Модель джелинского моранды кратко

Обновлено: 05.07.2024

Модель Джелински — Морингды (Z.Jelinski, Р.Moranda) предложена в 1996 г. Иначе данная модель называется моделью роста надежности.

2.1.2. Задачи по применению модели Джелински — Моранды

Определение количества ошибок до начала тестирования

В результате тестирования программы серией из четырех случайно выбранных из набора тестов обнаружено 2 ошибки. Ошибки обнаружены первым и третьим тестами. Требуется определить количество ошибокN в программе до начала тестирования.

Решение задачи

Модель надежности Джелински — Моранды представляет собой систему уравнений (2.1.3). Важнейшим условием применимости этой модели на практике является соответствие результатов тестирования принятому допущению об уменьшении интенсивности ошибок после устранения очередной ошибки.

Свидетельством подтверждения этого соответствия должен быть факт увеличения интервалов времени (количества тестов) для обнаружения каждой последующей ошибки.

Проанализируем исходные данные поставленной задачи:

• общее количество обнаруженных ошибок n = 2;

• интервал продолжительности обнаружения первой ошибки t₁ = 1, так как ошибка обнаружена при проведении одного (причем первого) теста;

• интервал продолжительности обнаружения второй ошибки t₂ = 2 (ошибка обнаружена при проведении третьего теста);

• интервал обнаружения второй ошибки больше интервала обнаружения первой ошибки (t₂ >t₁), что не противоречит условию применимости модели Джелински — Моранды.

Таким образом, можно записать:

Полученное уравнение необходимо решить относительно переменной N.

В результате математических преобразований полученное уравнение приобретает следующий вид:

из чего следует N= 2.

Таким образом, в соответствии с моделью Джелински — Моранды до начала тестирования в программе содержалось две ошибки.

Определение количества ошибок в программе, не устраненных после проведения тестирования

В результате тестирования программы серией из четырех случайно выбранных из набора тестов обнаружено 2 ошибки. Ошибки обнаружены первым и четвертым тестами. Все ошибки исправлены сразу после обнаружения. В предположении, что исправление ошибок не повлекло появление новых ошибок, требуется оценить количество оставшихся в программе ошибок. Результаты расчетов округлять в большую или меньшую сторону по стандартным правилам (например, если округлить число 2,3, то получим 2, а если округлить 2,5 или 2,6, то после округления получим 3).

Решение задачи

Проанализируем исходные данные поставленной задачи в соответствии с моделью Джелински — Моранды;

• общее количество обнаруженных ошибок n = 2;

• интервал продолжительности обнаружения второй ошибки t₂ = 3, так как ошибка обнаружена при проведении четвертого теста;

• интервал обнаружения второй ошибки больше интервала обнаружения первой ошибки (t₂>t₁), что не противоречит условию применимости модели Джелински — Моранды.

Полученное уравнение необходимо решить относительно переменной N.

В результате математических преобразований полученное уравнение приобретает следующий вид:

из чего следует N= 1,5 = 2.

Таким образом, в соответствии с моделью Джелински — Моранды до начала тестирования в программе содержалось две ошибки, и две ошибки было обнаружено в процессе тестирования. Следовательно, в программе осталось N — n = 0 необнаруженных ошибок.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Модель Джелинского - Моранды относится к динамическим моделям непрерывного времени. Исходные данные для использования этой модели собираются в процессе тестирования ПО. При этом фиксируется время до очередного отказа. Основное положение, на котором базируется модель, заключается в том, что значение интервалов времени тестирования между обнаружением двух ошибок имеет экспоненциальное распределение с частотой ошибок (или интенсивностью отказов), пропорциональной числу еще не выявленных ошибок. Каждая обнаруженная ошибка устраняется, число оставшихся ошибок уменьшается на единицу.

Функция плотности распределения времени обнаружения 1-й ошибки, отсчитываемого от момента выявления -й ошибки, имеет вид:

где − частота отказов (интенсивность отказов), которая пропорциональна числу еще не выявленных ошибок в программе.

где N − число ошибок, первоначально присутствующих в программе; С − коэффициент пропорциональности.

Наиболее вероятные значения величин и (оценка максимального правдоподобия) можно определить на основе данных, полученных при тестировании. Для этого фиксируют время выполнения программы до очередного отказа

Значения и предлагается получить, решив систему уравнений:

Поскольку полученные значения и − вероятностные и точность их зависит от количества интервалов тестирования (или количества ошибок), найденных к моменту оценки надежности, асимптотические оценки дисперсий авторы предлагают определить с помощью следующих формул:

Чтобы получить числовые значения , нужно подставить вместо N и С их возможные значения и . Рассчитав К значений по формуле (11) и подставив их в формулу (10), можно определить вероятность безотказной работы на различных временных интервалах. На основе полученных расчетных данных строится график зависимости вероятности безотказной работы от времени.

Модель Шика – Волвертона

Модификация модели Джелинского–Моранды для случая возникновения на рассматриваемом интервале более одной ошибки предложена Волвертоном и Шиком. При этом считается, что исправление ошибок производится лишь после истечения интервала времени, на котором они возникли. В основе модели Шика–Волвертона лежит предположение, согласно которому частота ошибок пропорциональна не только количеству ошибок в программах, но и времени тестирования, т.е. вероятность обнаружения ошибок с течением времени возрастает. Частота ошибок (интенсивность обнаружения ошибок) предполагается постоянной в течение интервала времени и пропорциональна числу ошибок, оставшихся в программе по истечении -го интервала; но она пропорциональна также и суммарному времени, уже затраченному на тестирование (включая среднее время выполнения программы в текущем интервале):

В данной модели наблюдаемым событием является число ошибок, обнаруживаемых в заданном временном интервале, а не время ожидания каждой ошибки, как это было для модели Джелинского - Моранды. В связи с этим модель относят к группе дискретных динамических моделей.

Модель Мусса

Модель Муса относят к динамическим моделям непрерывного времени. Это значит, что в процессе тестирования фиксируется время выполнения программы (тестового прогона) до очередного отказа. Но считается, что не всякая ошибка ПО может вызвать отказ, поэтому допускается обнаружение более одной ошибки при выполнении программы до возникновения очередного отказа.

Считается, что на протяжении всего жизненного цикла ПО может произойти Мо отказов и при этом будут выявлены все No ошибки, которые присутствовали в ПО до начала тестирования.

Общее число отказов Мо связано с первоначальным числом ошибок No соотношением

где В - коэффициент уменьшения числа ошибок.

В момент, когда проводится оценка надежности, после тестирования, на которое потрачено определенное время t , зафиксировано т отказов и выявлено п ошибок.

Тогда из соотношения

можно определить коэффициент уменьшения числа ошибок В как число, характеризующее количество устраненных ошибок, приходящихся на один отказ.

В модели Муса различают два вида времени:

1) суммарное время функционирования т, которое учитывает чистое время тестирования до контрольного момента, когда проводится оценка надежности;

2) оперативное время − время выполнения программы, планируемое от контрольного момента и далее при условии, что дальнейшего устранения ошибок не будет (время безотказной работы в процессе эксплуатации).

Для суммарного времени функционирования х предполагается:

• интенсивность отказов пропорциональна числу неустраненных ошибок;

• скорость изменения числа устраненных ошибок, измеряемая относительно суммарного времени функционирования, пропорциональна интенсивности отказов.

Один из основных показателей надежности, который рассчитывается по модели Муса, − средняя наработка на отказ. Этот показатель определяется как математическое ожидание временного интервала между последовательными отказами и связан с надежностью:

где − время работы до отказа.

Если интенсивность отказов постоянна (т.е. когда длительность интервалов между последовательными отказами имеет экспоненциальное распределение), то средняя наработка на отказ обратно пропорциональна интенсивности отказов.

где N − число ошибок, первоначально присутствующих в программе; С − коэффициент пропорциональности.

Значения и предлагается получить, решив систему уравнений:

Модель Шика – Волвертона

Модель Мусса

Общее число отказов Мо связано с первоначальным числом ошибок No соотношением

где В - коэффициент уменьшения числа ошибок.

Тогда из соотношения

В модели Муса различают два вида времени:

Для суммарного времени функционирования х предполагается:

• интенсивность отказов пропорциональна числу неустраненных ошибок;

где − время работы до отказа.

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

· интенсивность отказов программы пропорциональна числу остаточных ошибок.

Предполагается, что до начала тестирования (т.е. в момент t=0) имеется M ошибок. В течение времени тестирования τ обнаруживается ε₁(t) ошибок в расчете на одну команду в машинном языке.

Тогда удельное число ошибок на одну машинную команду, оставшихся в системе после времени тестирования τ, равно:

где I - общее число машинных команд, которое предполагается постоянным в рамках этапа тестирования.

Предполагается, что значение функции количества ошибок Z(t) пропорционально числу ошибок, оставшихся в программе после израсходованного на тестирование времени τ.

где С - некоторая постоянная, t - время работы программы без отказов.

Тогда, если время работы программы без отказа t отсчитывается от точки t = 0, а τ остается фиксированным, функция надежности, или вероятность безотказной работы на интервале от 0 до t, равна

Нам необходимо найти начальное значение ошибок M и коэффициент пропорциональности С. Эти неизвестные оцениваются путем пропуска функционального теста в двух точках переменной оси отладки t_a и t_в, выбранных так, что ε₁(t_a)

где A_i - количество ошибок на i - ом прогоне.

Имея данные для двух различных моментов тестирования t_a и t_в, можно сопоставить уравнения (23) при τ_a и τ_b:

Из соотношений (26) и (27) найдем неизвестные параметры С и М:

Получив неизвестные M * и C * , можно рассчитать надежность программы по формуле (22).

Программа содержит 2 000 командных строк, из них, до начала эксплуатации (после периода отладки), 15 командных строк содержат ошибки. После 20 дней работы обнаружена 1 ошибка. Найти среднее время безошибочной работы программы и интенсивность отказов программы при коэффициенте пропорциональности, равном 0,7.

I=2000

M=15

t=20

C=0,7

P(t)=exp(-0,7*(15/2000-0,0005)*20))=0,90661- функция надежност;

=0,0049 – интенсивность появления ошибок.

На условиях примера 3 определить вероятность безошибочной работы программы в течение 90 суток.

P(t)=exp(-0,7*(15/2000-0,0005)*90))=0,643393.

2.5. Марковские и пуассоновские модели надежности

Марковский процесс характеризуется дискретным временем и конечным множеством состояний. Временной параметр пробегает неотрицательные числовые значения, а процесс (цепочка) определяется набором вероятностей перехода , т.е. вероятностью перейти на -шаге из состояния в состояние . Процесс называется однородным, если он не зависит от . В моделях, базирующихся на процессе Маркова, предполагается, что количество дефектов, обнаруженных в ПС, в любой момент времени зависит от поведения системы и представляется в виде стационарной цепи Маркова. При этом количество дефектов конечное, но является неизвестной величиной, которая задается для модели в виде константы. Интенсивность отказов в ПС или скорость прохода по цепи зависит лишь от количества дефектов, которые остались в ПС. К этой группе моделей относятся: Джелински- Моранды, Шика-Вулвертона, Шантикумера и др.

Ниже рассматриваются некоторые модели надежности, которые обеспечивают рост надежности ПО, находят широкое применение на этапе тестирования и описывают процесс обнаружения отказов при следующих предположениях:

все ошибки в ПС не зависят друг от друга с точки зрения локализации отказов;
интенсивность отказов пропорциональна текущему числу ошибок в ПС (убывает при тестировании программного обеспечения);
вероятность локализации отказов остается постоянной;
локализованные ошибки устраняются до того, как тестирование будет продолжено;
при устранении ошибок новые ошибки не вносятся.

Приведем основные обозначения величин при описании моделей роста надежности:

- число обнаруженных отказов ПО за время тестирования;
- интервалы времени между отказами и , при ;
- моменты времени отказов (длительность тестирования до -отказа), при ;
- продолжительность тестирования ПО (время, для которого определяется надежность);
- оценка числа ошибок в ПО в начале тестирования;
- оценка числа прогнозированных ошибок;
- оценка среднего времени до следующего отказа;
- оценка среднего времени до завершения тестирования;
- оценка дисперсии;
- функция надежности ПО;
- функция риска в момент времени между и -отказами;
- коэффициент пропорциональности;
- частота обнаружения ошибок.

Далее рассматриваются несколько моделей роста надежности, основанные на этих предположениях и использовании результатов тестирования программ в части отказов, времени между ними и др.

Модель Джелинского-Моранды.

В этой модели используются исходные данные, приведенные выше, а также:

- число обнаруженных отказов за время тестирования;

- интервалы времени между отказами;

Функция риска в момент времени расположена между и имеет вид:

Эта функция считается ступенчатой кусочнопостоянной функцией с постоянным коэффициентом пропорциональности и величиной ступени - . Оценка параметров и производится с помощью системы уравнений:

При этом суммарное время тестирования вычисляется так:

Выходные показатели для оценки надежности относительно указанного времени включают:

число оставшихся ошибок ;
среднее время до текущего отказа ;
среднее время до завершения тестирования и его дисперсию

Функция надежности вычисляется по формуле:

при и числе ошибок, найденных и исправленных на каждом интервале тестирования, равным единице.

Модель Шика-Вулвертона.

Модель используется тогда, когда интенсивность отказов пропорциональна не только текущему числу ошибок, но и времени, прошедшему с момента последнего отказа. Исходные данные для этой модели аналогичны выше рассмотренной модели Джелински-Моранды:

- число обнаруженных отказов за время тестирования,
- интервалы времени между отказами,
- продолжительность тестирования.

Функции риска в момент времени между и отказами определяются следующим образом:

Эта функция является линейной внутри каждого интервала времени между отказами, возрастает с меньшим углом наклона. Оценка c и N вычисляется из системы уравнений:

К выходным показателям надежности относительно продолжительности относятся:

число оставшихся ошибок ;
среднее время до следующего отказа MTт = (р / (2 (N - m) c) )1/2;
среднее время до завершения тестирования и его дисперсия

Функция надежности вычисляется по формуле:

Модели пуассоновского типа базируются на выявлении отказов и моделируются неоднородным процессом, который задает - неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности , что соответствует общему количеству отказов ПС за время его использования .

Модель Гоело-Окумото.

В основе этой модели лежит описание процесса обнаружения ошибок с помощью неоднородного пуассоновского процесса, ее можно рассматривать как модель экспоненциального роста. В этой модели интенсивность отказов также зависит от времени. Кроме того, в ней количество выявленных ошибок трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и других условных факторов.

Исходные данные этой модели:

- число обнаруженных отказов за время тестирования;
- интервалы времени между отказами;
- продолжительность тестирования.

Функция среднего числа отказов, обнаруженных к моменту , имеет вид

где - интенсивность обнаружения отказов и показатель роста надежности .

Функция интенсивности в зависимости от времени работы до отказа равна

Оценка и получаются из решения уравнений:

Выходные показатели надежности относительно времени определяют:

1. среднее число ошибок, которые были обнаружены в интервале , по формуле ,

2. функцию надежности

В этой модели обнаружение ошибки трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и операционной среды.

В других моделях количество обнаруженных ошибок рассматривается как константа. В моделях роста надежности исходной информацией для расчета надежности являются интервалы времени между отказами тестируемой программы, число отказов и время, для которого определяется надежность программы при отказе. На основании этой информации по моделям определяются показатели надежности вида:

вероятность безотказной работы;
среднее время до следующего отказа;
число необнаруженных отказов (ошибок);
среднее время дополнительного тестирования программы.

Модель анализа результатов прогона тестов использует в своих расчетах общее число экспериментов тестирования и число отказов. Эта модель определяет только вероятность безотказной работы программы и выбрана для случаев, когда предыдущие модели нельзя использовать (мало данных, некорректность вычислений). Формула определения вероятности безотказной работы по числу проведенных экспериментов имеет вид

где - число ошибочных экспериментов, - число проведенных экспериментов для проверки работы ПС.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что модели надежности ПС основаны на времени функционирования и/или количестве отказов (ошибок), полученных в программах в процессе их тестирования или эксплуатации. Модели надежности учитывают случайный марковский и пуассоновский характер соответственно процессов обнаружения ошибок в программах, а также характер и интенсивность отказов.

В результате проделанной работы можно сделать вывод, что:

1. качество программного обеспечения – это совокупность характеристик ПО, относящихся к его способности удовлетворять установленные и предполагаемые потребности;

2. существует большое количество метрик и моделей для определения качества программного обеспечения. Каждая имеет свои уникальные характеристики и определенное назначение;

3. тщательно проведенный метрический анализ качества в соответствии с целями разработки создает основу для корректного планирования и контроля затрат на качество для достижения требуемых показателей и эффективности использования ресурсов.

Для того чтобы поддерживать конкурентоспособность своей организации разработчики ПО должны применять все более эффективные, рентабельные методы, технологии, инструментальные средства, способствующие постоянному повышению качества и более совершенному удовлетворению потребителей ПО.

Марковский процесс характеризуется дискретным временем и конечным множеством состояний. Временной параметр пробегает неотрицательные числовые значения, а процесс (цепочка) определяется набором вероятностей перехода (n)" />
, т.е. вероятностью перейти на -шаге из состояния в состояние . Процесс называется однородным, если он не зависит от . В моделях, базирующихся на процессе Маркова, предполагается, что количество дефектов, обнаруженных в ПС, в любой момент времени зависит от поведения системы и представляется в виде стационарной цепи Маркова [10.5, 10.7, 10.10]. При этом количество дефектов конечное, но является неизвестной величиной, которая задается для модели в виде константы. Интенсивность отказов в ПС или скорость прохода по цепи зависит лишь от количества дефектов, которые остались в ПС. К этой группе моделей относятся: Джелински- Моранды [10.20], Шика-Вулвертона, Шантикумера [10.21] и др.

Ниже рассматриваются некоторые модели надежности, которые обеспечивают рост надежности ПО (модели роста надежности [10.7, 10.10]), находят широкое применение на этапе тестирования и описывают процесс обнаружения отказов при следующих предположениях:

все ошибки в ПС не зависят друг от друга с точки зрения локализации отказов;
интенсивность отказов пропорциональна текущему числу ошибок в ПС (убывает при тестировании программного обеспечения);
вероятность локализации отказов остается постоянной;
локализованные ошибки устраняются до того, как тестирование будет продолжено;
при устранении ошибок новые ошибки не вносятся.

Приведем основные обозначения величин при описании моделей роста надежности:

Модель Джелинского-Моранды. В этой модели используются исходные данные, приведенные выше, а также:

- число обнаруженных отказов за время тестирования;

- интервалы времени между отказами;

- продолжительность тестирования.

Функция риска (t)" />
в момент времени расположена между и имеет вид:

где ;

$\begin \sum_^m>> - \sum_^m =0 ,\\ \frac - NT - \sum_^m> = 0 \end$

$T = \sum_<i=1> При этом суммарное время тестирования вычисляется так: ^m$

Выходные показатели для оценки надежности относительно указанного времени включают:

$\begin E(T_p)= \sum_^>,\\ Var(T_p)= \sum_^<(i c)^2>>. \end$

При этом функция надежности вычисляется по формуле:

при и числе ошибок, найденных и исправленных на каждом интервале тестирования, равным единице.

Модель Шика-Вулвертона. Модель используется тогда, когда интенсивность отказов пропорциональна не только текущему числу ошибок, но и времени, прошедшему с момента последнего отказа. Исходные данные для этой модели аналогичны выше рассмотренной модели Джелински-Моранды:

Функции риска (t)" />
в момент времени между и отказами определяются следующим образом:

К выходным показателям надежности относительно продолжительности относятся:

число оставшихся ошибок ;
среднее время до следующего отказа MTт = (р / (2 (N - m) c) )1/2;
среднее время до завершения тестирования и его дисперсия

$\begin E(T_p)= \sum_^<\sqrt<\cfrac<\pi>>>\;,\\ Var(T_p)= \sum_^<\cfrac<2-\pi/2>>. \end$

Функция надежности вычисляется по формуле:

$R_<T> (t) = exp (- \frac<(N - m) ct^>), t \ge 0.$

Модели пуассоновского типа базируются на выявлении отказов и моделируются неоднородным процессом, который задает " />
- неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности , что соответствует общему количеству отказов ПС за время его использования .

Модель Гоело-Окумото. В основе этой модели лежит описание процесса обнаружения ошибок с помощью неоднородного пуассоновского процесса, ее можно рассматривать как модель экспоненциального роста. В этой модели интенсивность отказов также зависит от времени. Кроме того, в ней количество выявленных ошибок трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и других условных факторов.

Исходные данные этой модели:

Функция среднего числа отказов, обнаруженных к моменту , имеет вид

где - интенсивность обнаружения отказов и показатель роста надежности .

$\lambda(t)$

Функция интенсивности в зависимости от времени работы до отказа равна

$\lambda(t) = Nb^<-b> , t \ge 0.$

Оценка и получаются из решения уравнений:

$\begin m/N -1+ \exp\ = 0 \\ m/b - \sum_^m\ - N_m \exp\ = 0. \end$

Выходные показатели надежности относительно времени определяют:

$R_<T> (t) = exp(N (e^ - e^)), t \ge 0.$

В других моделях количество обнаруженных ошибок рассматривается как константа.В моделях роста надежности исходной информацией для расчета надежности являются интервалы времени между отказами тестируемой программы, число отказов и время, для которого определяется надежность программы при отказе. На основании этой информации по моделям определяются показатели надежности вида:

вероятность безотказной работы;
среднее время до следующего отказа;
число необнаруженных отказов (ошибок);
среднее время дополнительного тестирования программы.

где - число ошибочных экспериментов, - число проведенных экспериментов для проверки работы ПС.

Читайте также: