Математика в древней греции кратко

Обновлено: 30.06.2024

Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н.э. и V веком н.э.

Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики".

Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже - механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи.

Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков.

Глава I. Школа пифагорейцев

1.1 Развитие математики как теории

Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571-479 гг. до н.э.).

Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.

Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.

Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников - тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).

Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

1.2 Поворотный пункт в истории античной математики

Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.

По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.

Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного.

В конце V века до н.э. Феодор из Кирены установил, что несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной не является исключением. Он показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6, …, 17 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. Пифагор учил, что сущность всех вещей есть число; число - сами вещи; гармония чисел - гармония самих вещей. Аристотель говорил, что у пифагорейцев числа принимались за начало и в качестве материи и в качестве [выражения для] их состояния и свойств.

Открытие несоизмеримых величин сначала “вызвало удивление" (Аристотель). Это естественно: до открытия Пифагора древнегреческие математики считали, что любые два отрезка имеют общую меру, хотя, может быть, и очень малую. Когда, однако, пифагорейцы убедились, что доказательство существования несоизмеримых величин безупречно, они поняли, что их философия оказалась в затруднительном положении.

Пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа. Следуя своей философской установке, они, по сути дела, считали, что каждая вещь может быть охарактеризована положительным целым или дробным числом, которое “выражает сущность” этой вещи. На деле это означало, что геометрия строилась на базе арифметики. Открытие несоизмеримых отрезков знаменовало, поэтому начало кризиса пифагорейской философии и методологических основ развиваемой ими системы математики. После обнаружения существования несоизмеримых величин перед пифагорейцами открылись две возможности. Можно было попытаться расширить понятие числа за счет присоединения к рациональным числам чисел иррациональных, охарактеризовать несоизмеримые величины числами иной природы и таким образом восстановить силу философского принципа “все есть число".

Однако этот путь столь естественный и простой с современной точки зрения, для пифагорейцев был закрыт. В этом случае надо было построить достаточно строгую арифметическую теорию действительных чисел, что при уровне пифагорейской математики было делом невыполнимым. Поэтому надо было идти по другому пути - по пути определенного пересмотра исходных принципов, например, принять, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем дробные и целые числа, и пытаться строить всю математику не на арифметической, а на геометрической основе. Именно этот второй путь и избрали пифагорейцы, а вслед за ними большинство древнегреческих математиков, вплоть до Архимеда и Аполлония.

Глава II. Проблема бесконечности

В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610-546 гг. до н.э.), преемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н.э. - расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи - это и есть бесконечность.

Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у Анаксигора (около 500-428 гг. до н. э). В сочинении “О природе" Анаксигор писал: вещи бесконечно делимы, нет последней ступени делимости материи; с другой стороны, всегда имеется нечто большее, что является большим.

Бесконечность для Анаксигора - потенциальная; она существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин - величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

Демокрит (около 560-570 гг. до н.э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней).

Поскольку каждый роговидный угол “меньше" любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие актуальной бесконечности.

Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике.

Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона

Элейского (около 490-430 гг. до н.э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение - это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.

Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени дошло только 9.

Заслуга Зенона Элейского в развитии философии и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В.И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий.

Однако, Зенон последнюю задачу не решил, не решили её и другие ученые древней Греции.

Глава III. Период Академии

3.1 Период самостоятельной деятельности греков

Период вполне самостоятельной деятельности греков в области математики начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии. С этого времени последующее развитие, если не всей математики вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведёт его, пока находит в своём распоряжении необходимые средства.

Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии математики и в частности её методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места её основным положениям, на приведение приобретённых ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но ещё не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались результаты произведённого им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остаётся ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его даёт. Таким писателем является Евклид, по определению которого "анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным". Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определённым образом, эти определения представляются в следующем виде.

Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним - предложение уже доказанное.

Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего.

Об апагогическом методе, или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Евклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза даёт Прокл, при своём приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, - говорит он, - есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого.

Учёные математики, принадлежавшие к Академии распадались на две группы: на учёных, получивших своё математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодам Фасосский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых - Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона - Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп Мендейский и Филипп Опунтский.

В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперёд мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал своё развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: Леоном в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона.

Создание в школе Платона философии математики должно было повести необходимым образом к разработке необходимой для неё истории математики. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории математики этих учёных заключается всё крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство наук, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до н.э., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира.

3.2 Период упадка

В деятельности Евклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.

В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.

Третьей фазой упадка греческой математики была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.

Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н.э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних.

Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей. Евдопс развил общую теорию пропорций - геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел - и разработал метод исчерпывания - зачаточную форму теории пределов.

Эти теории создали прочный каркас здания древнегреческой математики, фундаментом которого была геометрия; тем самым преодолевались трудности, связанные с фактом существования несоизмеримых величин. Чтобы избежать трудностей в обосновании математики, связанных с парадоксами бесконечности (Зенон, Аристотель), большинство ученых древней Греции предпочли отказаться от использования в математике идей бесконечности и движения или свести их применение к минимуму. В качестве такого минимума было принято утверждение о неограниченной делимости геометрических величин.

Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

Список литературы

1) Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И.Н. Веселовского - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.

2) Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире - М.: Просвещение, 1967. - 101 с.

3) Глейзер Г.И. История математики в школе - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

4) Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе - М.: Просвещение, 1965. - 102-103, 236-238 с.

5) История математики Т 1: С древнейших времен до начала Нового времени / Под редакцией А.П. Юшкевича (в трёх томах): - М.: Наука, 1970. - 321 с.

6) Клайн М. Математика. Утрата определённости - М.: Мир, 1984. - 231с.

7) Крыситский В. Шеренга великих математиков - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981. - 31-34 с.

8) Рыбников К.А. История математики - М.: Просвещение, 1994. - 123 - 125 с.

9) Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Наука, 1976. - 23 с.

Древние греки внесли огромный вклад в развитие точных наук: математики, астрономии, физики. Другие народы в то время тоже обладали определённым багажом знаний. Но если египтяне и вавилоняне довольствовались уже открытыми и исследованными областями, то греки пошли ещё дальше. Они не останавливались на достигнутом и открывали новые горизонты в разных сферах жизни.

Математика в Древней Греции

Эта наука одна из самых давних и востребованных. Безусловно, греки способствовали развитию культуры и географии, логики и экономики. Их философская школа была настолько развитой, что и поныне удивляет современников утверждениями и открытиями. Но математике отведена отдельная ниша в этой сложной системе научных знаний.

Многие достижения в области арифметики обязаны дискуссиям, которые были так популярны у греков. Люди собирались на площади, спорили и таким образом приходили к единственно правильному решению. "В споре рождается истина" – эта догма дошла до нас именно с тех времён.

Любой древнегреческий математик пользовался почётом и уважением. Выведенные теоремы и формулы, тяжело понимаемые простыми людьми, возносили его на вершину пьедестала, в ряды других великих умов. Развитие математики как науки во многом обязано Архимеду, Пифагору, Евклиду и другим личностям, труды и открытия которых положены в основу современного курса алгебры и геометрии в школах и университетах.

Пифагор и его школа

Это древнегреческий математик, философ, политик, общественный и религиозный деятель. Родился он примерно в 580 году до нашей эры на острове Самос, вследствие чего в народе его прозвали Самосским. Согласно легенде, Пифагор был очень красивым и статным мужчиной. Он не уставал изучать все новое и неизведанное, его образование было поистине элитным. Учился юноша не только у себя на родине, но также в Индии, Египте и Вавилоне.

Пифагор, древнегреческий математик, покровительствовал рабовладельцам и аристократии. Идеалист до мозга костей, в Кротоне он основал собственную школу, которая была одновременно и религиозной, и политической структурой. Чёткая организация бытовой жизни, строгие правила и каноны – главные её особенности. Например, члены сообщества не могли владеть частной собственностью, придерживались вегетарианской диеты и обязывались не открывать посторонним людям учения своего преподавателя.

Когда демократия докатилась до Кротона, Пифагор и его последователи бежали в Метапонт. Но народное восстание бушевало и в этом городе. В одной из драк 90-летний математик погиб. Вместе с ним перестала существовать и его знаменитая школа.

Открытия Пифагора

Известно наверняка, что именно его авторству принадлежит описание целых чисел, их свойств и пропорций. Также он был одним из первых учёных, кто утверждал, что Земля круглая, что планеты имеют не такую траекторию движения, как звёзды. Все эти идеи положены в основу знаменитого гелиоцентрического учения Коперника. Поскольку вся жизнь учёного была окружена тайной, до наших дней дошло не много интересных фактов о его деятельности. Некоторые сомневаются, что знаменитую теорему доказал именно он. По некоторым данным, знали её и многие другие древние народы ещё задолго до рождения математика.

Древнегреческий философ и математик обладал множеством способностей, и не только в области точных наук. Его имя и деятельность окутаны мифами и легендами, а также мистикой. Считалось, что Пифагор управляет духами с загробного мира, понимает язык животных, общается с ними, задаёт полёту птиц нужное ему направление, умеет предсказывать будущее. Также ему приписывали знахарские способности.

Архимед: основные труды

Это один из самых ярких представителей той эпохи, знаменитый учёный, философ, математик и изобретатель. Родился он в 287 году до нашей эры в Сиракузе. В этом небольшом городке он прожил почти всю жизнь, тут писал свои известные трактаты и испытывал новые механизмы. Его отцом был придворный астроном Фидий, поэтому обучение Архимеда проходило на высшем уровне. Он имел доступ к самой лучшей библиотеке того времени, в читальных залах которой провёл не один день.

До наших дней сохранилось несколько математических трудов учёного. Условно их можно подразделить на три основные группы.

Работы, посвящённые объёмам и площадям криволинейных тел и фигур. В них содержится множество доказанных теорем.
Геометрический анализ гидростатических и статических задач. Это исследования про равновесие фигур, про положение тела в воде и так далее.
Другие математические работы. Например, про исчисление песчинок, механическое доказательство теорем.

Архимед погиб во время захвата Сиракузы римскими войсками. Он был так увлечён чертежом новой геометрической задачи, что не заметил воина, который подошёл сзади. Солдат убил учёного, не зная, что военачальник отдал приказ сохранить жизнь известному математику и философу.

Вклад Архимеда в развитие точных наук

Каждый ребёнок знаком с этим выдающимся деятелем ещё со школы. Кто же он, древнегреческий математик, воскликнувший "Эврика"? Ответ на этот вопрос прост – это Архимед. Согласно легенде, царь поручил ему выяснить - из чистого золота сделана его корона или ювелир схитрил, разбавив его другими металлами. Думая над этой задачей, Архимед лёг в ванну, наполненную водой. И тут ему пришло в голову потрясающее открытие: количество жидкости, которая переливается за край ванны, равно объёму воды, вытесненной его телом. Сделав этот вывод, он и закричал всем нам известное слово "эврика". Математик древнегреческий с этим возгласом выскочил из бани и побежал домой, в чём мать родила, спеша записать своё открытие.

Кроме того, Архимед за две тысячи лет до открытия интегралов сумел рассчитать площадь параболического сегмента. Он открыл миру число "пи", доказав, что соотношение диаметра круга и длины его окружности всегда одинаково для любой такой геометрической фигуры. Он создал так называемый Архимедов винт – прообраз современных воздушных и корабельных винтов. Среди его достижений метательные и подъёмные машины. Секрет создания его "зажигательного зеркала", при помощи которого были уничтожены вражеские корабли, до сих пор не раскрыли современные исследователи.

Евклид

Большую часть своего времени он работал над музыкальными произведениями, раскрывал секреты механики и физики, изучал астрономию. Но часть своих трудов всё же посвятил математике: довёл до ума несколько доказательств и теорем. Его вклад в развитие этой науки сложно переоценить, так как работы Евклида стали основой для других учёных, живших на много столетий позже его.

Как зовут древнегреческого математика, написавшего известный математический сборник "Начала", состоящий из 15 книг? Конечно, Евклид. Он сумел сформулировать основные положения геометрии, доказал важные теоремы: про сумму углов треугольника и теорему Пифагора. Также его имя связывают с учением про построение правильных многогранников, которыми сегодня восхищается каждый юный математик на уроках геометрии. Евклид открыл метод исчерпывания. Его взяли на вооружение Ньютон и Лейбниц, открыв способы исчисления: интегральный и дифференциальный.

Фалес

Этот древнегреческий математик родился примерно в 625 году до нашей эры. Долгое время он жил в Египте и тесно общался с правителем этой страны, царём Амазисом. Легенда гласит, что однажды он изумил фараона, измерив высоту пирамиды только по величине её тени.

Фалес считается родоначальником греческой науки, одним из семи мудрецов, изменивших основы знаний. Историки уверены, что Фалес первым доказал основные теоремы геометрии. Например, о том, что вписанный в полуокружность угол всегда прямой, диаметр делит круг на две одинаковые части, у равнобедренного треугольника углы при основании равны, все вертикальные углы идентичны и так далее.

Фалес вывел формулу, согласно которой треугольники всегда будут одинаковыми, если у них идентичны одна грань и углы, прилегающие к ней. Он научился определять расстояние до плывущих вдали кораблей при помощи условных треугольников. Кроме того, он сделал пару открытий в астрономической науке, определив точное время солнцестояний и равноденствий. Также он первым безошибочно просчитал продолжительность года.

Эратосфен

Это достаточно разносторонний деятель. Увлекался изучением космоса, географическими открытиями, исследовал речь, языковые обороты и исторические события. В сфере алгебры и геометрии он известен нам как древнегреческий математик, сделавший открытие в системе простых чисел. Он создал "Решето Эратосфена", интересный метод, который доныне изучают в школах. Благодаря ему можно отсеивать простые числа из общего ряда. Цифры не вычёркивали, как сегодня, а прокалывали на общем рисунке. Отсюда и название – "решето".

Эратосфен сумел самостоятельно сконструировать мезолябий – прибор для решения на основе законов механики делосской задачи про удвоение куба. Он смог первым измерить Землю. Просчитав длину части земного меридиана, он вывел окружность планеты - 39 тысяч 960 километров. Ошибся только на каких-то незначительных 300 километров. Эратосфен действительно заметная фигура того времени, без его достижений математика не могла бы существовать в своём привычном виде.

Герон

Этот древнегреческий математик жил в первом веке до нашей эры. Данные приблизительные, так как точных свидетельств про его жизнь дошло до наших дней очень мало. Известно, что Герон увлекался законами физики, механики, ценил достижения инженерной науки. Это он первым создал автоматические двери, кукольный театр, турбину паруса, древний "таксометр" – прибор для измерения дороги, автомат и самозаряжающийся арбалет.

Много его трудов было посвящено и математике. Он вывел новые геометрические формулы, разработал методы исчисления геометрических фигур. Герон создал знаменитую формулу, названную его именем, при помощи которой можно вычислить площадь треугольника, если знать длину всех его сторон. После себя он оставил много рукописных книг, в которых были отображены не только его труды, но и исследования других учёных. И в этом его самая большая заслуга. Благодаря этим записям мы сегодня знаем про Архимеда, Пифагора и других известных математиков, ставших символами той эпохи и прославивших Древнюю Грецию на весь античный мир.

Математика – одна из древнейших, важнейших и сложнейших компонентов человеческой культуры. История математики тысячами нитей связана с историей других наук. Народная мудрость гласит, что невозможно понять подлинный смысл настоящего и цели будущего, если не знать и не ценить прошлое. Жизнь не стояла на месте. С развитием человечества появляется потребность передавать известия друг другу, писать, считать. Так в далёком прошлом постепенно зарождалась математика. Древние греки были удивительно талантливым народом, у которого есть чему поучиться даже сейчас. В те времена Греция состояла из многих мелких государств. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площади, обсуждали его, спорили, а потом голосовали. Они были хорошими "спорщиками". По преданию, в то время сложилось утверждение: " В споре рождается истина!" Греки отличались трудолюбием и смелостью. Среди них были отличные строители, мореплаватели, купцы и художники. Они внесли большой вклад в развитие культуры и науки, особенно математики. Истории известно что ученые-математики древней Греции были крупнейшими математиками в далеком прошлом и задачи, составленные ими интересны и в наши дни. Весьма большая часть нашего современного школьного курса математики, особенно геометрии, была известна древним грекам. Учитель никогда не начнет изложения новой темы, не говоря о новом разделе математики, без вводной исторической части, вызывающей интерес и внимание учеников. Уроки с привлечением исторического материала никого не оставляют равнодушными. Как, знакомя учеников с начальными понятиями геометрии 7 класса, не рассказать о греческой математике. Как изучая тему “Площадь” 8 кл. не объяснить измерение площадей в Древней Греции (решение старинных задач). Именно здесь так устанавливается связь исторических сведений с материалом рассматриваемой темы. История математики выступает средством активизации познавательной деятельности учащихся. А это является основой учебной деятельности по той причине, что:

– интерес способствует формированию глубоких и прочных знаний;

– развивает и повышает качество мыслительной деятельности, активность в учении, благоприятствует формированию способностей;

– создает более благоприятный эмоциональный фон для протекания всех психических процессов.

Экскурс в историю можно сопровождать картинками, слайдами, презентацией. Математика со времени её зарождения как науки и много раньше была тесно связана не только с цивилизацией, с практикой, но и со всей общечеловеческой культурой – со всем миром. И математические теории, и методы открывались, создавались конкретными личностями, математиками, жизнь и судьба которых, интересная и насыщенная, поучительная и порой трагическая, неотделима от исторической эпохи, в которую они творили.

Ученые Греции

Расскажем о Пифагоре, именем которого названа теорема, которую знают все. В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н. э., а умер в 500 г. до н. э.). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связано ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так что установить о Пифагоре правду невозможно. Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 100 доказательств. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору и его ученикам.

Вызывает сомнение и подлинность истории, что будто бы царь поручил Архимеду проверить, из чистого ли золота сделана его корона или же ювелир присвоил часть золота, сплавив его с серебром. “Размышляя над этой задачей, Архимед как-то зашел в баню и там, погрузившись в ванну, заметил, что количество воды, переливающейся через край, равно количеству воды, вытесненной его телом. Это наблюдение подсказало Архимеду решение задачи о короне, и он, не медля ни секунды, выскочил из ванны и, как был нагой, бросился домой, крича во весь голос о своем открытии: “Эврика! Эврика!” (греч. “Нашел! Нашел!”)”.
При обороне Сиракуз от осаждавших этот город римских войск Архимед создал подъемные и метательные машины, а “зажигательное зеркало”, с помощью которого он якобы сжег корабли доныне остается загадкой, волнующей умы исследователей.
Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты “ О шаре и цилиндре, Об измерении круга, О коноидах и сфероидах, О спиралях и О квадратуре параболы”. Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач: О равновесии плоских фигур, О плавающих телах. К третьей группе можно отнести различные математические работы: О методе механического доказательства теорем, Исчисление песчинок, Задача о быках и сохранившийся лишь в отрывках Стомахион.

Евклид. Древнегреческий ученый Евклиду принадлежат сочинения по механике, оптике, музыке. Известны его заслуги и в астрономии. Евклиду приписываются также несколько теорем и новых доказательств

Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты “Начала”, состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. При построении правильных многоугольников опять звучит это имя Евклида. XIII книга "Начал" посвящена платоновым телам – правильным многогранникам, красотой которых восхищаемся на уроках стереометрии. Рассматривая вопросы дифференциального и интегрального исчислений на уроках анализа, говорим о том, что идеи, положенные в их основу Ньютоном и Лейбницем в XVII в., уходят своими корнями к методу исчерпывания, открытому еще Евклидом и Архимедом.

Фалес из Милета (ок.625 – ок.547 до н.э.) древнегреческий ученый и государственный деятель, первый из семи мудрецов. Во время путешествий он посетил Египет, где и познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени Задача. Измерить высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени. (Размеры даны в локтях; 1 локоть = 7 ладоням = 466 мм.)

вертикальные углы равны;
треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;
углы при основании равнобедренного треугольника равны;
диаметр делит круг пополам;
угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым.

Фалес определял высоту предмета по его тени, расстояния до кораблей, используя подобие треугольников.

Он сделал ряд открытий в области астрономии, установил время равноденствий и солнцестояний, Определил продолжительность года. Фалес был причислен к группе “семи мудрецов”.

Эратосфен Киренский (ок. 276 – 194 до н.э.) – разносторонний ученый: математик, астроном, географ, историк и филолог. Прославился благодаря изобретению “решета Эратосфена”. В сочинении “ Решето” Эратосфен создал оригинальный метод для “отсеивания” простых чисел. В последовательности натуральных чисел зачеркнем 1. Число 2-простое. Зачеркнём все числа, кратные 2. Число 3– первое из незачеркнутых – простое. Затем зачеркнем всякое число, делящееся на 3, и т. д. Так можно получить сколь угодно большой фрагмент последовательности простых чисел. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках. Числа не зачёркивали, а прокалывали. Отсюда и название метода– решето. Сконструировал прибор – мезолябий для механического решения делосской задачи (удвоения куба).

Осуществил первое измерение размеров земли. Измерив длину 1/50 дуги земного меридиана, Эратосфен вычислил окружность земного шара и получил 25 200 стадий, или 39 960 км, что лишь на 319 км меньше действительного значения.

Герон Александрийский великий физик, математик, механик и инженер древней Греции. Жил предположительно в I-II века до нашей эры в Александрии Египетской. Время жизни отнесено ко второй половине первого века н. э. на том основании, что он приводит в качестве примера лунное затмение 13 марта 62 г. н. э.

Герона относят к величайшим инженерам за всю историю человечества. Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяженности дорог (древний “таксометр”) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него веревкой).Одной из главных заслуг Герона Александрийского перед историей, являются книги, написанные им. В них описываются не только собственные изобретения Герона, но и знания других ученых древней Греции. Много работ Герона Александрийского было посвящено Математике. Больше всего в его работах формул по геометрии, задач по вычислению геометрических фигур. Так же здесь описывается и знаменитая формула Герона, с помощью которой можно вычислить площадь треугольника по трем сторонам.

В конце II в. н.э. начинается закат греческой математики.

На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта.

В III–IV веках нашей эры жил в городе Александрии знаменитый греческий математик Диофант. Почти все математики древности занимались уравнениями. Много внимания им уделял, а главное, много нового внес в способы их решения древнегреческий ученый Диофант.

О Диофанте известно очень мало. Есть основание полагать, что он жил около III в. н.э. Одна группа уравнений, так называемые неопределенные уравнения, до сих пор называются диофантовыми уравнениями. Именно для них он нашел способ решения.

Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задаДо нас дошли шесть из тринадцати книг “Арифметики”, написанных Диофантом, да предание о надписи на его могильном камне. Эта надпись дает возможность определить продолжительность жизни математика, которого позднее назвали “отцом греческой алгебры”.

Здесь погребен Диофант, и камень могильный
При счете искусном расскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея.
Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?

Главный труд Диофанта– “Арифметика”, по предположению, состоит из 13 книг. Книга Диофанта “Арифметика” содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней. В честь Диофанта назван кратер на Луне.О жизни Метродора, составителя задачи о жизни Диофанта, ничего неизвестно, нет сведений о времени его жизни и смерти. В историю математики древней Греции он вошел как автор задач, составленных в стихах. Задачи Метродора входили в рукописные сборники и имели в своё время большое распространение

Нет сомнений в научности математики Древней Греции. Ни один народ древности не сделал столько для развития математики, как жители Греции. Человеческой природе свойственно уважение к прошлому. Это уважение иногда вызывает у учащихся желание взглянуть на математику как на науку сквозь туман старины, прикоснутся к седой древности, тысячелетним тайнам и загадкам…

Пускай останется извечный мир загадок
Чтоб продолжалась жизнь, не ведая конца.
В. Рождественнский

Древнегреческая математика: свой путь

Алфавитное обозначение чисел в Древней Греции

Пифагор

Древнегреческая математика – неисчерпаемый источник для удивления и восхищения. Прежде всего, она поражает своей красотой и богатым содержанием. Никакая другая древняя цивилизация не может похвастаться таким количеством научных деятелей, имена которых до сих пор не сходят с уст современного человека, а их труды и разработки используются в качестве основ математики. Для примера можно привести два достижения, которые пережили своих создателей: первое – греки создали математику как самостоятельную науку с личной методологией, основывавшейся на четких правилах и законах логики; второе – древние греки провозгласили, что законы природы можно постичь при помощи математических моделей.

Один из главных результатов греческой математики состоял в открытии несоизмеримости. По теореме Пифагора диагональ a квадрата со стороной, равной единице, удовлетворяет равенству a2 = 12 + 12. Затем греки доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Других чисел, кроме рациональных, в математике ещё не было. Также греческие математики нашли общие методы решения квадратных уравнений. Ими был развит метод конических сечений, в математику вошли новые линии - гипербола, эллипс, парабола.

Открыв несоизмеримость, греки впервые встретились с противоположностью дискретного и непрерывного. Изучение дискретных предметов привело науку к понятию целого числа. При изучении линии на первый план выступает понятие непрерывности. Противоречия, связанные с непрерывностью и движением, были вскрыты греческими философами. Первые же математические теории побудили учёных систематизировать отдельные факты и изложить последовательно основы математики. В III в. до н.э. были написаны "Начала" Евклида - сочинение, получившее всеобщее признание, логическая строгость которого оставалась непревзойденной в течение двух тысячелетий. “Начала” состоят из 13 книг. В них излагаются основы арифметики, планиметрии и стереометрии.

В арифметике исходным понятием была единица. Число определялось как множество, составленное из единиц. В геометрию ученые древности ввели три исходные понятия - точку, прямую, плоскость - и сформировали аксиомы и постулаты, т.е. правила, по которым следует обращаться с введенными понятиями. Таким образом, в "Началах" Евклида геометрия построена аксиоматически. В них пять аксиом и пять постулатов. С помощью этих постулатов обоснованы геометрические построения. Пятый же постулат называется постулатом о параллельных. Еще до Евклида ученые пытались доказать его. Такие попытки предпринимались затем на протяжении двадцати веков, пока в 1826 г. великий русский математик Н.И.Лобачевский не создал свою геометрию, исходя из предположения об изменении пятого постулата Евклида о параллельных. Тем самым была доказана независимость пятого постулата Евклида от остальных предложений. Так что данная работа значительно повлияла на развитие математики. В течение многих веков она служила образцом математической строгости. До настоящего времени "Начала" Евклида, как известно многим, составляют основу школьного курса геометрии.

Достижения греческой математики не исчерпываются результатами, изложенными в "Началах". Для удовлетворения потребностей астрономии греки построили геометрию сферы, создали начала тригонометрии. Для определения площадей криволинейных фигур они разработали метод исчерпывания - прообраз будущего интегрального исчисления. Так, Архимед подсчитал площадь сегмента параболы; нашел метод проведения касательных к спирали, который можно считать прообразом дифференциальных методов. Динострат в IV в. до н.э. ввёл предел:

Греческие ученые разработали общую теорию конических сечений. Результаты античной теории конических сечений были использованы математиками XVII в. при создании аналитической геометрии.

Читайте также: