятностью можно утверждать, что генеральная средняя отличается от найденного значения менее чем на 3, если известно, что генеральная совокупность распределения нормально с дисперсией 400?

2) Определить доверительный интервал, который с надежностью накроет истинное значение генеральной средней.

Расчётный макет (пункты 5 и 5*) – в помощь. Краткое решение в конце урока.

И тут, наверное, у вас назрели вопросы – а откуда известно, что генеральная совокупность распределена нормально, и тем более, откуда известно её стандартное отклонение?

Обычно эта информация известна из предыдущих исследований. Классический пример – измерительный прибор. Очевидно, что его случайные погрешности удовлетворяют условию теоремы Ляпунова, а значит, распределены нормально. Кроме того, производитель, как правило, тестирует прибор, и указывает в его паспорте стандартное отклонение случайных погрешностей измерений, которое можно принять за .

Но если установить нормальность распределения достаточно просто (в том числе статистическими методами), то с генеральным значением всё сложнее – зачастую вычислить его трудно или невозможно.

В такой ситуации остаётся ориентироваться на исправленное стандартное отклонение , и решение несколько изменится. Ещё одна классическая задача, которая уже встретилась ранее:

В результате 10 независимых измерений некоторой величины , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в таблице:

Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины при помощи доверительного интервала, покрывающего это значение с доверительной вероятностью 0,95.

Не путать со случайными ошибками измерительного прибора! Здесь речь идёт об измерениях и помимо технических, велико влияние других, в частности, человеческого фактора, особенно, если вы используете махрово-аналоговый прибор – что-нибудь вроде механического секундомера или линейки.

Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения величины .

Если генеральное стандартное отклонение не известно

(наш случай), то этот интервал строится по похожей формуле:

, с той поправкой, что коэффициент доверия рассчитывается с помощью распределения Стьюдента. В рамках курса теорвера я не рассказывал об этом распределении, и поэтому ограничусь технической стороной вопроса.

Значение можно найти с помощью таблицы значений распределения Стьюдента, в частности, популярна таблица, специально адаптированная для данной задачи*. И, согласно этой таблице, доверительной вероятности и объёму выборки соответствует коэффициент доверия:

* В стандартной же таблице приводятся значения для так называемого уровня значимости и числа степеней свободы .

Вычислим точность оценки:

Таким образом, искомый доверительный интервал:

– данный интервал с вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины .

Ответ:

Для самостоятельного решения:

На основании испытаний установлено, что в среднем для изготовления шавермы полупроводникового диода требуется секунд, а исправленное среднее квадратическое отклонение составляет секунд. Предположив, что время изготовления диода есть нормальная случайная величина, определить с надежностью доверительный интервал для оценки среднего времени изготовления диода

Краткое решение и ответ в конце урока – расчётный макет (Пункт 10б) – в помощь.

Итак, что главное в разобранных задачах? Главное, обратить внимание, генеральное ли нам дано отклонение или исправленное выборочное . От этого зависит, какую формулу нужно использовать, эту:
, где ,
или эту:
, где отыскивается с помощью распределения Стьюдента.

И быстренько более редкая задача:

Доверительный интервал для оценки
генеральной дисперсии и стандартного отклонения

Этот интервал можно построить несколькими способами, которые я постараюсь уместить буквально в пару экранов. И сейчас последует продолжение той же задачи об измерениях:

По равноточным измерениям найдено исправленное среднее квадратическое отклонение . Предполагая, что результаты измерений распределены нормально, построить доверительный интервал для оценки истинного значения (генерального стандартного отклонения) с надёжностью .

Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не обязательно знать выборочную среднюю (хотя в Примере 23 мы её нашли).

Данный интервал с вероятностью (надёжностью) накрывает истинное значение . И если из всех частей неравенства извлечь корни, то получим соответствующий интервал для оценки генерального стандартного отклонения:

Значения известны, и осталось разобраться с нижним этажом. Во-первых, вычислим:

и теперь, по таблице критических значений распределения или с помощью расчётного макета (Пункт 11б) находим:

Способ второй. Другой, более простой подход состоит в построении симметричного интервала по формуле:
, где значение отыскивается по соответствующей таблице.

Согласно таблице, доверительной вероятности и объёму соответствует значение , таким образом:

В результате мы получили примерно такой же по размаху интервал. Для малых выборок может даже получиться , в таких случаях принимают ещё более грубую интервальную оценку:

Ответ: 1) , 2) .

Как и для распределения Стьюдента, при увеличении распределение хи-квадрат стремится к нормальному, и уже при можно использовать приближенную формулу:
, где коэффициент доверия определяется из знакомого лапласовского соотношения .

Точнее завершаю, и ради исследовательского интереса предлагаю продолжить вам – экзаменационный Пример 20:

В результате обработки экспериментальных данных объёма мы получили следующие выборочные характеристики: .

В предположении о нормальном распределении генеральной совокупности, с надёжностью определить доверительные интервалы:

1) для оценки неизвестной генеральной средней ;

2) для оценки генерального среднего квадратического отклонения двумя способами – с помощью распределения хи-квадрат: и приближённо, по формуле , где .

Краткое решение и примерный образец оформления в конце урока, который подошёл к концу. В следующей небольшой статье я разберу частную, но весьма популярную задачку по этой же теме – Оценка вероятности биномиального распределения, ну а если вам не терпится, то сразу к послеследующей статье.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 22. Решение:

1) По условию, точность оценки равна и дисперсия .
Из формулы найдём коэффициент доверия:

Вычислим соответствующую доверительную вероятность:
– таким образом, с вероятностью 86,64% можно утверждать, что генеральная средняя отличается от менее чем на (т.е. находится в доверительном интервале от 90 до 96)

2) Для доверительной вероятности :
– этому значению функции Лапласа соответствует аргумент: .
Вычислим точность оценки:

Определим доверительный интервал:

– данный интервал с вероятностью 99% накрывает истинное значение .

Пример 24. Решение: доверительный интервал для оценки истинного значения измеряемой величины имеет вид:

Для заданного уровня доверительной вероятности и количества степеней свободы по таблице распределения Стьюдента находим: .

Вычислим точность оценки:
сек.

Таким образом, искомый доверительный интервал:

– данный интервал с вероятностью 99,9% накрывает истинное значение среднего времени изготовления одного диода.

Пример 26. Решение: вычислим исправленное среднеквадратическое отклонение:

1) Определим доверительный интервал , где .
Для уровня доверительной вероятности и объёма выборки по соответствующей таблице найдём .
Вычислим точность оценки:

Таким образом:

– с вероятностью данный интервал накроет генеральное среднее значение .

2) Найдём доверительный интервал для генерального стандартного отклонения .

а) С помощью распределения :

Вычислим и с помощью соответствующей функции Экселя (Пункт 11б) найдём:

Таким образом:

– искомый интервал, накрывающий генеральное значение с вероятностью .

б) Дадим интервальную оценку приближенно, с помощью формулы:

Коэффициент доверия найдём из соотношения . В данном случае:
, и с помощью таблицы или расчётного макета (Пункт 5*), выясняем, что .
Таким образом:

– искомый интервал.

Ответ:
1) ,
2) с помощью распределения и приближённо.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Генеральной совокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительно некоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектов N называется объемом генеральной совокупности.

Выборка –это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Число n вошедших в выборку элементов называется объемом выборки.

Одна из задач математической статистики – оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Статистические оценки бывают точечные (определяемые одним числом) и интервальные (определяемые двумя числами - концами интервала). Точечные оценки дают представление о величине соответствующего параметра, а интервальные характеризуют точность и достоверность оценки.

Для достоверности результатов точечная оценка должна быть несмещенной, состоятельной и эффективной. Этим условиям удовлетворяют следующие оценки:

· для математического ожидания генеральной совокупности –

выборочное среднее ; (24)

· для дисперсии генеральной совокупности –

выборочная дисперсия ; (25)

· для среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности –

стандартное отклонение . (26)

При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при небольшом объеме выборки (чаще всего встречающемся на практике) пользуются интервальными оценками. Интервальная оценка – это оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала или доверительными границами.