Логика высказываний кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

8. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

8.1. Основы логики высказываний

1. Modus Ponens (утверждающий модус). Если из A следует B и A истинно, то и B истинно - .

2. Modus Tollens (отрицающий модус). Если из A следует B и B ложно, то и A ложно - .

Следует отметить, что модусы и являются неправильными (см. таблицу истинности для импликации).

Примеры неправильных модусов.

3. Modus Ponendo-Tollens (утверждающе-отрицающий модус). Если A и B не могут одновременно бы истинными и A истинно, то B ложно - и .

4. Modus Tollendo-Ponens (отрицающе-утверждающий модус). Если либо A, либо B является истинным и A ложно, то B истинно - и .

Данные правила представляют собой гораздо более общий метод вывода, чем традиционная логика Аристотеля. Они явились первым шагом к созданию логики высказываний. Дальнейшие исследования в области логики связаны с именами Де Моргана, Буля, Фреже, Пеано и других.

8.2. Синтаксис и семантика логики высказываний

В логике высказываний используется следующий синтаксис (символы):

- логические константы – ИСТИНА (И, TRUE, T) и ЛОЖЬ (Л, FALSE, F);

- логические связки (операции, соединители):

- ∨ – логическое ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение);

A	B	¬A	A ∧ B	A ∨ B	A → B ¬A ∨ B	A ↔ B (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Приоритет операций при исчислении формул показан ниже

- пропозициональные (логические) переменные – обозначаются через строчные буквы латинского алфавита p, q, r, x, y, z и т.д. Переменные соответствуют атомарным высказываниям или набору высказываний, связанных логическими операциями. Например, пусть дана формула A ∧ (B ∨ C). Тогда ее можно представить через переменные следующим образом:

- p – p соответствует A ∧ (B ∨ C);

- p ∧ q – p соответствует A, q - B ∨ C;

- p ∧ (q ∨ r) – p соответствует A, q - B, r – C.

Процесс подстановки в формулу констант или атомарных высказываний вместо ее переменных называется конкретизацией. Переменные после конкретизации могут принимать значения истина или ложь. Таблица истинности для логических операции с переменными соответствует таблице операций с константами.

Семантика логики высказываний (основные определения).

Правильно построенная формула (формула, ППФ) – одно или несколько высказываний (переменных), соединенных логическими операциями. Результат вычисления формулы истина или ложь. Примеры неправильно построенных формул: A ∨ B →, ¬A ¬∨ C, ↔ A ∧ B и т.д.

Противоречие (невыполнимая формула) – ППФ, значением которой всегда является ложь. Например, A ∧ ¬A.

Выполнимая формула – ППФ, значением которой может быть истина или ложь.

- законы Де Моргана:

- закон двойного отрицания:

8.3. Исчисление высказываний

Логическим исчислением (исчислением) называют совокупность, которая включает в себя [29]:

- алфавит (совокупность используемых символов);

- синтаксические правила построения формул;

- аксиомы – общезначимые формулы;

- правила вывода по аксиомам производных формул или теорем.

Для того чтобы использовать методы логики высказываний применительно к конкретной предметной области, сначала необходимо проанализировать структуру этой области. При выполнении анализа отыскиваются атомарные высказывания, действующие в ней, и логические взаимосвязи, существующие между ними. После отбора соответствующего множества таких атомарных высказываний следует подобрать обозначения (например, символы А, В, С и т.д.) для представления каждого из них. После этого становится возможным описание логических взаимосвязей между ними, что достигается посредством использования ППФ, сконструированных из соответствующих обозначений. Множество ППФ, сгенерированное таким путем, называется теорией заданной области знаний, а каждая отдельная ППФ именуется аксиомой.

Основная цель построения теории заключается в описании нужных знаний столь экономичным способом, насколько это возможно. Если теория адекватно описывает заданную область знаний, то все факты (заключения) из области знаний, являющиеся истинными, будут следствиями аксиом этой теории, а ни один факт, являющийся ложным, не будет следствием данных аксиом. Если все истинные факты из заданной области знаний являются следствиями теории, то такая теория называется полной. Если из аксиом теории нельзя вывести противоречия, то теория называется последовательной.

Классическое исчисление высказываний использует два правила вывода.

Это знание необходимо, чтобы не допускать ошибок в рассуждениях и замечать, когда их совершают другие.

1. Закон тождества

Каждая мысль должна быть равна самой себе, не должна иметь больше одного значения.

В чём суть

Примеры нарушения

Примером нарушения закона тождества будет и эта шутка:

— Я сломал руку в двух местах.

— Больше не ходи в эти места.

В результате немного более сложных нарушений закона тождества получаются софизмы. Софизм — это внешне правильное доказательство ложной мысли с помощью преднамеренного нарушения логических законов.

Что лучше: вечное блаженство или бутерброд? Конечно же, вечное блаженство. А что может быть лучше вечного блаженства? Конечно же, ничто! Но бутерброд ведь лучше, чем ничто, поэтому бутерброд лучше вечного блаженства.

Как применять в жизни

Первый закон логики поможет распознать софизмы. Первое, на что стоит обращать внимание, — неоднозначные слова.

2. Закон противоречия

Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными.

В чём суть

Если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут одновременно быть истинными.

Примеры нарушения

Как применять в жизни

3. Закон исключённого третьего

Два противоречащих суждения об одном и том же предмете в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными

В чём суть

Суждения бывают противоположными и противоречащими.

Итак, два противоречащих суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными.

Пример нарушения

Как применять в жизни

Примеры простые до безобразия, но в жизни закон противоречия нарушается скорее так: между противоречащими суждениями есть ещё часть монолога, да и сами суждения могут быть высказаны не очень явно. Как с этим быть? Внимательно вслушиваться в то, что говорит собеседник, и следить за мыслью. Если все остальные законы не нарушаются, присмотритесь ещё раз к формулировкам. Возможно, тут замаскированные противоречащие суждения.

4. Закон достаточного основания

Любая мысль (тезис) для того, чтобы иметь силу, обязательно должна быть доказана какими-либо аргументами, причём эти аргументы должны быть достаточными для основания исходной мысли, то есть она должна вытекать из них.

В чём суть

Помните, что такое презумпция невиновности? Она основана на законе достаточного основания. Принцип презумпции невиновности предписывает считать человека невиновным, даже если он даёт показания против себя, до тех пор, пока его вина не будет достоверно доказана какими-либо фактами. Другими словами, признание вины не гарантирует, что человек действительно совершил преступление, а вот улики и доказательства — вполне могут. То есть признание вины — недостаточное основание, а факты и улики, указывающие на преступника, — достаточное.

Пример нарушения

Как применять в жизни

Закон достаточного основания предостерегает от поспешных выводов. Если мы помним о том, что любое утверждение должно быть подкреплено фактами, это поможет распознавать дешёвые сенсации и небылицы.

1. Предмет и значение логики
2. Понятие логики как научной дисциплины
3. История логики как науки
4. Классическая логика высказывании и предикатов
5. Понятие умозаключения. Дедуктивные умозаключения
6. Индуктивные умозаключения

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Логика. Краткий курс предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

4. Классическая логика высказывании и предикатов

Высказывание — грамматически правильное предложение, которое может быть истинным или ложным. В логике само понятие высказывания — ключевое, но не допускает универсального определения для разных ее разделов. Но любое высказывание описывает некоторую ситуацию и может быть истинным или ложным.

Укажем самые важные способы построения сложных высказываний. Отрицанием называется такая логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается высказывание с противоположным логическим значением.

Высказывания, получаемые описанными способами, представляют собой предмет изучения логики высказываний. Она предполагает, что любое высказывание имеет свое логическое значение, зависящее от значений простых высказываний, входящих в него, а также и от характера их связи.

При помощи таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких — ложно.

Важнейшим предметом изучения логики высказываний служат логические законы, высказывания, имеющие истинные значения независимо от логических значений его составляющих.

Логика высказываний не занимается анализом внутренней структуры простых высказываний, считая их неразложимыми.

Для определения структуры высказываний вводится список индивидных переменных: х, у, z…, х1, у1, z1…., представляющих разные объекты, и перечень предикатных переменных: Р, Q, R,…, Р1, Q1, R1,…, представляющих свойства и отношения объектов. Наряду с этими переменными могут рассматриваться индивидные константы, имена собственные.

Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Данные функции превращаются в высказывания после подстановки имен вместо переменных.

Логика предикатов — раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний. Логика предикатов представляет собой расширение логики высказываний, поскольку все законы логики высказываний служат также законами логики предикатов, однако не наоборот.

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic , или исчисление высказываний [1] ) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка.

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений [1] .

Содержание

Основные понятия

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяемой индуктивно следующим образом [2] :

Множество пропозиционных формул называется языком логики высказываний (англ. propositional language , PL) [2] .

Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Правила построения формул логики высказываний

Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное логическое высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.
Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)(Ф2)), ((Ф1)(Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.

Пример

Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи

¬ A BC и (B)(BA→C)

c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи

(¬ A)(BC) и B((BA)→C)

вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A)(BC) выделяются следующие её части:

Соглашения о скобках

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:

Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, ), то в скобки заключается сначала самая левая часть (т.е. две подформулы со связкой между ними). (Говорят также, что эти связки левоассоциативны.)
Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: и (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись означает формулу , а её длина равна 12.

Истинностное значение

Интерпретацией (моделью) языка логики высказываний называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество истинностных значений . Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок [3] .

$\neg p$

Оценка отрицания задаётся таблицей:

$p\!$	$\neg p$
$0\!$	$1\!$
$1\!$	$0\!$

Значение двуместных логических связок (импликация), (дизъюнкция) и (конъюнкция) определяются так:

$p\!$	$q\!$	$p\rightarrow q$	$p \wedge q$	$p \vee q$

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации) [4] . Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

$\neg (p \vee q) \leftrightarrow (\neg p \wedge \neg q)$

1) ;

$\neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q)$

2) ;

$(p\rightarrow q)\leftrightarrow(\neg q\rightarrow \neg p)$

;

Законы поглощения:

$p\vee(p\wedge q)\leftrightarrow p$

1) ;

$p\wedge(p\vee q)\leftrightarrow p$

2) ;

$p\wedge(q\vee r)\leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p \wedge r)$

1) ;

$p\vee(q\wedge r)\leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p \vee r)$

2) .

Исчисление высказываний

Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

$A_1 : A \rightarrow (B \rightarrow A)$

;

$A_2 : ((A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)))$

;

$A_3 : A \wedge B \rightarrow A$

;

$A_4 : A \wedge B \rightarrow B$

;

$A_5 : A \rightarrow (B \rightarrow (A \wedge B))$

;

$A_6 : A \rightarrow (A \vee B)$

;

$A_7 : B \rightarrow (A \vee B)$

;

$A_8 : (A \rightarrow C) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow ((A \vee B) \rightarrow C))$

;

$A_9 : \neg A \rightarrow (A \rightarrow B)$

;

$A_<10> : (A \rightarrow B) \rightarrow ((A \rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$
;

$A_<11> : A\vee\neg A$
.

вместе с единственным правилом:

$\frac<A \rightarrow B, A> $
(Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

Читайте также:

Логика высказываний кратко и понятно

1. Закон тождества

В чём суть

Примеры нарушения

Как применять в жизни

2. Закон противоречия

В чём суть

Примеры нарушения

Как применять в жизни

3. Закон исключённого третьего

В чём суть

Пример нарушения

Как применять в жизни

4. Закон достаточного основания

В чём суть

Пример нарушения

Как применять в жизни

Оглавление

Содержание

Основные понятия

Правила построения формул логики высказываний

Пример

Соглашения о скобках

Истинностное значение

Тождественно истинные формулы (тавтологии)

Исчисление высказываний