Математический маятник 11 класс кратко

Обновлено: 04.07.2024

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Тема: Механические колебания, их характеристики.

Математический маятник.

Тип урока: комбинированный урок.

Цели урока: познакомить учащихся с одним из наиболее распространённых движений в природе и технике – колебательным движением на примере математического маятника; ввести понятия характеристик колебательного движения; выяснить условия существования свободных колебаний; формировать у учащихся умения наблюдать и анализировать физические явления; способствовать развитию умений вести диалог и занимать активную позицию на уроке.

Оборудование: метроном, штатив с муфтой и кольцом, шарик с отверстием, нить, груз, скреплённый с пружиной, мячик.

Структура урока и используемые технологии

Этапы урока

Используемые

Приёмы и методы

Создание ситуации успеха на уроке

II . Ревокация. Постановка учебной проблемы

Технология развивающего обучения

Беседа; демонстрация опытов; постановка целей и задач урока

III. Изучение нового материала

Технология развития критического мышления

Беседа; демонстрация опытов; записи на доске и в тетрадях

IV. Закрепление нового материала

Технология интерактивного обучения

V. Рефлексия. Домашнее задание

Создание ситуации успеха

I. Вступительно-мотивационный этап урока.

Приветствие учащихся и контроль отсутствующих на уроке. План урока.

Учитель. Сначала я хочу провести с вами такое упражнение. Попрошу вас правильно реагировать на вопрос-задание.

II. Ревокация. Постановка учебной проблемы.

Учитель. Прежде чем я оглашу тему урока, хочу обратить ваше внимание к таким демонстрациям: катится по столу мяч и движется стрелка метронома. В чём различия этих движений?

Учащиеся. Движение стрелки метронома – движение повторяющееся периодически.

Учитель. Да. Колеблются ветки деревьев под действием ветра, бьётся сердце человека, колеблется маятник часов, качели, на которых качался каждый из нас, струны музыкальных инструментов, движение наших голосовых связок. Колебательное движение происходит и в жизни нашей планеты: землетрясения, приливы и отливы. Это всё примеры колебательного движения или механических колебаний. Я думаю, что такой широкий спектр проявления колебательных движений вас действительно заинтересовал. С этим движением мы сегодня и познакомимся.

Оглашение темы урока и формирование целей урока совместно с учениками:

1) дать определение механическим колебаниям и их характеристикам;

2) ввести понятие свободных и вынужденных колебаний;

3) выяснить, что такое математический маятник и каковы его особенности.

Запись в тетради числа и темы урока.

II . Изучение нового материала.

Учитель. Ребята, перед вами скелет опорного конспекта урока. В него вы будете вписывать определения, которые нами будут изучены.

Колебания – один из самых распространённых видов движения в природе и технике. Сначала давайте запишем определение механических колебаний. Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Демонстрация колебаний тела на пружине и шарика, подвязанного к нити.

Учитель. Перед вами два ярких примера механических колебаний. Скажите, пожалуйста, в чём их особенность?

Учащиеся. 1. Во время колебаний тело периодически отклоняется от положения равновесия.

2. Для того, что бы получить колебательное движение, на тело воздействуют извне силой.

Учитель. Вторая особенность, на которую вы указали, даёт возможность разделить колебательное движение на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания – это колебания, происходящие в механической системе под действием внутренних сил системы после кратковременного воздействия внешней силы.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешних сил.

Приведите, пожалуйста, примеры этих видов колебаний.

Учащиеся. К свободным мы отнесём колебания тел на пружине и на нити, чашки весов. А к вынужденным, например, качели, которые мы периодически подталкиваем, струны гитары.

Учитель. А теперь вернёмся к выше перечисленным вами особенностям. Первая, замеченная вами, особенность связана с одной из характеристик колебательного движения. Максимальное смещение тела от положения равновесия называют амплитудой и обозначают x . Единицы измерения амплитуды – метры.

Какие же ещё величины характеризуют колебательное движение? Что ещё можно измерить относительно этого движения?

Учащиеся. Время одного полного колебания и количество колебаний.

Учитель. Время одного полного колебания называют периодом колебаний. Т.е. это промежуток времени, через который движение полностью повторяется.

Число полных колебаний, совершённых телом за 1с, называют частотой колебаний.

Механические колебания груза на пружине и шарика на нити – это движение, при котором смещение зависит от времени по закону синуса или косинуса. А такие колебания называют гармоническими.

Давайте, ребята, вспомним из математики, чему равен период функции косинус?

Учащиеся. Период функции косинус равен 2 .

Учитель. Правильно. Число полных колебаний, совершённых за 2 секунд, называют циклической частотой.

Колебательное движение, так же как и движение равномерное и равноускоренное, имеет своё уравнение движения. Запишем его для периодического изменения координаты

x = X cos t

Теперь ещё раз обратимся к модели тела, подвешенного к нити. Её можно назвать математическим маятником. Математический маятник – это система, состоящая из материальной точки, подвешенной на тонкой нерастяжимой нити. Почему в нашем случае тело – шарик – мы считаем материальной точкой?

Учащиеся. Диаметр шара на много меньше длины нити.

Учитель. Какая физическая величина заставляет маятник совершать движения?

Учащиеся. Сила.

Учитель. Давайте с вами вспомним, какие силы действуют на тело, подвешенное к нити, при выведении его из положения равновесия? Воспользуемся рисунком.

Учащиеся. На шарик действует сила упругости или сила натяжения нити, направленная вдоль нити вверх, и сила тяжести, направленная перпендикулярно вниз. А приводит в движение систему их равнодействующая, которая направлена в сторону возвращения тела в положение равновесия.

Учитель. Формула периода математического маятника

На последующих уроках нами будет получено вывод этой формулы.

Мы видим, что период математического маятника зависит от длины нити маятника и от величины g . Что же это за величина?

Учащиеся. Это ускорение свободного падения, которое равно 9,8 м/с .

Учитель. Итак, в процессе беседы мы с вами познакомились с новым видом движения – механические колебания. Вы не забыли, ребята, отразить результат нашей с вами работы на полученных вами ладонях? На последующих уроках вы больше расширите знания по этой теме, а сегодня мы должны с вами закрепить те знания, которые вы получили.

IV . Закрепление нового материала.

Учитель. Ребята , давайте выберем исследовательскую группу, которая будет работать над экспериментальным заданием. Теперь попросим вас занять места за столом и приступить к работе над поставленным перед вами вопросом: как период колебаний зависит от амплитуды? Прежде чем ответить на этот вопрос , наши исследователи должны поставить эксперимент, обработать его данные и сделать выводы, заполняя соответствующий лист-отчёт о своей работе. Пожалуйста, займите свои места и приступайте к работе. Через 5-6 минут вы ознакомите нас с полученным результатом в виде вывода.

А вас, ребята, я попрошу обратиться к поурочной карточке. Прочтите, пожалуйста, задачу №1.

Задача №1. Математический маятник длиной 99,5 см за одну минуту совершил 30 полных колебаний. Определите период колебаний маятника и ускорение свободного падения в том месте, где находится маятник.

Дано СИ Решение

l = 99,5см 0,995м Т=

t = 1мин 60 сек T = 2 c ек

N =30 Т = 2 Т = 4 g = , или

Ответ: 2с; 9,81 м/с .

Задача №2. Из приведённых ниже примеров выберите примеры свободных колебаний и вынужденных: движение пилы при распиливании дров; колебание игрушки-неваляшки; движение гитарной струны; движение ветки под действием ветра; движение иголки в швейной машинке.

Учитель. А теперь давайте послушаем выводы, к которым пришла наша исследовательская группа после поиска ответа на вопрос: как период колебаний зависит от амплитуды?

Член исследовательской группы: измеряя период колебаний при разных амплитудах, мы пришли к выводу, что при малом угле отклонения период колебаний практически не зависит от амплитуды.

Учитель. Эту особенность колебаний маятника открыл 19-летний Галилей, наблюдая за тем, как раскачиваются в соборе светильники, подвешенные на нитях одинаковой длины. Наручных часов тогда не было и юный Галилей пришёл к решению, которое для многих поколений будет служить образцом блеска и остроумия человеческой мысли: он сравнил колебания маятника с частотой биения собственного сердца! И на основе этого замечательного свойства колеблющихся тел Христиан Гюйгенс в 1657 году создал первые маятниковые часы с регулярным ходом.

V . Рефлексия. Домашнее задание.

Учитель. На заключительном этапе урока хочу поведать вам одну легенду.

Давным-давно в древнем Китае жил очень умный, но гордый мандарин (это чин). Весь его день состоял из разговоров о его уме. Так шли дни и годы.

Так же и для вас, ребята, всё в ваших руках! Сегодня вы плодотворно работали и благодаря этому стали ещё на ступеньку умнее и ладони, полученные в начале урока, могут что-то написать, решить или поставить опыт по данной теме. Спасибо вам за сотрудничество и активную работу на уроке.

Комментарий и выставление оценок за урок. Ладони прикрепляются на доску.

Делается вывод о результате записях на ладонях.

Рассматривается вопрос применения колебательного движения в быту, технике и жизни людей.

Домашнее задание и его комментарий: § 12, 13, 14; упражнение 10 № 1, 2; знать опорный конспект.

Поурочная карточка

1. Математический маятник длиной 99,5 см за одну минуту совершил 30 полных колебаний. Определите период колебаний маятника и ускорение свободного падения в том месте, где он находится.

2. Из приведенных выше примеров выберите примеры свободных и вынужденных колебаний: движение пилы при распиливании дров; колебание игрушки-неваляшки; движение гитарных струны; движение ветки под действием ветра; движение иголки в швейной машинке.

Математическим маятником называют материальную точку (тело небольших размеров), подвешенную на тонкой невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне.

Рис. \(1\). Силы, действующие на материальную точку в положении равновесия и при отклонении от положения равновесия

В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое.

При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол α на тело будет действовать возвращающая сила \(F\), которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения α \(=0\), тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна.

Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь далее, сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период малых собственных колебаний математического маятника длины \(l\), неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения \(g\), равен

Наиболее известным практическим использованием маятника является применение его в часах для измерения времени. Впервые это сделал голландский физик X. Гюйгенс.

Поскольку период колебаний маятника зависит от ускорения свободного падения \(g\), то часы, которые идут верно в Москве, будут идти вперёд в Санкт-Петербурге. Чтобы эти часы шли верно в Санкт-Петербурге, приведённую длину их маятника нужно увеличить.

В геологии маятник применяют для опытного определения числового значения ускорения свободного падения \(g\) в разных точках земной поверхности. Для этого по достаточно большому числу колебаний маятника в том месте, где измеряют \(g\), находят период его колебаний, а затем вычисляют ускорение свободного падения, выразив его из формулы периода маятника.

Заметное отклонение величины \(g\) от нормы для какой-либо местности называют гравитационной аномалией.

Опыт показывает, что качающийся маятник сохраняет плоскость, в которой происходят его колебания. Это означает, что если привести в движение маятник, установленный на диске центробежной машины, а диск заставить вращаться, то плоскость качания маятника относительно комнаты изменяться не будет. Это позволяет с помощью опыта обнаружить вращение Земли вокруг своей оси.

В \(1850\) г. Ж. Фуко подвесил маятник под куполом высокого здания так, что острие маятника при качании оставляло след на песке, насыпанном на полу. Оказалось, что при каждом качании острие оставляет на песке новый след. Таким образом, опыт Фуко показал, что Земля вращается вокруг своей оси. В условиях вращения Земли при достаточно большой нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли.

При исследовании гармонических колебаний твердого тела, которое не моделируют в виде материальной точки, рассматривают физический маятник .

Рис. 1. Силы, действующие на материальную точку в положении равновесия и при отклонении от положения равновесия. . © ЯКласс.

Условия возникновения свободных колебаний

Какими свойствами должна обладать система для того, чтобы в ней могли возникнуть свободные колебания?
Например, есть горизонтальный пружинный маятник, колеблющийся вдоль гладкого горизонтального стержня под действием силы упругости пружины.


Если немного сместить шарик из положения равновесия (рис.а) вправо, то согласно закону Гука возникнет деформация пружины (рис.б), и на шарик начнет действовать Fупр со стороны пружины.

Если отпустить шарик, то под действием Fупр, увеличивая свою скорость, он начнет двигаться с ускорением влево.
Fупр будет убывать, так как деформация пружины уменьшается.
Когда шарик достигнет положения равновесия, его скорость станет максимальной, а Fупр пружины станет равной нулю, следовательно, согласно второму закону Ньютона станет равным нулю и ускорение шарика.

Не останавливаясь в положении равновесия, шарик по инерции будет продолжать двигаться влево.
Пружина при этом сжимается, в результате вновь появляется Fупр, направленная уже вправо и тормозящая движение шарика (рис.в).
Скорость шарика будет уменьшаться до тех пор, пока в крайнем левом положении шарика не обратится в нуль.
После этого шарик начнет ускоренно двигаться вправо.
Fупр убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль.
Но шарик уже успевает приобрести скорость и, следовательно, по инерции продолжает двигаться вправо.
Это движение приводит к растяжению пружины и появлению Fупр, направленной влево.
Движение шарика тормозится до полной остановки в крайнем правом положении, после чего весь процесс повторяется сначала.

Влияние силы сопротивления

Если бы не существовало трения, то движение маятника не прекратилось бы никогда.
Однако трение и сопротивление воздуха препятствуют движению маятника.
Направление силы сопротивления все время противоположно направлению скорости.
Размах колебаний маятника постепенно будет уменьшаться до тех пор, пока движение не прекратится.

Чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания, должны выполняться два условия:

Во-первых, при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия (возвращающая сила), т.е. стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.
Именно так действует в рассмотренной нами системе пружина: при перемещении шарика и влево, и вправо Fупр направлена к положению равновесия.

Во-вторых, трение в системе должно быть достаточно мало, иначе колебания быстро затухнут.
Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Математический маятник

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой и нерастяжимой нити.
Математический маятник — это модель обычного маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинной нити.

Динамика движения маятника

Если вывести маятник из положения равновесия и отпустить, то на него будут действовать:
сила тяжести Fт, направленная вертикально вниз,
и сила упругости нити Fупр, направленная вдоль нити
(силой сопротивления из-за малого значения пренебрегаем).


Силу тяжести Fт можно разложить на две составляющие:
Fn, направленную вдоль нити,
и Ft, направленную перпендикулярно нити по касательной к траектории шарика.

Сила упругости нити Fупр и составляющая силы тяжести Fn перпендикулярны скорости маятника и сообщают ему центростремительное ускорение.
Это ускорение направлено к центру дуги окружности — траектории движения маятника.
Работа этих сил равна нулю, поэтому, согласно теореме о кинетической энергии, они не меняют скорость маятника по модулю.
Их действие приводит лишь к тому, что вектор скорости непрерывно меняет направление, так что в любой момент времени скорость шарика направлена по касательной к дуге окружности.

Под действием составляющей Ft силы тяжести маятник начинает двигаться по дуге окружности вниз с нарастающей по модулю скоростью.
При движении маятника эта составляющая силы тяжести, направленная к положению равновесия, уменьшается по модулю, и в момент, когда маятник проходит через положение равновесия, она становится равной нулю.
Вследствие своей инертности маятник продолжает движение, поднимаясь вверх.

При этом Ft уже будет направлена против скорости, поэтому модуль скорости маятника станет уменьшаться.
В момент остановки маятника в верхней точке его траектории модуль Ft максимален и она будет вызывать движение маятника в сторону положения равновесия.
Далее скорость маятника увеличивается по модулю, и он снова движется к положению равновесия.
Пройдя положение равновесия, он возвращается в исходное положение.

Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса - Класс!ная физика

Маятник — твердое тело, которое совершает под действием приложенных сил механические колебания около неподвижной точки или оси.

Простейший маятник состоит из небольшого груза массой m, подвешенного на невесомой нити или тонком стержне длиной l и совершающего колебания под воздействием земного притяжения. Если нить считать нерастяжимой, размер груза незначительным по сравнению с длиной нити, а массу нити незначительной по сравнению с массой груза, то груз можно считать материальной точкой массой m, находящейся на постоянном расстоянии l от точки подвеса. Такой маятник называют математическим.

Определение модели системы

Математические модели динамических систем часто используют для анализа самых разных технических, социально-экономических, естественнонаучных систем, в которых происходят циклические процессы.
Существуют различные классификации динамических процессов. Одна из них изображена на схеме:
φ , тогда время t, за которое плоскость колебаний маятника совершает полный оборот, окажется равно

Отсюда следует, что если бы Земля не вращалась, данного эффекта просто не существовало бы. Это обстоятельство указывает на то, что причиной неинерциальности земной системы отсчета является вращение планеты.

Центробежное ускорение на экваторе равно 0 , 034 м / с 2 . По сравнению с экваториальным ускорением свободного падения g = 9 , 78 м / с 2 это величина малая, но она заметно влияет на изменение веса тела на экваторе по сравнению с его весом на полюсе. Если, например, взвешивать на пружинных весах тело массой 10 кг, то уменьшение веса на экваторе за счет действия центробежной силы составит около 35 г.

Период колебаний математического маятника

Период колебаний — время, за которое происходит одно полное колебание. В СИ измеряется в секундах.

Чему равен, от чего зависит частота

Если за время t совершается N колебаний, то период, обозначаемый буквой T, равен

где v — частота колебаний. Она обратно пропорциональна периоду.
Колебания можно изобразить в виде графика:

g — ускорение свободного падения. Не зависит от амплитуды колебаний и массы груза.

Циклическая частота — число колебаний, которые система совершает за 2 π секунды. Также циклическую частоту называют угловой, круговой или радиальной. Кратко ее записывают греческой буквой ω . Она позволяет упростить расчеты с использованием радианов, так как при ее введении сокращаются множители 2 π .

В случае математического маятника она определяется длиной подвеса и ускорением свободного падения:

Для физического маятника в уравнение добавляются инерция и масса подвеса:

Для пружинного маятника частоту определяет жесткость пружины k:

Уравнения движения и их решение, формулы с примерами

Математический маятник — это материальная точка, имеющая массу m и подвешенная на нити с неизменяемой длиной l. Покидая положение равновесия, подвес совершает колебательные движения по дуге.

M = - m g × l sin α .

Угол отклонения мал, поэтому мы учитываем только то, что он отрицателен. Синус угла α считаем приблизительно равным α . Тогда:

m l 2 × α ' ' = - m g l α ;

Это дает нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Из уравнения следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия маятник будет колебаться с периодом

T = 2 π ω = 2 π l g .

Все кинематические характеристики движения меняются по гармоническим законам, т. е. по закону синуса или косинуса. Рассмотрим, от чего зависят константы амплитуды А и начальной фазы движения φ 0 .
Амплитуда колебаний определяется энергией, переданной маятнику при отклонении от положения равновесия. В случае пружинного маятника в крайнем положении скорость груза и кинетическая энергия равны нулю, полная энергия состоит только из потенциальной энергии:

E п о л н а я = k A 2 2 .

Из этого следует, что

А = 2 E п о л н а я k .

Начальная фаза зависит от того, как маятник вывели из положения равновесия. Рассмотрим ситуацию, в которой маятник отклонили от положения равновесия на расстояние А и отпустили без начальной скорости. Запишем уравнение движения колеблющегося тела с учетом того факта, что в начальный момент координата тела будет равна А:

x = A × cos ω t + φ 0 ;

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = А ⇒ cos φ 0 = 1 ⇒ φ 0 = 1 .

Уравнение движения маятника:

Если маятник толкнули, когда он находился в положении равновесия, начальная координата колеблющейся точки будет равна нулю:

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = 0 ⇒ cos φ 0 = 0 ⇒ φ 0 = ± π 2 .

Уравнение движения маятника:

x ( 0 ) = A × cos ω t ± π 2 = ± A × sin ω t .

Рассмотрим задачи, для которых требуется составлять и решать уравнения движения.

Необходимо определить амплитуду и частоту колебаний точки, если известно, что при смещении точки от положения равновесия на 5 см ее скорость равна 6 см/с, а при смещении на 3 см — 10 см/с.

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ' = - A ω × sin ω t + φ 0

Исключаем время из системы:

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ' = - A ω × sin ω t + φ 0 ⇒ x = A × cos ω t + φ 0 v x ω = - A × sin ω t + φ 0 ⇒ x 2 = A 2 × cos 2 ω t + φ 0 v 2 ω 2 = A 2 × sin 2 ω t + φ 0

x 2 + v 2 ω 2 = А 2 .

x 2 А 2 + v 2 v 2 m a x = 1 .

x 1 2 + v 1 2 ω 2 = А 2 x 2 2 + v 2 2 ω 2 = А 2

Преобразовав выражения и подставив значения, данные в условиях задачи, получаем:

ω = v 2 2 - v 1 2 x 1 2 - x 2 2 = 2 c - 1 ;

A = x 1 2 v 2 2 - x 2 2 v 1 2 v 1 2 - v 2 2 ≈ 5 , 57 с м ;

v = ω 2 π ≈ 0 , 32 Г ц .

Необходимо вычислить циклическую частоту колебаний точки, если известно, что при скорости 13 см/с ускорение равнялось 6 с м / с 2 , а при уменьшении скорости до 12 см/с произошло увеличение ускорения до 10 с м / с 2 .

Решение:
Координата точки меняется по закону

Запишем уравнения скорости и ускорения точки:

v x = - A × ω × sin ω t a x = - A × ω 2 × cos ω t ⇒ v x A ω = - sin ω t a x A ω 2 = - cos ω t ⇒ v 2 ω 2 + a 2 ω 4 = A 2 .

Преобразуем уравнение, исключив из него А, и подставим значения, данные в условиях задачи:

ω = a 2 2 - a 1 2 v 1 2 - v 2 2 = 1 , 6 c - 1 .

Практическое применение математического маятника

С помощью математического моделирования динамических систем можно обнаружить схожесть динамических процессов в реальных физических, технических, биологических, химических и социально-экономических системах. Разработка моделей, позволяющих предсказывать время и другие характеристики периодических процессов в этих системах, является эффективным способом анализировать, например, сельскохозяйственные или производственно-экономические процессы.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой нерастяжимой нити (рис.1).


Рис.1. Математический маятник

Математический маятник – это модель системы, совершающей гармонические колебания. Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения описываются уравнением гармонических колебаний.

\overline<F></p> <p>В положении равновесия сила тяжести и сила упругости нити уравновешивают друг друга, и материальная точка находится в покое. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол на тело будет действовать возвращающая сила
, которая является тангенциальной составляющей силы тяжести:

\overline<F></p> <p>Эта сила сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории, и материальная точка начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью. По мере приближения к положению равновесия возвращающая сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение точки, уменьшаются. В момент прохождения положения равновесия угол отклонения , тангенциальное ускорение также равно нулю, а скорость материальной точки максимальна. Далее материальная точка проходит по инерции положение равновесия и, двигаясь в направлении, противоположном силе
, сбавляет скорость. В крайнем положении материальная точка останавливается, и затем начинает двигаться в обратном направлении.

Период колебаний математического маятника

\[T=2\pi \sqrt<\frac<l></p> <p>>\ \]

Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды колебаний.

Примеры решения задач

Задание Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь равный 1 см, если в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути?
Решение Период колебаний математического маятника определяется формулой:

\[T=2\pi \sqrt<\frac<l></p> <p>>\ \]

^<2></p> <p>Ускорение свободного падения м/с

\[T=2\pi \sqrt<\frac<1></p> <p>>=2\ c\]

Математический маятник совершает гармонические колебания, поэтому смещение материальной точки зависит от времени по гармоническому закону:

\[x=A\sin \left(\omega t+<\varphi ></p> <p>_0\right)\]

Так как в начальный момент времени маятник проходит положение равновесия, начальная фаза колебаний равна нулю.

\[\omega =\frac<2\pi ></p> <p>,\]

\[\omega =\frac<2\pi ></p> <p>=\pi \ rad/c\]

Путь, равный 1 см, т.е. равный в данном случае амплитуде колебаний, маятник пройдет за четверть периода, т.е. за 0,5 с.

а) В данном случае смещение:

\[x=\frac<2></p> <p>,\]

поэтому можно записать:

\[\frac<2></p> <p>=A\sin \pi t;\]

\[\sin \pi t=\frac<1></p> <p>;\]

\[t=\frac<1></p> <p>=0,17\ c\]

б) Если на прохождение всего пути, равного амплитуде, маятник тратит 0,5 с, а на прохождение его первой половины – 0,17 с, на вторую половину пути маятник затратит:

Задание Один математический маятник имеет период 5 с. а другой – период 3 с. Определить период колебаний математического маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников?
Решение Период колебаний математического маятника определяется формулой:

\[T=2\pi \sqrt<\frac<l></p> <p>>\ \]

Запишем это соотношение для каждого из маятников и найдем их длины:

\[T_1=2\pi \sqrt<\frac<l_1></p> <p>>;\ \ \ \ \ \ \ \ l_1=<\left(\frac<T_1><2\pi >\right)>^2g;\]

\[T_2=2\pi \sqrt<\frac<l_2></p> <p>>;\ \ \ \ \ \ \ \ l_2=<\left(\frac<T_2><2\pi >\right)>^2g\]

Найдем длину третьего маятника:

\[l=l_1-l_2=\frac<g></p> <p><4<\pi >^2>\left(^2-^2\right)\]

Период третьего маятника:

\[T=2\pi \sqrt<\frac<\frac</p> <p><4<\pi >^2>\left(^2-^2\right)>>=\sqrt<\left(^2-^2\right)>\]

\[T=\sqrt<5^2-3^2></p> <p>=4\ c\]

Читайте также: