Объясните обобщенную формулу бальмера кратко

Обновлено: 02.07.2024

АТОМНАЯ ФИЗИКА

Элементы квантовой физики атомов и молекул

Теория атома водорода по Бору

§1 Модель атома Томсона и Резерфорда

Учение об атомном строении вещества возникло в античные времена. Однако, до конца XIX века атом считался элементарной неделимой первоосновой (“кирпичиком ”) любого вещества.

В середине XIX века экспериментально было доказано, что электрон является одной из основных составных частей любого вещества. (В 1749 году Бенджамин Франклин высказал гипотезу, что электричество представляет собой своеобразную материальную субстанцию. Центральную роль электрической материи он отводил представлению об атомистическом строении электрического флюида. В работах Франклина впервые появляются термины: заряд, разряд, положительный заряд, отрицательный заряд, конденсатор, батарея, частицы электричества.

Иоганн Риттер в 1801 году высказал мысль о дискретной, зернистой структуре электричества.

Вильгельм Вебер в своих работах с 1846 года вводит понятие атома электричества и гипотезу, что его движением вокруг материального ядра можно объяснить тепловые и световые явления.

В 1905 г. Была предложена Дж. Дж. Томсоном (лорд Кельвин) первая модель атома, согласно которой атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиуса ~ 10 -10 м, внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны. Суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален (модель атома Томсона называют “булочкой с изюмом” или “пудинг с изюмом”).

Э. Резерфорд в 1909 г. Провел эксперименты по прохождению α - частиц сквозь тонкие металлические пластинки золота и платины. (α-частицы возникают при радиоактивных превращениях. Заряд α - частицы равен двум зарядам электрона: q_α = 2 e = 2·1,6·10 -19 Кл , масса четырем массам протона : m_α = 4 m_p = 4·1,67·10 -27 кг). α - частицы испускались радием, помещенным внутри свинцовой полости с каналом так, чтобы все частицы, кроме движущихся вдоль канала, поглощались свинцом. Узкий пучок попадал на фольгу из золота перпендикулярно её поверхности. α - частицы, прошедшие сквозь фольгу и рассеянные ею вызывали вспышки (сцинтилляции) на флуоресцирующем экране.

Опыты показали, что в большинстве случаев α – частицы после прохождения через фольгу сохраняли прежнее направление или отклонялись на очень малые углы. Однако некоторые α – частицы (приблизительно одна из 20 000) отклонялись на большие углы, порядка 135 ÷ 150°. Т.к. электроны не могут существенно изменять движение α – частицы ( ), то Э. Резерфорд предположил, что весь положительный заряд атома сосредоточен в его ядре – области занимающей весьма малый объём по сравнению со всем объёмом атома. Остальная часть атома представляет собой облако отрицательно заряженных электронов, полный заряд которых равен положительному заряду ядра. Эта модель атома была предложена Резерфордом в 1911 г. и получила название планетарной модели атома, т.к. она напоминает солнечную систему: в центре системы находится “солнце”- ядро, а вокруг него по орбитам движутся “планеты” – электроны.

Недостатки модели Э. Резерфорда:

а) Электроны в атомной модели не могут быть неподвижными, т.к. под действием силы Кулона они бы притянулись (и ”упали бы”) к ядру. В этой модели существует бесконечно много значений радиусов орбит электрона и соответствующих им значений скорости

Откуда следует, что радиус и скорость может изменяться непрерывно. Следовательно, может испускаться любая порция энергии, и, следовательно, спектр атома должен быть сплошным. В действительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатые спектры.

б) При r ≈10 -10 м v ≈ 10 6 м/с и Согласно электродинамике, электроны, движущиеся с ускорением, должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. И тогда, электрон будет по спирали приближаться к ядру, и через τ ≈ 10 -10 с упасть на него. С другой стороны, частота излучения должна непрерывно изменяться вследствие изменения r , v , T . Следовательно, атом будет давать непрерывный спектр.

Попытки построить модель атома с использованием законов классической механики, электричества и оптики привели к противоречию с экспериментальными данными:

модель - а) неустойчивость атома; б) сплошной спектр;

эксперимент - а) атом устойчив; б) излучает при определенных условиях; в) линейчатый спектр.

§2 Линейчатый спектр атома водорода.

Формула Бальмера - Ридберга

Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания, состоящие из отдельных спектральных линий. Когда свет проходит через газы возникают линейчатые спектры поглощения – каждый атом поглощает те спектральные линии, которые сам может испускать.

Спектр – совокупность гармонических составляющих или длин волн. Например, если волна может быть представлена в виде суперпозиции двух волн с частотами ω₁ и ω₂, то говорят, что спектр имеет две составляющие или две линии с λ₁ и λ₂. Спектры бывают:

а) линейчатые – у атомов и простых молекул разряженных газов; полосатые - - сложные молекулы; сплошные – нагретые твердые тела и жидкости;

б) испускания- при электрическом газовом разряде, при нагреве твердых тел и др.; поглощения – свет проходит через газы, жидкости и твердые тела и при этом каждый атом поглощает те спектральные линии, которые сам может испускать;

в) дисперсионные (призматические) – получаются при разложении белого света на призме; дифракционные – при разложении на дифракционной решетке;

г) атомным – спектр, полученный на атомах (например, разряд в газах); молекулярным (полосатым) – имеет вид полос, образованных близко расположенными спектральными линиями

1) колебательными -> ДИК (дальняя инфракрасная область λ = 0,1 ÷ 1 мм);

2) вращательными - > ИК λ = 1 ÷ 10 мкм;

3) электронно – колебательными (видимая и УФ область спектра λ = 0,3 мкм и выше);

Первым был изучен спектр самого простого элемента – атома водорода. Бальмер в 1885 г. установил, что длины волн известных в то время девяти линий спектра водорода могут быть вычислены по формуле

И. Ридберг (шведский ученый) предложил иную форму записи

- формула Бальмера – Ридберга.

R’ = 10973731 м -1 – постоянная Ридберга (R’ = 1,1·10 7 м -1 ),

т.к. , то можно записать

где R = R ’ c = 3,29·10 15 c -1 – то же постоянная Ридберга.

Формула Бальмера – Ридберга впервые указала на особую роль целых чисел в спектральных закономерностях.

В настоящее время известно большое число спектральных линий водорода, длины волн которых с большой степенью точности удовлетворяют формуле Бальмера – Ридберга. Из формулы Бальмера – Ридберга видно, что спектральные линии, отличающиеся различными значениями n , образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С ростом n спектральные линии серии сближаются друг с другом.

Серия Бальмера расположена в видимой части спектра, поэтому была обнаружена первой.

В начале XX века в спектре атома водорода было обнаружено ещё несколько серий в невидимых частях спектра.

1.Почему через Спасскую башню кремля нельзя было проходить в шапке? 2.Как ездили люди в страну? 3.Что изучает этика? 4.Что такое этикет? Зачем он нужен людям? 5.Что такое манеры? 6.Как ты понимаешь слова китайского мыслителя Конфуция: Все добродетели имеют своим источником этикет?

Серия Бальмера — спектральная серия в спектре атома водорода, названная в честь швейцарского физика Иоганна Бальмера, открывшего эту серию в 1885 году. Данная серия образуется при переходах электронов с возбужденных энергетических уровней на второй в спектре излучения и со второго уровня на все вышележащие уровни при поглощении. Переход с третьего энергетического уровня на второй обозначается греческой буквой α, с 4-го на 2-й — β и т. д. Для обозначения самой серии используется латинская буква H. Таким образом, полное обозначение спектральной линии, возникающей при переходе электрона со третьего уровня на второй — Hα (произносится Бальмер альфа).

Самым простым из всех атомов является атом водорода, и он выступил в свое время в качестве своеобразного тест-объекта для теории Бора. К моменту появления теории атом водорода был тщательно исследован в ходе экспериментов: имелось знание о том, что он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон.

Протон - это частица с положительным зарядом, модуль которого равен модулю заряда электрона, а масса больше массы электрона в 1836 раз.

Серия Бальмера и формула Ридберга

Начало XIX века ознаменовалось открытием линейчатого спектра.

Линейчатый спектр - это дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома водорода.

В последующем закономерности, в соответствии с которыми ведут себя длины волн (или частоты) линейчатого спектра, подробно в количественном отношении исследовал И. Бальмер (в 1885 г.)

Серия Бальмера - совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра.

Позднее подобные серии спектральных линий обнаружились в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 г. И. Ридберг составил запись эмпирической формулы для частот спектральных линий (формула Ридберга):

ν n m = R 1 m 2 - 1 n 2 .

Для серии Бальмера m = 2 , n = 3 , 4 , 5 , . . . . Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1 , n = 2 , 3 , 4 , . . . .

Неизменяемая R в формуле для частот спектральных линий носит название постоянной Ридберга и равна: R = 3 , 29 · 10 15 Г ц .

До того, как Бор сформулировал постулаты, вопросы, каким же образом возникают линейчатые спектры и каков смысл целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и некоторых других атомов), оставались без ответа.

Правило квантования

Бором было сформулировано правило квантования, которое приводило к соотносимым с опытом значениям энергий стационарных состояний атома водорода. Ученый выдвинул гипотезу, что момент импульса электрона, совершающего вращение вокруг ядра, может принимать лишь дискретные значения, кратные постоянной Планка.

Для круговых орбит правило квантования Бора имеет запись:

m e ν r n = n h 2 π ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .

В данном выражении m e является массой электрона, υ - его скоростью, r n обозначает радиус стационарной круговой орбиты.

Правило квантования Бора дает возможность путем вычисления определить радиусы стационарных орбит электрона в атоме водорода и отыскать значения энергий. Скорость электрона, который совершает вращение по круговой орбите некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, записывается в виде соотношения (в соответствии с 2 законом Ньютона):

ν 2 = e 2 4 π ε 0 m e r .

Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1 .

Боровский радиус - это радиус первой орбиты, расположенной ближе всех к ядру электрона атома водорода, определяемый как:

r 1 = α 0 = ε 0 h 2 π m e e 2 = 5 , 29 · 10 - 11 м .

Радиусы последующих орбит получают возрастание пропорционально n 2 .

Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, вращающегося по стационарной круговой орбите радиусом r n , имеет запись:

E n = E k + E p = m e ν 2 2 - e 2 4 π ε 0 r n .

Заметим, что E p 0 , поскольку имеет место действие сил притяжения между электроном и ядром. Подставим в это выражение записи для υ 2 и r n и получаем:

E n = - m e e 4 8 e 0 2 h 2 · 1 n 2 .

В квантовой физике атома целое число n = 1 , 2 , 3 , . . . носит название главного квантового числа.

В соответствии со вторым постулатом Бора: когда электрон переходит с одной стационарной орбиты с энергией E n на другую стационарную орбиту с энергией E m E n , атом испускает квант света с частотой ν n m , равной Δ E n m h :

ν n m = ∆ E n m h = m e e 4 8 ε 0 2 h 3 1 m 2 - 1 n 2 .

Это выражение полностью идентично с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий атома водорода, если за постоянную R взять:

R = m e e 4 8 ε 0 2 h 3 .

Подставим в это выражение числовые значения всех переменных, получим

R = 3 , 29 · 10 15 Г ц .

Полученное значение отлично коррелируется с эмпирическим значением R .

На рисунке 6 . 3 . 1 проиллюстрировано образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких стационарных орбит на более низкие.

Рисунок 6 . 3 . 1 . Стационарные орбиты атома водорода и образование спектральных серий.

Рисунок 6 . 3 . 2 демонстрирует диаграмму энергетических уровней атома водорода с указанием переходов для различных спектральных серий.

Рисунок 6 . 3 . 2 . Диаграмма энергетических уровней атома водорода с указанием переходов для различных спектральных серий. Также имеется указание длин волн для первых пяти линий серии Бальмера.

Тот факт, что теория Бора для атома водорода и результаты эксперимента оказались так отлично согласованы между собой, стал весомым аргументом в пользу верности этой теории. Но при этом попытка использовать теорию применительно к более сложным атомам закончилась провалом. Бору не удалось дать физическую интерпретацию правилу квантования – это позже, спустя десятилетие, сделал де Бройль, опираясь на представления о волновых свойствах частиц. Его предположение заключалось в том, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне, получающей распространение по окружности около ядра атома. Стационарная орбита имеет место тогда, когда волна постоянно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Иначе говоря, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 6 . 3 . 3 ). Такое явление подобно стационарной картине стоячих волн в струне с закрепленными концами.

Рисунок 6 . 3 . 3 . Иллюстрация идеи де Бройля возникновения стоячих волн на стационарной орбите для случая n = 4 .

Согласно дебройлевским идеям, в стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться целое число длин волн λ :

Если подставить сюда формулу длины волны де Бройля λ = h p , где p = m e υ – импульс электрона, то:

n h n e ν = 2 π r n или m e ν r n = n h 2 π .

Итак, правило квантования Бора находится во взаимосвязи с волновыми свойствами электронов.

Вообще можно сказать, что Бор достиг поразительных успехов в попытках объяснить спектральные закономерности. Появилось утверждение, что атомы являются квантовыми системами, а энергетические уровни стационарных состояний атомов дискретны. Практически одномоментно с возникновением боровской теории экспериментально было доказано, что существуют стационарные состояния атома и квантование энергии. Дискретность энергетических состояний атома опытным путем продемонстрировали в 1913 г. Д. Франк и Г. Герц, исследуя столкновение электронов с атомами ртути. Выяснилось, что при энергии электронов менее 4 , 9 э В их столкновение с атомами ртути протекает согласно закону абсолютно упругого удара. А, когда энергия электронов равна 4 , 9 э В , столкновение с атомами ртути будет иметь черты неупругого удара. Таким образом, выходит, что, столкнувшись с неподвижными атомами ртути, электроны лишаются всей своей кинетической энергии, что, в свою очередь, означает факт поглощения атомами ртути энергии электрона и перевода электронов из основного состояния в первое возбужденное состояние:

E 2 - E 1 = 4 , 9 э В .

В соответствии с концепцией Бора, когда будет происходить обратный самопроизвольный переход атома, ртуть будет испускать кванты с частотой

ν = E 2 - E 1 h = 1 , 2 · 10 15 Г ц .

Линия спектра с подобной частотой в самом деле нашлась в ультрафиолетовой части спектра излучения атомов ртути.

Утверждения о дискретных состояниях находились в противоречии с классической физикой, в связи с чем также возник закономерный вопрос: не опровергает ли квантовая теория законы классической физической теории.

Квантовая физика отнюдь не стремилась отменить фундаментальные основы, такие как законы сохранения энергии, импульса, электрического разряда и подобное. По сформулированному Бором принципу соответствия квантовая физика вмещает в себя классические представления, и при некоторых условиях можно заметить планомерный переход от квантовых представлений к классическим. Энергетический спектр атома водорода как раз дает нам такой пример (рис. 6 . 3 . 2 ): при больших квантовых числах n ≫ 1 дискретные уровни постепенно становятся ближе, что задает плавный переход в область непрерывного спектра, вытекающего из классической физики.

Квантовые числа

Видение Бора о том, что существуют определенные орбиты для движения электронов в атоме, оказалось очень условным. В действительности, траектория движения электрона в атоме почти не имеет общего с движением планет или спутников. Физический смысл есть лишь в возможности обнаружить электрон в том или ином месте, и эта вероятность описывается квадратом модуля волновой функции | Ψ | 2 . Волновая функция Ψ служит решением базового уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. Выяснилось, что состояние электрона в атоме описывается целым набором квантовых чисел.

Основное квантовое число n - квантовое число, задающее квантование энергии атома.

Орбитальное квантовое число l – число, применяемое для квантования момента импульса.

Магнитное квантовое число m – число, применяемое для квантования проекции момента импульса.

Квантовое число m введено в связи с тем, что проекция момента импульса на любое выделенное в пространстве направление (к примеру, направление вектора B → магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений.

s -состояния ( 1 s , 2 s , . . . , n s , . . . ) – это состояния, при которых орбитальное квантовое число l равно нулю.

Описываются s -состояния сферически симметричными распределениями вероятности.

Когда l > 0 сферическая симметрия электронного облака нарушается.

p -состояния - это состояния при l = 1 .

d -состояния – это состояния при l = 2 и т.д.

Рис. 6 . 3 . 4 иллюстрирует кривые распределения вероятности ρ ( r ) = 4 π r 2 | Ψ | 2 обнаружения электрона в атоме водорода на разных расстояниях от ядра в состояниях 1 s и 2 s .

Рисунок 6 . 3 . 4 . Распределение вероятности обнаружения электрона в атоме водорода в состояниях 1 s и 2 s . r 1 = 5 , 29 · 10 – 11 м – радиус первой орбиты Бора.

На рисунке 6 . 3 . 4 наглядно продемонстрировано, что электрон в состоянии 1 s (основное состояние атома водорода) имеет возможность быть обнаруженным на различных расстояниях от ядра. С самой высокой вероятностью электрон обнаружится на расстоянии, равном радиусу r 1 первой боровской орбиты. Вероятность нахождения электрона в состоянии 2 s достигает максимума на расстоянии r = 4 r 1 от ядра. И в том, и в том случае атом водорода возможно представить, как сферически симметричное электронное облако, в центре которого расположено ядро.

Се́рия Ба́льмера — спектральная серия, наблюдающаяся для атомов водорода [1] .

Названа в честь швейцарского физика Иоганна Бальмера, описавшего в 1885 году эту серию формулой (см. ниже Формула Бальмера).

Содержание

Образование серии Бальмера

Серия была обнаружена в спектре Солнца [2] . Благодаря распространённости водорода во Вселенной, серия Бальмера наблюдается в спектрах большинства космических объектов.

Данная серия образуется при переходах электронов с возбужденных энергетических уровней c главным квантовым числом n >2 на второй уровень ( n =2) в спектре излучения и со второго уровня на все вышележащие уровни при поглощении.

Переход с третьего энергетического уровня на второй обозначается греческой буквой α , с 4-го на 2-й — β и т. д.. Для обозначения самой серии используется латинская буква H. Таким образом, полное обозначение спектральной линии, возникающей при переходе электрона с третьего уровня на второй — H _α (произносится Бальмер альфа).

Видимые линии излучения водорода в серии Бальмера. H _α — красная линия справа, имеющая длину волны 656,3 нм .
Самая левая линия — H _ε , соответствует излучению уже в ультрафиолетовой области спектра на длине волны 397,0 нм .

Формула Бальмера

Для описания длин волн λ четырёх видимых линий спектра водорода И. Бальмер предложил формулу

$<\lambda> = b \frac,$

где n = 3, 4, 5, 6; b = 3645,6 Å.

В настоящее время для серии Бальмера используют частный случай формулы Ридберга:

$\frac <\lambda>= R \left( \frac - \frac \right),$

где λ — длина волны,

R ≈ 1,0974·10 7 м −1 — постоянная Ридберга, n — главное квантовое число исходного уровня — натуральное число, большее или равное 3.

Первые 4 линии серии находятся в видимом диапазоне, остальные — в ультрафиолетовом:

Обозначение	H _α	H _β	H _γ	H _δ	H _ε	H _ζ	H _η	Граница серии
n	3	4	5	6	7	8	9	∞
Длина волны, нм	656,3	486,1	434,1	410,2	397,0	388,9	383,5	364,6

Граница серии соответствует захвату протоном свободного электрона с нулевой начальной энергией на второй (то есть первый возбуждённый) уровень. За границей в сторону более коротких длин волн простирается бальмеровский континуум — непрерывная (не линейчатая) часть спектра, соответствующая захватам протоном свободного электрона с произвольной положительной начальной энергией на второй уровень атома водорода.

Кроме серии Бальмера, существуют серии линий излучения, лежащие целиком (за исключением континуума серии) в инфракрасной области спектра (серии Пашена, Брэкета, Пфунда и т. д., соответствующие переходам на 3-й, 4-й, 5-й… энергетические уровни), а также лежащая целиком в ультрафиолетовой области серия Лаймана, соответствующая переходам на основной уровень атома водорода.

История создания формулы Бальмера и её значение

Иоган Бальмер не был спектрографистом. Его заслуга состоит в том, что он описал известный к тому времени спектр атомов водорода простой формулой:

$<\lambda> = b \frac,$

где n = 3, 4, 5, 6; b = 3645,6 Å.

Будучи убежденным последователем пифагорейцев, Бальмер считал, что тайну единства всех наблюдаемых явлений следует искать в различных комбинациях целых чисел [3] . Существует версия, согласно которой Бальмер однажды похвастался, что может найти формулу для последовательности любых четырёх чисел, и его друг на спор дал ему длины волн красной, зелёной, синей и фиолетовой линий водородного спектра [4] .

В 1886 году К. Рунге предложил использовать в формуле Бальмера вместо длины волны λ её частоту ν = c/λ:

$<\nu> = \frac \left ( \frac - \frac \right ),$

где k = 2; n = 3, 4, 5, 6; b = 3645,6 Ǻ.

А в 1890 году Й. Ридберг предложил записывать формулу в том виде, который она сохранила до сих пор:

$<\nu> = c R \left ( \frac - \frac \right ),$
.

В 1908 году В. Ритц выразил частоту волны в виде разницы двух термов:

$<\nu> = \frac - \frac = T_k - T_n,$

Так предложенная Бальмером формула, описывающая четыре линии видимого спектра излучения водорода, получила развитие до принципов, позволяющих описать спектр любого химического элемента.

Безрезультатные попытки объяснить физический смысл формулы Бальмера продолжались почти 28 лет. В начале 1913 года Нильс Бор работал над тем, чтобы устранить противоречия между классическими законами физики и предложенной Резерфордом планетарной моделью атома. Спектрографист Ханс Хансен посоветовал Бору обратить внимание на спектральные формулы. Впоследствии Бор неоднократно говорил:

Как только я увидел формулу Бальмера, все немедленно прояснилось передо мной [4] [5] .

Целые числа в формуле оказались разрешенными орбитами, а спектральные линии следствием квантовых переходов электронов с одной орбиты на другую [6] .

Где T(m) и T(n) некоторые функции, зависящие от номера m,n и называются спектральные термы. => Они представляют собой функции от целых чисел m и n и определяют границы частот для соответствующих спектр.серий

Роль и значение открытия Ридберга, понятие о спектральных термах и их физический смысл.

Первый начал оперировать волновым числом. Показал, что расположение линий в атомных эмиссионных спектрах может быть описано формулами, аналогичными формуле И. Бальмерадля спектра водорода. Ввёл универсальную константу R (постоянная Ридберга), установил связи между различными сериями, образующими спектр элемента, дал формулу, описывающую любую спектральную линию.

— длина волны электромагнитного излучения, испущенного в вакуум,

и — целые числа, такие, что .

Принимая равным 1, и полагая, что может принимать целые значения от 2 до бесконечности, получаем спектральные линии, известные как серия Лаймана, нижняя граница длин волн которых стремится к 91 нм.

Спектральный терм - конфигурация (состояние) электронной подсистемы, определяющая энергетический уровень. Иногда под словом терм понимают собственно энергию данного уровня. Переходы между термами определяют спектры испускания и поглощения электромагнитного излучения.

Значение гипотезы Планка в теории Бора.

Бор применил квантовую гипотезу Планка к модели Резерфорда и доказал, что если атом может изменять свою энергию только прерывно, атом существует лишь в дискретных стационарных состояниях. Низшее из этих состояний и есть нормальное состояние для атома. H = 6,626 *

Роль и значение открытия Ридберга, понятие о спектральных термах и их физический смысл.

— длина волны электромагнитного излучения, испущенного в вакуум,

и — целые числа, такие, что .

Значение гипотезы Планка в теории Бора.

Читайте также: